24.1.4 圆周角(1) 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.4 圆周角(1)
基础巩固提优
1. 教材 P89习题T5·变式 (2024·临夏州中考)如图,AB是⊙O 的直径,∠E=35°,则∠BOD=( ).
A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
2.(2024·重庆中考)如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 交⊙O 于点C,点 D 是⊙O 上一点,连接BD,CD.若∠D =28°,则∠OAB 的度数为( ).
A. 28° B. 34° C. 56° D. 62°
3.中考新考法 利用工具进行操作探究如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板的一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，AB 对应的圆心角(∠AOB)为 120°,OC 的长为 3，则图中AB 的长是 .
4. 教材 P88练习T3·变式 如图,OA,OB,OC 都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,OA= 求 BC 的长.
思维拓展提优
5.(2023·杭州中考)如图,在⊙O 中,半径OA,OB互相垂直,点 C 在劣弧AB 上.若∠ABC=19°,则∠BAC 等于( ).
A. 23° B. 24°
C. 25° D. 26°
6.(湖南株洲二中自主招生)如图,点 A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠A =30°,∠O = 48°,则∠E = °.
7.(山东淄博张店七中自主招生)如图，AB,CD 是⊙O 的两条相等的弦,劣弧 AD,劣弧 BC 的度数分别为 30°,120°,P 为劣弧AB 上一点,则∠APB= °.
8.(2024·杭州上城区采荷实验中学二模)如图(1)，AB 是⊙O的直径,E 是OA 的中点,OA=2,过点 E作CD⊥AB 交⊙O于C,D 两点.
(1)BC 的度数为 ;
(2)如图(2),点P 为劣弧BC 上一个动点(不与 B,C重合),连接AP,CP,点Q 在AP 上,当AQ=x 时,CQ 平分∠PCD,则x 的值为
9.如图,已知在⊙O 中,==,OC 与AD 相交于点E.求证：
(1)AD∥BC;
(2)四边形 BCDE 为菱形.
10.(2025·山东聊城期中)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,已知AB=10,AE=8,点 P 为AE 上一点(点 P 不与A,E 重合),连接CP 并延长与⊙O 交于点Q，连接QD，PD,AD.
(1)求CD的长;
(2)求证:∠ADP=∠ADQ.
延伸探究提优
11. 如图(1),AB 为⊙O 的直径,CD⊥AB 于点E, BF与CD交于点G.
(1)求证:CD=BF;
(2)若BE=1,BF=4,求OE 的长;
(3)如图(2),连接GO,OF,求证:2∠EOG+
中考提分新题
12.(2024·连云港中考)如图,AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB 上方的圆弧上,∠1,∠4 的一边分别经过点 A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
1. D 2. B
3.6 [解析]由题意，知∠AOB=120°,∠OCB=90°,∴∠OBC=∠AOB- ∵OC=3,∴OB=2OC=6, 如图，连接AB.∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠BAO=∠ABO= 即在 Rt△ACB 中,∠BAC=30°,∴AB=2BC=6
2∠BAC,∴∠AOB=2∠BOC.
(2)如图,过点O作半径OD⊥AB 于点E,连接DB,∴AE=BE.
∴∠DOB=∠BOC,∴BD=BC.设BC=BD=x.
∵AB=4,∴BE=2.
在 Rt△BDE 中,∠DEB=90°,
在 Rt△BOE 中,∠OEB=90°,OD=
即
解得 舍去)，即BC 的长为
5. D [解析]连接OC.∵∠ABC=19°,
∴∠AOC=2∠ABC=38°.∵半径OA,OB 互相垂直,
∴∠AOB=90°,∴∠BOC=90°-38°=52°,
故选 D.
6.54 [解析]如图,连接BO,∵∠BOC=2∠A,∠A=30°,∴∠BOC=2×30°=60°.又 ∠COD),而∠i∠COD=48°,∴∠E=
7.127.5 [解析]∵AB,CD 是⊙O的两条相等的弦, 的度数分别为30°,120°, 的度数为105°,∴优弧AB 的度数为360°—105°=255°,∴∠APB=
8.(1)120°[解析]连接OC,∵OA=2,∴OC=OA=2.
∵AB是⊙O 的直径,E 是OA 的中点,且CD⊥AB,
∴在Rt△OCE 中,
∴∠OCE=30°,∠COE=60°,∴∠BOC=180°-∠COE=120°,即 BC 的度数为120°.
(2)2 [解析]连接AC,OC,如图.由(1)可知∠COE=60°,又OA=OC=2,
∴△OAC 为等边三角形,
∴AC=OA=OC=2.
∵AB 是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴AC=AD,∴∠ACD=∠P.
∵CQ平分∠PCD,∴∠DCQ=∠PCQ,
∴∠ACQ=∠ACD+∠DCQ=∠P+∠PCQ.
又∠AQC=∠P+∠PCQ,∴∠ACQ=∠AQC,
∴AQ=AC=2,∴x的值为2.
9.(1)如图,连接BD.
∵AB=CD,∴∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC.
(2)如图,连接CD,OB,OD,设OC,BD 相交于点F.
∵AD∥BC,∴∠EDF =∠CBF,∠DEF=∠BCF.
∵BC=CD,∴BC=CD.
又OB=OD,∴OC⊥BD,FB=FD.
∴△DEF≌△BCF(AAS).
∴FE=FC.
∴四边形 BCDE 是平行四边形.又 BD⊥CE,∴平行四边形 BCDE 是菱形.
10.(1)如图,连接OC,
∵AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB,
∵AB=10,AE=8,∴OC=5,BE=2,∴OE=3.
在 Rt△COE 中,由勾股定理,得
∴CD=2CE=8.
(2)如图,连接AC,∵AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB,
∴AB 垂直平分CD,
∴AC=AD,CP=DP.
在△ACP 和△ADP 中
∴△ACP≌△ADP(SSS),∴∠ADP=∠ACP.
∵AQ=AQ,∴∠ACP=∠ADQ,∴∠ADP=∠ADQ.
11.(1)∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB 于点E,.
即
∴BF=CD.
→在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等
(2)如图(1),连接BC,过点O作OH⊥BF 于 H,连接OG,由(1)得CF=BD,CD=BF=4,
∴∠FBC=∠BCD,
∴BG=CG.
∵AB 为⊙O 的直径,CD⊥AB 于点E,.
设EG=x,则.BG=CG=2-x,
在△BEG 中, 即
勾股定理的前提是直角三角形
解得
∵OH⊥BF 于点H,∴∠OHB=90°,BH=FH=2,
在 Rt△EOG 和 Rt△HOG 中,(CE=OH,
∴Rt△EOG≌Rt△HOG(HL),∴OH=OE.
设OE=OH=y,则OB=y+1,
在 Rt△BOH 中,由勾股定理,得解得 ∴OE 的长为
(3)如图(2),连接OC交BF 于点I,由(2)知CG=BG, 在△OCG 和△OBG 中,
∴△OCG≌△OBG(SSS),
∴∠COG=∠BOG,∴∠IOB=2∠EOG.
∵OF=OB,BC=CF,OC为⊙O的半径,
∴OC⊥BF,∴∠OIB=90°,
∴∠IOB+∠IBO=90°,∴2∠EOG+ ∠AOF=90°.
12.90 [解析]∵AB 是圆的直径,∴AB 所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为180°.∵∠1,∠2,∠3,∠4所对的弧的和为半圆，