2025-2026学年人教版九年级数学上册25.3 用频率估计概率 同步提优训练（含答案）

25.3 用频率估计概率
第 1课时 用频率估计概率 (1)
基础巩固提优
1.(2024·贵州中考)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）.
A.小星定点投篮1次，不一定能投中
B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次
D.小星定点投篮4次，一定投中1次
2.新情境 摸球试验 (2023·鞍山中考)在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200 次，发现有 50 次摸到红球，则口袋中红球约有 个.
3.一个盒子中有红球、白球共3个，这些球除颜色外都相同.
(1)随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒子中，不断重复这一过程.在120 次摸球中有80次摸到白球，估计盒子中白球的数量；
(2)在(1)的结论下同时摸出两个球，求摸到的球颜色相同的概率.
思维拓展提优
4.(2025·浙江温州12中期末)已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近,则x的值为( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.(2023·扬州中考)某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 n 2 5 10 50 100 500 1 000 1500 2000 3 000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2 794
发芽的频率m(精确到0.001) 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 (精确到0.01).
6.(2023·兰州中考)某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5 000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1 587 2 650
盖面朝上频率 0.560 0 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300
下面有三个推断：
①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2 000 次试验的结果一定是“盖面朝上”；③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53.其中正确的是 .(填序号)
7.教材P144练习T1·变式 为增强中学生体质，某市将篮球运球列为体育中考选考项目，该市学生不仅练习了运球，还练习了投篮，下表是一名同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答问题.
投篮次数 n 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 m 28 60 78 104 124 153 252
(1)估计这名同学投篮一次，投中的概率约是 .(精确到0.1)
(2)根据此概率，估计这名同学投篮2 024次，投中的次数约为多少
8.(2025·福建三明期中)在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601
摸到白球的频率mn a 0.64 0.61 0.59 0.60 0.601
(1)表中的a= ,b= ;
(2)“摸到白球”的概率的估计值是 ；(精确到0.1)
(3)若袋中有18个白球，计算袋中(除白球外)其他颜色的球的个数.
延伸探究提优
9.(2025·河南新乡期末)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的 次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的 频率mn a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
(1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近 (精确到0.1);
(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率.
第2课时 用频率估计概率 (2)
基础巩固提优
1.(2024·济宁二模)为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是 .”某同学做了下面两个模拟试验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投试验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值(指针落在分界线不计).你认为下面说法正确的是（ ）.
A.试验①科学 B.试验②科学
C.两个试验都不科学 D.两个试验都科学
2.(2024·深圳模拟)为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验.经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率约为 .
3.教材P148习题T5·变式 要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了 50 条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为多少
思维拓展提优
4.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
移植总数m 10 270 750 1 500 3 500 7 000 14 000
成活数n 8 235 662 1 335 3 180 6 292 12 628
成活的频率 nm (结果保留小数点后三位) 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902
下列说法正确的是（ ）.
A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵
B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
C.移植的幼树越多，成活率越高
D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900 左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900
5.新情境知识竞赛活动 为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了若干名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
得分/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
人数/人 10 m n 48
如果随机抽取一名学生答卷，得分在70≤x<90的概率为0.42，那么得分不低于 90分的概率为 .
6.教材 P148习题 T6·变式 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到 20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a 只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到 25岁的概率是 .
7.(2025·江苏苏州姑苏区期末)一个不透明的袋子里装有6个白球，若干个黑球，这些球除颜色外都相同.从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，不断重复上面的过程.根据所得数据绘制了如图所示的折线统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)摸到白球的概率约为 ；(精确到0.1),黑球的个数为 .
