24.1.2 垂直于弦的直径 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径
基础巩固提优
1. 教材 P83练习T1·变式 (2024·新疆中考)如图,AB是⊙O 的直径,CD 是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为 E.若 CD=8,OD =5,则 BE 的长为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.(2023·永州中考)如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为10 cm，水的最深处到水面AB 的距离为4cm，则水面AB 的宽度为 cm.
3.教材P82例2·变式 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为30m,拱高 PM 为9m,当洪水泛滥到跨度只有 15 m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有 2m ，即PN=2m时,试求:
(1)拱桥所在的圆的半径；
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.
思维拓展提优
4.传统文化 “桨轮船” (2025·广东广州白云区期末)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦 AB 长 4m ，轮子的吃水深度CD 为1m，则该桨轮船的轮子直径为( ).
A. B. 4m C. 5m D. 6m
5.(2024·武威三模)如图,⊙O 的半径为5,弦AB=6,点 C 在弦AB 上,延长 CO 交⊙O 于点 D,则CD 的取值范围是（ ）.
A. 6≤CD≤8 B. 8≤CD≤10
C. 96.(四川成都外国语学校自主招生)如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（ ）.
(2024·张家口宣化区模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交AB 于点 P,AP =2,BP =6,∠APC=30°,则 CD 的长为 .
8.圆底烧瓶 (2025·山东济南钢城区期中)如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度CD=2cm,截面圆中弦AB 长为10 cm,那么球的半径OB 长为 .
9.传统文化《九章算术》(2023·东营中考)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何 ”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD 为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD 的长度为 寸.
10.如图,CD 为⊙O 的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为 E,连接AC.
(1)求∠B 的度数;
(2)若 ，求⊙O的半径.
11.新情境构建圆弧形拱桥模型如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度 AB 为16 m，拱高( 的中点C到弦AB 的距离)CD 为4m.
(1)求圆弧形拱桥所在圆的半径.
(2)有一艘宽为 10 m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过该圆弧形拱桥 并说明理由.
延伸探究提优
12.如图,在半径为 6 的扇形 AOB 中,∠AOB=120°,C 是 上的一个动点(不与 A,B 重合),OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为 D,E.
(1)求 DE 的长;
(2)求四边形ODCE 各内角的度数.
中考提分新题
13.(2024·通辽中考)如图,圆形拱门最下端 AB 在地面上，D为AB 的中点，C为拱门最高点，线段CD 经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为( ).
1. B
2.16 [解析]如图,过点O作OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,连接OA, 由题意，知OA=10cm,CD=4cm,∴OC=6cm.
在Rt△AOC中,
∴AB=2AC=16cm.
解后反思 有关弦的问题，常添弦心距与半径构成一个直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解有关线段的长度.
3.(1)如图，设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA'，设半径为 xm,则(OA=OA'=xm.由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N.
∵AB=30m,
连接OM.∵AM=BM,
∴OM⊥AB,且点O,M,P共线,∴OP=x m.
在Rt△AOM 中,OM=OP-PM=(x-9)m.
由勾股定理，得.
即 解得x=17,
即拱桥所在的圆的半径为17 m.
(2)∵OP=17m,∴ON=OP-PN=17-2=15(m).
在Rt△A'ON 中, ∴不需要采取紧急措施.
解后反思 构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数解决几何问题的数学思想方法一定要掌握.
4. C
5. D [解析]如图,过O作OH⊥AB于 H, ⊙O的半径为 4,∴当C 和H 重合时,OC 的最小值是4,CD 的最小值是4+5=9,
当CD 是圆直径时,CD 的值最大是5×2=10,∴CD 的取值范围是9≤CD≤10.故选 D.
6. C[解析]根据题意画出图形，如图，对角线长为a 的正方形桌面的边长
∵四边形AEFD 为矩形,
又
∴桌布下垂的最大长度为 故选C.
[解析]如图,作OH⊥CD于H,连接OC,∵OH⊥CD,∴HC=HD.
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,∴OA=4,
∴OP=OA-AP=2.
在 Rt△OPH 中,∵∠OPH=30°,
在 Rt△OHC中,
∵OC=4,OH=1,
[解析]根据题意,得AB⊥OD,
∵OB=OD,∴OC=(OB-2) cm.
在Rt△BOC 中,
解得
9.26
10.(1)∵AE⊥BC,AE过圆心O,
∴CE=BE,∠AEC=∠AEB=90°.
在△AEC 和△AEB 中,
∴△AEC≌△AEB(SAS),∴AC=AB.
同理,AC=BC,∴AB=AC=BC,
∴△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°.
(2)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°.
∵CD⊥AB,AC=BC,
解得OE=1(负值舍去),
∴OC=2OE=2,即⊙O 的半径为2.
11.(1)如图,记AB 所在圆的圆心为O,连接OB,OD.由题意,得C,D,O三点共线,且OC⊥AB,DA=DB.
∵AB=16 m,
设OB=OC=r m,
则OD=(r-4)m.
在 Rt△BOD 中,
根据勾股定理，得
解得r=10.
∴圆弧形拱桥所在圆的半径为10 m.
(2)此货船能顺利通过该圆弧形拱桥.理由如下：
如图,在CD上取点E,使DE=2m,过点 E 作AB 的平行线,分别交AB于点M,N,连接ON.
∵CD=4m,DE=2m,∴CE=4-2=2(m).
∴OE=r-CE=10-2=8(m).
在 Rt△OEN 中,
∴EN=6m .∴MN=2EN=12m>10 m.
∴此货船能顺利通过该圆弧形拱桥.
12.(1)如图,连接OC,AB,过点O作OJ⊥AB 于点J.
∵OA=OB=6,OJ⊥AB,∠AOB=120°,
∴∠OAB=∠OBA=30°,AJ=JB,
勾股定理
∵OD⊥AC,OE⊥BC,
∴AD=DC,CE=EB,∴DE= AB=3
三角形中位线定理 ←
(2)∵OA=OC=OB,OD⊥AC,OE⊥BC,
∴∠AOD =∠COD,∠BOE =∠COE,∴∠EOD =
∵∠ODC=∠OEC=90°,
四边形的内角和为 360°
13. B [解析]如图,连接OA.
∵D为AB 的中点，C 为拱门最高点，线段 CD 经过拱门所在圆的圆心，AB=1m,∴CD⊥AB,AD=BD=0.5m,设拱门所在圆的半径为r m，
∴OA=OC= rm.
∵CD=2.5m,∴OD=(2.5-r)m,
,解得r=1.3,
∴拱门所在圆的半径为1.3m.故选 B.