24.1.1圆 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.1圆
基础巩固提优
1.(2025·江苏无锡外国语学校期中)下列说法中正确的是( ).
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.半圆是圆中最长的弧
D.直径是圆中最长的弦
2.(2025·陕西西安碑林区西北工大附中月考)已知⊙O 的半径为6，则⊙O 中弦AB 的长度不可能是( ).
A. 6 B. 8 C. 12 D. 13
3.传统文化《墨经》战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 .
4.已知⊙O 的半径为3，且 A，B 是⊙O 上不同的两点，则弦AB 长度的取值范围是 .
5. 教材P80例1·变式如图,在四边形ACBD 中,∠C=90°,∠D=90°,对角线 AB 的中点为点O.求证:A,B,C,D 四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
思维拓展提优
6.下列说法：①长度相等的弧是等弧；②弦不包括直径；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦.其中正确的有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个
7.(2025·浙江J12共同体联盟期中)如图,点A,N 在半圆O上,四边形ABOC,DNMO 均为矩形,BC=a,MD=b,则a,b的关系为( ).
A. a>b B. a=b
C. a8.如图,在⊙O中,AB 为直径,CD⊥AB 于点 C,四边形CDEF 是正方形,连接BD,若CO=3,OF=1,则 BD 的长为( ).
A. 3 B. 4 C. 13
9.如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB,垂足为C, 则∠ABD 的度数为( ).
A. 90° B. 95° C. 100° D. 105°
10.如图,⊙O的周长为4π,B 是弦CD 上任意一点(与C，D不重合)，过点 B 作OC 的平行线交OD 于点E,则 EO+EB=__________
11.传统文化《周髀算经》我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺，如图(1)所示)的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法.我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图(2)所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点 C 的运动路线将会是一个圆.依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：
12.如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,∠AOB 与∠C 互补,∠COD 与∠A 相等,则∠AOB 的度数是 .
13.(2025·江苏南通海门区海南中学月考)如图，点O 是同心圆的圆心，大圆半径 OA，OB 分别交小圆于点C,D,求证:AB∥CD.
14.如图,CD 是⊙O 的直径,E 是⊙O 上一点,∠EOD=48°,A 为 DC 延长线上一点,且AB=OC,求∠A 的度数.
延伸探究提优
15.分类讨论思想如图，直线 AB 经过⊙O 的圆心，与⊙O 相交于点 A,B,点 C 在⊙O 上,且∠AOC=30°,点 P 是直线AB 上的一个动点(与点O 不重合)，直线 PC 与⊙O 相交于点Q，问：点P 在直线AB 的什么位置上时，QP=QO 这样的点 P 共有几个 并相应地求出∠OCP 的度数.
1. D 2. D 3.圆心 4.05.如图,连接OC,OD.
∵∠ACB=∠ADB=90°,AB的中点为点O,
∴A，B，C，D 四个点在以点O为圆心，OA 长为半径的圆上.解后反思 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的定义，是基础题，熟记此性质是解题的关键.
6. A 7. B
8. B [解析]如图,连接DO.
∵CO=3,OF=1,∴CF=4.
∵四边形CDEF 是正方形，
∴∠DCO=90°,CD=CF=4,
∴OB=OD=5,∴CB=CO+OB=8,
故选 B.
思路引导 连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD 即可.
9. D [解析]如图,连接OB,则OB=OD.
∵OC⊥AB,∴∠OBC=30°.
∵OD∥AB,
∴∠BOD=∠OBC=30°,
.故选 D.
10.2 [解析]∵⊙O 的周长为4π,∴OD=2.
∵OC=OD,∴∠C=∠D.∵BE∥OC,∴∠EBD=∠C,
∴∠EBD=∠D,∴BE=DE,∴EO+EB=OD=2.
11.圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合[解析]如图,连接AB,取AB 中点O,连接OC.∵∠ACB=90°,
∴动点C到O的距离是定值，∴“矩”的顶点 C 的运动路线将会是一个圆，∴应用数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.
12.108° [解析]设∠AOB=x,则∠C=∠D=180°-x,∠A=∠B= (180°-x).∴∠COD=180°-2∠C=2x-180°,
∵∠COD=∠A,
解得x=108°.
13.∵OC=OD,
∵OA=OB,
∴∠OCD=∠OAB,∴AB∥CD.
14.如图,连接OB.
∵OB=OC,AB=OC,
∴AB=OB,
∴∠AOB=∠A.
∵∠EBO=∠A+∠AOB=2∠A,OB=OE,
∴∠E=∠EBO=2∠A.
∵∠A+∠E=∠EOD,
∴∠A+2∠A=48°,解得
15.①如图(1),当点 P 在线段OA 上时,在△QOC 中,OC=OQ,∴∠OQC=∠OCQ.在△OPQ中,QP=QO,∴∠QPO=∠QOP.
→等边对等角
设∠OQP=∠OCQ=x.
∵∠QPO=∠AOC+∠OCQ=30°+x,
三角形内角和定理
解得x=40°,∴∠OCP=40°;
②如图(2)，当点 P 在线段OA 的延长线上时，
在△OQP 中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③.
把①②代入③,得∠QOC=20°,∴∠OQP=80°.
③如图(3)，当点 P 在线段OA 的反向延长线上时，
∵∠AOC=30°,∴∠COQ+∠POQ=150°③.
∵∠BPQ=∠POQ,∴2∠BPQ=∠OQC=∠OCP④.联立①②③④,得∠BPQ=10°,∴∠OCP=2∠BPQ=20°.综上所述，这样的点 P 有 3 个，∠OCP 的度数分别为40°,100°,20°.