(2)若再将 n 个相同的白球放进这个不透明的袋子里，大量重复上述试验，求摸出白球的概率.(用含n的代数式表示)
8.(山东德州夏津双语中学自主招生)小颖和小红两位同学在做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了 60次试验，试验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说：“根据试验得出，出现5点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是 100 次.”小颖和小红的说法正确吗 为什么
延伸探究提优
9.(2025·福建福州仓山区期末)闽江两岸层层绿树，枝头缀满“红果”，色彩斑斓绚丽，这种红果就是福桔，人们誉之为“闽江桔子红”.福州风俗以“红”见好，且“桔”与“吉”音似，所以福桔成为民间吉祥物和赠品.某超市计划二月份订购一批“福桔”，每天进货量相同，进货成本每斤6元，售价每斤8元，未售出的福桔进行降价出售，以每斤4元的价格当天全部处理完.福桔每天需求量与当天客流量有关，为了确定今年二月份的订购计划，超市统计了前三年二月份日平均客流量数据，如下表所示.(2月份天数为28天)
客流量m/人 m<1500 1500≤m<2500 m≥2500
天数/天 21 42 21
福桔每天需求量/斤 200 300 400
(1)以前三年二月份日平均客流量为样本，估计“今年二月份日平均客流量不低于1500”的概率；
(2)该超市二月份福桔每天的进货量为x斤(300≤x≤400),试以“平均每天销售利润y 元”为决策依据，说明当x 为何值时，y取得最大值.
中考提分新题
一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 .
第1课时 用频率估计概率(1)
1. A
2. 3
3.(1)根据题意,得 (个)，故估计白球有2个.
(2)根据题意，画树状图如下：
∵共有6种等可能的结果，摸到的球颜色相同的有2种，
∴摸到的球颜色相同的概率为
4. B[解析]随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，∴摸出黑球的概率为0.6，
解得x=6,
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意.故选 B.
5.0.93 6.①③
7.(1)0.5
(2)2 024×0.5=1012(次).故估计这名同学投篮2024次,投中的次数约为1 012次.
关键提醒 本题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量重复试验的基础上得出的，不能单纯依靠几次决定.
8.(1)0.58 122 (2)0.6
(3)由(2)，得摸到白球的概率为0.6，设其他颜色的球的个数为x，依题意，得 解得x=12.
故袋中(除白球外)其他颜色的球的个数为12.
9.(1)0.6
(2)从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下：
黑 白 白 白
黑 (白,黑) (白,黑) (白,黑)
白 (黑,白) (白,白) (白,白)
白 (黑,白) (白,白) (白,白)
白 (黑,白) (白,白) (白,白)
由表知，共有12种等可能的结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的结果有6种，
所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为
第2课时 用频率估计概率(2)
1. D 2.0.45
3.∵鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，∴鱼塘中做标记的鱼的比例为
∴这个鱼塘的鱼数约为50÷0.02=2500(条).
解后反思 本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼的所占比例是解题关键.
4. D 5.0.48
6.0.8a58 [解析]若设刚出生的这种动物共有a 只，则20年后存活的有0.8a 只.设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.5x，故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为
7.(1)0.2 24
(2)∵将n个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，∴袋中白球的个数为6+n，袋中球的总个数为30+n.
∴摸到白球的概率为
归纳总结 模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行试验或用计算机编号等进行试验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果.
8.(1)“3点朝上”的频率为 “5点朝上”的频率为
(2)小颖和小红说法都错，因为试验是随机的，少量试验的次数不能反映事件的概率.
关键提醒 用到的知识点为频率=所求情况数与总情况数之比.频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事件的概率.
∴估计“今年二月份日平均客流量不低于1500”的概率为0.75.
(2)由题意得,当m<1500时,每天利润为200×(8-6)+(4-6)(x-200)=(-2x+800)元,
当1500≤m<2500时,每天利润为300×(8-6)+(4-6)·(x-300)=(-2x+1200)元,
当m≥2500时,每天利润为(8-6)x=2x元,
-x+800.
∵-1<0,∴y随x增大而减小,∴当x=300时,y最大.
10.15 [解析]由题意知,盒子中球的总个数为5÷0.25=20,所以盒子中红球的个数为20-5=15.
归纳总结 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.