2025-2026学年人教版九年级数学上册第二十四章 圆 提优测评卷 同步提优训练（含答案）

第二十四章 圆 提优测评卷
时间:90分钟 总分:100分
第Ⅰ卷(选择题 共20分)
一、选择题(本题包括10小题，每小题2分，共20分)
1.(2025·陕西西北工大附中期末)已知⊙O的半径为6，则⊙O 中弦AB 的长度不可能是（ ）.
A. 6 B. 8 C. 12 D. 13
2.(2024·长沙中考)如图,在⊙O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的 距离OE=4,则⊙O的 半径长为( ).
A.4 C. 5
3.(2024·黑龙江绥化期末)下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆.其中错误的有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.(2024·泰安中考)如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上两点,BA 平分∠CBD,若∠AOD=50°,则∠A 的度数为( ).
A. 65° B. 55° C. 50° D. 75°
5.(2024·牡丹江中考)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 是⊙O 的直径,若∠BEC=20°,则∠ADC 的度数为( ).
A.100° B. 110° C. 120° D. 130°
6.如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D 的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是（ ）.
A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE=OD D. ∠BOD=50°
7.(2023·聊城中考)如图,点O 是△ABC 外接圆的圆心,点I 是△ABC 的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC 的度数为( ).
A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 25°
8.将军队马模型(2024·绵阳中考)如图,在边长为2 的正六边形 ABCDEF 中,连接BE,点 H 在 BE上运动,点G为EF 的中点,当△AGH 的周长最小时,AH+GH=( ).
C. 12 D. 13
9.(2023·河北中考)如图,点 P ~P 是⊙O 的八等分点.若△P P P ,四边形. 的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）.
A. aC. a>b D. a，b大小无法比较
10.对角互补模型 (2024·日照中考)如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠B=120°,点O是对角线AC 的中点，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点 D 在扇形OEF 内，则图中阴影部分的面积为（ ）.
D.无法确定
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本题包括8小题，每小题2分，共16分)
11.(2024·陕西中考)如图,AB 为⊙O 的直径, ,则∠B 的度数是 .
12.(2023·深圳中考)如图,在⊙O中,AB 为直径,C为圆上一点,∠BAC 的平分线与⊙O 交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD= °.
13.(2024·镇江中考)如图，四边形ABCD 为平行四边形，以点A 为圆心、AB 长为半径画弧，交BC边于点E,连接AE,若AB=1,∠D=60°,则. 的长l= (结果保留π).
14.(2024·牡丹江中考)如图,在⊙O 中,直径AB⊥CD 于点E,CD=6,BE=1,则弦AC 的长为 .
15.(2024·西宁中考)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,E 为直径CD 延长线上一点, ∠ADE=110°,则∠DAB= .
16.(2024·包头中考)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,点O在四边形ABCD 内部,过点C作⊙O 的切线交AB 的延长线于点 P,连接OA,OB.若. 则∠ADC 的度数为 .
17.如图，⊙O 是以原点为圆心、 为半径的圆，点P 是直线y=-x+8上的一点，过点 P 作⊙O 的一条切线PQ，Q为切点，则切线长 PQ 的最小值为 .
18.如图, 所对圆心角∠AOB=90°,半径为4,C 是OB 的中点,D 是 上一点，把 CD 绕点C逆时针旋转90°得到 CE，连接AE，则AE 的最小值是 .
三、解答题(本题包括8小题,第19~21题每题6分,第22~25题每题8分,第26题14分,共64分)
19.(2025·山东临沂郯城期中)马陵山藏兵洞位于新沂市马陵山镇，此洞冬暖夏凉弯弯曲曲，1967年开始由某部工程兵开凿、历时4年完成，洞有指挥室、机要处、水井等设施，作为军事防空洞.如图，已知主洞是由矩形和弓形组成，宽约4米(即AB=4m)，高约5米，侧墙的垂直高度约4米(即 AD=4m),求弧AB 所在⊙O 的半径长.
20.(2024·安徽中考)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是直径AB 上一点,∠ACD 的平分线交AB于点E,交⊙O 于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设 FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
21.如图,AB 为⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点C,交AB 的延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E,过点 B 作BF⊥CE,垂足为 F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段 BF 的长.
22.已知AB为⊙O的直径,AB=6,C 为⊙O 上一点,连接CA,CB.
(1)如图(1),若C为. 的中点，求∠CAB 的大小和AC 的长；
(2)如图(2),若AC=2,OD 为⊙O 的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D 作⊙O的切线,与AC 的延长线相交于点F，求 FD 的长.
23.(2023·德州中考)如图,AC 为四边形ABCD 的对角线,∠CAD=60°,∠ACD=35°,∠ACB=90°,△ABC 的外接圆交CD 于点E,AC 所对的圆心角的度数为120°.
(1)求证:AD 是△ABC 的外接圆的切线;
(2)若△ABC 的外接圆的半径为3,求的长.
