专题提优特训12 与垂径定理有关的计算与证明 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题提优特训12 与垂径定理有关的计算与证明
题型1构造垂径定理进行计算
1. 如图,∠C=90°,⊙C 与AB 相交于点 D,AC=6,CB=8.求AD 的长.
2.如图，在半径为10 的⊙O 中,∠AOB=90°,C 为OB 的中点,AC 的延长线交⊙O 于点D，求线段CD 的长.
3.如图，点C 是⊙O的弦AB 的中点，连接OC 并延长交AB 于点 D,连接OB,DB.若AB=4,CD=1,求△BOD 的面积.
题型2 垂径定理的实际应用
4.传统文化 陶瓷文化(2025·吉林延边州期末)自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，AB 是⊙O 的一部分,D 是AB 的中点,连接OD,与弦AB 交于点 C,连接 OA,OB. 已知 AB =18cm,碗深CD=6cm,求OA 的长.
5. (2025·北京十一晋元中学期末)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽 MN 为7cm,AB=6cm,CD=8cm.请你帮忙计算纸杯的直径.
6.(2025·安徽淮北期末)如图(1)，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 AB 为直径的半圆O,AB=26 cm,MN 为水面截线,MN=24 cm,GH 为桌面截线,MN∥GH.
(1)作OC⊥MN 于点C,求OC 的长;
(2)将图中的水倒出一部分得到图(2)，发现水面高度下降了 7 cm，求此时水面截线减少了多少.
题型3 利用垂径定理证明
7.(2025·江西南昌28 中教育集团期末)如图,AO=BO,⊙O交AB 于C,D 两点,半径OE⊥AB 于点 F.求证:AC=BD.
8.(2025·江苏泰州靖江期中)如图，以 AB 为直径的半圆O上有一点C,过点 C 作CD⊥OA,垂足为D,过点 A 作AE⊥OC,垂足为 E(不与点O,C 重合),AE 的延长线交半圆O 于F.
求证：
题型4 与垂径定理有关的综合题
9.如图,线段AB=10,AC=8,点D,E在以AB为直径的半圆O上，且四边形 ACDE 是平行四边形,过点 O作OF⊥DE 于点 F,求 AE的长.
10.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,O 为△ABC 角平分线的交点，以 OC 为半径的⊙O交△ABC 于点D,E,F,G.
(1)求证:CD=EF;
(2)若⊙O 的半径为4 ,AE=2,求AB 的长.
1.如图,作CE⊥AD于点E.
∵∠ACB=90°,AC=6,CB=8,
在 Rt△ACE中,
∵CE⊥AD,∴AD=2AE=
2.如图,过点O作OH⊥AD 于点 H,
∵C为OB 的中点,
∵∠AOB=90°,
3.设⊙O的半径是r,
∵点C 是AB的中点,OC 过圆心O,∴OC⊥AB.
∴△BOD的面积
4.∵D是AB的中点,∴OD⊥AB,
设OA= rcm,则OC=(r-6) cm.
在 Rt△OAC中,由勾股定理得(
即 解得 3 cm. ∴OA的长为
5.如图,连接OC,OB,由题意,得MN⊥AB,MN 过圆心O,MN=7cm.
∵CD∥AB,
设OM=x cm,
∴ON=MN-OM=(7-x) cm.
解得x=3,∴OM=3cm,
∴纸杯的直径为5×2=10(cm).故纸杯的直径为10cm.
关键提醒 作辅助线构造直角三角形，两次利用垂径定理和勾股定理表示出半径的平方列方程是解题关键.
6.(1)如图(1),连接ON.
(2)如图(2),过O作OH⊥EF 于点H,∴EF=2FH.
∵水面高度下降了7cm,∴OH=5+7=12(cm).
∴此时水面截线减少24-10=14(cm).
7.∵OA=OB,OE⊥AB 于点F,∴AF=BF.又OE 是⊙O 的半径,OE⊥AB,∴CF=DF,∴AF-CF=BF-DF,即AC=BD.
∴∠A+∠AOE=90°.∵CD⊥OA,∴∠CDO=90°,
∴∠C+∠AOE=90°,∴∠A=∠C.
在△AOE 和△COD 中
∴△AOE≌△COD(ASA),∴AE=CD,∴CD= AF.
9.如图,过点 E 作EG⊥AB 于点G,连接OE,则 ∠EGO=90°.
∵四边形 ACDE 是平行四边形，
∴DE=AC=8,DE∥AB.
∵OF⊥DE,即
∴四边形OFEG 是矩形,
∴OG=EF=4,∴AG=5-4=1.
在Rt△OEG 中,
在 Rt△AGE中,
10.(1)如图,过点O作OM⊥AB 于点M,ON⊥AC 于点N,OH⊥CG 于点 H,连接OE,OD.
∵点O 为△ABC 角平分线的交点,∴OM=ON.
∵OE=OD,∴Rt△OME≌Rt△OND(HL).
∴ME=ND.∵EF=2ME,CD=2ND,∴CD=EF.
(2)由(1)可知CD=EF,同理可得CD=CG,∴CD=EF=CG.
∵点O为△ABC 角平分线的交点，
∵∠ACB=90°,∴四边形ONCH 是正方形.
,由勾股定理易得OH=CH=4.
∴EF=CD=CG=2CH=8.
易证△AOM≌△AON(AAS),∴AM=AN=6.
同理BM=BH,∴AC=10.
设BM=BH=x,则BC=x+4,AB=x+6.
即 解得x=20,∴BM=20.
∴AB=AM+BM=6+20=26.