24.(2024·济宁中考)如图,△ABC 内接于⊙O,D 是BC 上一点,AD=AC. E 是⊙O 外一点,∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB,连接BE.
(1)若AB=8,求AE 的长;
(2)求证:EB 是⊙O 的切线.
25.如图,在△ABC中,∠C=90°,点 M 在圆O上,AC 交圆O 于点M,BC 与圆O交于点D,DM=DE,DE⊥AD 交AB 于点E,AE 为⊙O 的直径,DF⊥AB.
(1)求证:∠CAD=∠DAB;
(2)若 DM 平分∠ADC,求∠CAD 的度数;
(3)若AD=BD=6cm,求图中阴影部分的面积.
26.新情境构建模型[问题情境]
(1)点A 是⊙O外一点,点 P 是⊙O 上一动点.若⊙O 的半径为2,且(OA=5,,则点 P 到点A的最短距离为 .
[直接运用]
(2)如图(1),在 中， ，以 BC 为直径的半圆交AB 于点D，P 是弧CD 上的一个动点，连接AP，则AP 的最小值是 .
[构造运用]
(3)如图(2)，已知正方形ABCD 的边长为6，点M，N 分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边 BC，CD 方向向终点C 和D 运动，连接AM和BN 交于点P，求点 P 到点C 的最短距离，并说明理由.
[灵活运用]
(4)如图(3),⊙O 的半径为4,弦.AB=4,，点C 为优弧AB 上一动点， 交直线CB于点M，则 面积的最大值是 .
第二十四章提优测评卷
1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C
7. C [解析]如图,连接OC.
∵点I 是△ABC 的内心,
∴AI 平分∠BAC.
∵∠CAI=35°,
∴∠BAC=2∠CAI=70°.
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=140°.
故选C.
8. B [解析]如图,要使△AGH 的周长最小，即AH+HG最小，利用正六边形的性质可得点 G 关于 BE的对称点为 DE 的中点 G'，连接AG'交 BE 于点 H',连接 AE,H'G,则H'G=H'G',此时AH'+GH'=AG'最小.
∵∠F=120°,AF=EF=2,
故当△AGH 的周长最小时,AH+ 故选B.
9. A [解析]如图,连接 P P ,P P .∵点 P ~P 是⊙O 的八等分点，∴ ∴b-a>0,∴a10. A [解析]如图,过点 O作ON⊥AD,OM⊥CD,连接OD.
∵∠ADC+∠HOG=180°,
∴∠NHO+∠DGO=180°.
∵∠DGO+∠MGO=180°,
∴∠NHO=∠MGO.
∵∠ADO=∠CDO,ON⊥AD,OM⊥CD,∴OM=ON.
在△ONH 和△OMG 中,
∴△ONH≌△OMG(AAS),∴△ONH 的面积=△OMG的面积,∴四边形 HOGD 的面积=四边形 NOMD 的面积=2×△OMD 的面积.
∵∠ODC=60°,∴∠DCO=30°,∠DOM=30°,∴OD= 四边形 HOGD 的面积=2×△OMD 的面积 阴影部分的面积=扇形面积-四边形 HOGD 的面积= 故选 A.
11.37°12.35 13.
[解析]∵AB⊥CD,CD=6,∴CE=ED= 设⊙O 的半径为r,则OE=OB-EB=r-1.在 Rt△OED 中,由勾股定理,得 即 ,解得r=5,
∴OA=5,OE=4,∴AE=OA+OE=9.
在 Rt△AEC 中,由勾股定理,得
15.125°[解析]连接OA,OB,如图.
∵∠ADE=110°,∠ADE+
∠ADO=180°,
∴∠ADO=70°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=70°,
∴∠AOD=40°,∴∠AOC=140°.
∴∠AOB=∠BOC=70°.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=55°.
∵四边形ABCD 为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠OCB=180°,∴∠DAB=125°.
16.105°[解析]连接OC.
∵点C为切点,∴OC⊥PC,
∴∠OCP=90°.
∵∠BCP=35°,∴∠OCB=90°-∠BCP=55°.
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=55°,
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=70°.
17.2 [解析]∵P在直线y=-x+8上,∴设点 P 的坐标为(m,8-m).如图,连接OQ,OP,由 PQ 为圆O 的切线,得到 PQ⊥OQ.在 Rt△OPQ 中,根据勾股定理,得 则当m=4时,切线长 PQ有最小值为2
一题多解 本题可以用代数法和几何法求解.上面解析所给的方法即为代数法，通过列二次函数解答.因为 OQ 为定值，所以求切线长 PQ 的最小值，可以先求出OP 的最小值，我们可用几何法求出点O到直线y=-x+8的距离，该距离的长即为OP 的最小值.
[解析]如图，连接OD，以OC 为边向下作正方形OCTH，连接AT,ET.∵OA=OB=4,OC=CB=CT=OH=HT=2,
∴AH=AO+OH=6,
∵∠OCT=∠ECD=90°,
∴∠OCD=∠TCE.
在△OCD 和△TCE 中,
∴△OCD≌△TCE(SAS),
∴ET=OD=4.∵AE≥AT-ET=2 -4,
∴AE 的最小值为
19. 设弧AB 所在⊙O的半径长为 rm.
∵AB=4m,OE⊥AB,∴AE= AB=2m.
∵EF+AD=5m,AD=4m,∴EF=1m,
∴OE=OF-EF=(r-1)m.
在 Rt△AEO中,由勾股定理,得
解得
故弧AB 所在⊙O的半径长为
20.(1)∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF.
∵∠FAE 与∠BCE 都是BF 所对的圆周角,
∴∠FAE=∠BCE.
∵∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE.
∵CE 平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.
∵AB 是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,
∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB.
(2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,∴BE=BC.
∵AF=EF,FM⊥AB,
∴MA=ME=OM+OE=2,∴AE=4,
∴圆的半径OA=OB=AE-OE=3,
∴BC=BE=OB-OE=2.
在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,
21.(1)如图,连接OC.
∵CD与⊙O 相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∵∠D=30°,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∴∠A=∠D=30°,
∴CA=CD.
(2)∵AB 为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵CE平分
∵BF⊥CE,∴∠BFC=90°,
∴△BFC 是等腰直角三角形,∴BF=CF.在Rt△BFC中, ∴线段 BF 的长为3
22.(1)∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°.
∵C为AB的中点,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∴△ABC 是等腰直角三角形,∴AC=BC.在Rt△ABC中,
(2)∵DF 是⊙O的切线,∴OD⊥DF.
∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠FCB=90°.
又OD⊥BC,∴四边形FCED 为矩形,∴FD=EC.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,AB=6,则 BC=
23.(1)如图,设圆心为点 O,连接OC.
∵AC所对圆心角的度数为120°,∴∠AOC=120°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∵∠CAD=60°,
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°.
∴OA⊥AD.∵∠ACB=90°,
∴AB 是⊙O的直径.
∴OA 是⊙O的半径.
∴AD 是△ABC 外接圆的切线.
(2)如图,连接OE.∵∠OCA=30°,∠ACD=35°,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=30°+35°=65°.
∵OC=OE,∴∠OEC=∠OCD=65°,
∴∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=180°-65°-65°=50°,
∴CE的长=
24.(1)∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,
即∠EAD=∠BAC.
又AD=AC,∠ADE=∠ACB,
∴△ADE≌△ACB(ASA),∴AE=AB.
∵AB=8,∴AE=8.
(2)如图,连接 BO 并延长交⊙O于点F,连接AF.
∵BF 是⊙O的直径,
∴∠BAF=90°,
∴∠AFB+∠ABF=90°.
∵∠AFB=∠ACB,
∴∠ACB+∠ABF=90°.
在△ADC 中,AD=AC,∴∠ACB=∠ADC,
∴2∠ACB+∠CAD=180°.
由(1)知AE=AB,∴∠AEB=∠ABE,
∴2∠ABE+∠BAE=180°.
∵∠BAE=∠CAD,∴∠ACB=∠ABE,
∴∠ABE+∠ABF=90°,即∠OBE=90°.
∵OB 为⊙O 的半径,∴EB 是⊙O的切线.
(2)如图,连接OM,OD,过点O作OH⊥MD 于点 H.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠CAD=∠DAB,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC.∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,∴OD⊥BC,
∴∠MDC+∠MDO=90°.
∵OM=OD,OH⊥MD,
等腰三角形“三线合一”
∵∠CAD= ∠MOD,∴∠CAD=∠DOH.
∵∠DOH+∠MDO=90°,∴∠DOH=∠CDM,
∴∠CAD=∠CDM.
∵DM 平分∠ADC,∴∠CDM=∠ADM.
∵∠CAD+∠ADM+∠CDM=90°,∴∠CAD=30°.
(3)∵DA=DB,∴∠DAB=∠B.
∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,
∴∠DOB=∠DAB+∠ADO=2∠B.
∵∠DOB+∠B=90°,
∴∠B=∠DAB=30°,∴∠BOD=60°.
在 Rt△ODF 中,∠ODF=30°,∴OD=2OF.
又(
解得
∴扇形ODE 的面积
△ODF 的面积
∴阴影部分的面积=扇形 ODE 的面积-△ODF 的面积
26.(1)3 (2) -1
(3)点 P 到点C 的最短距离为3 -3.理由如下：如图,取AB 的中点O,连接OP,OC,PC.
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC,CD 方向向终点C和D 运动,∴BM=CN.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=6,∠ABM=∠BCN=90°.
在△ABM 和△BCN 中
∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.
∵∠CBN+∠ABN=90°,∴∠BAM+∠ABN=90°.
∴∠APB=90°.∴点 P 在以AB 为直径的⊙O 上运动.
,又PC≥OC-OP,∴PC≥3 -3.
∴PC的最小值为 即点 P 到点C 的最短距离为
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