2025-2026学年人教版九年级数学上册25.2 用列举法求概率 同步提优训练（2课时,含答案）

25.2 用列举法求概率
第 1课时 用列举法求概率 (1)
基础巩固提优
1.(2024·北京中考)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是( ).
A. B. C. D.
2.2024年央视春晚的主题为“龙行赢赢，欣欣家国”.“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌.将分别印有“龙”“行”“赢”“赢”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）.
A. B. C. D.
3.(2024·常州中考)在3 张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这 3 张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 .
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率.
思维拓展提优
4.(2024·东营中考)如图,四边形 AB-CD 是平行四边形,从①AC=BD;②AC⊥BD;③AB=BC,这三个条件中任意选取两个，能使□ABCD 是正方形的概率为（ ）.
A. B. C. D.
5.中考新考法 新定义问题 (2023·安徽中考)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）.
A. B. C. D.
6.(2025·陕西宝鸡凤翔区期中)一个不透明的盒子中装有7个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出两个小球，恰好都是红球的概率为 .
7.新情境 “摸球”游戏 小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球(除了编号外都相同)，先从中随机摸出一个球，记下数字后放回；再从中摸出一个球并记下数字，则两次数字之和大于5 的概率为
8.(重庆渝中区巴蜀中学自主招生)将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为 .
9.(2025·辽宁盘锦双台子区期末)(1)有两张图片(分别命名为图片A、图片 B)形状完全相同，景色不同.把两张图片全部从中间剪断(分别命名为A 上、A下、B上、B下)，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少
(2)有三张图片(分别命名为图片 C、图片 D、图片 E)形状完全相同，景色不同.把这三张图片都按同样的方式剪成相同的三段(分别命名为C上、C 中、C 下、D 上、D 中、D 下、E 上、E 中、E下)，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整图片的概率.
延伸探究提优
10.(2025·山西运城盐湖区期中改编)游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉.小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”.其他情况，则为平局.例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局.
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是
(2)如果用A，B，C，D分别表示小刚父亲说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”;用A ,B ,C ，D 分别表示小刚二叔说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少 用列表法加以说明.
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗 为什么
中考提分新题
11. (2024·南充中考)某研学基地开设有A,B,C,D四类研学项目.为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计(每名学生必须选择一项，并且只能选择一项)，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图).根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加调查统计的学生中喜爱 B 类研学项目有多少人 在扇形统计图中，求C 类研学项目所在扇形的圆心角的度数.
(2)从参加调查统计喜爱D 类研学项目的4名学生(2名男生、2名女生)中随机选取2人接受访谈，求恰好选中1名男生1名女生的概率.
第2课时 用列举法求概率(2)
基础巩固提优
1.传统文化豫剧经典人物(2024·河南中考)豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）.
A. B. C. D.
2.实验班原创甲、乙、丙三人同时参加一次演讲比赛，通过抽签的方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 .
3.(2024·盐城中考)在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动.
A.新四军纪念馆(主馆区)；
B.新四军重建军部旧址(泰山庙)；
C.新四军重建军部纪念塔(大铜马).
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
(1)小明选择基地 A 的概率为 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率.
思维拓展提优
4.教材 P138例3·变式甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B；乙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母C 和D；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母 H 和I.从三个口袋中各随机取出1个小球(本题中,A,I是元音字母;B,C,D,H 是辅音字母)，3个小球上恰好有 1 个元音字母的概率是（ ）.
A. B. C. D.
5.(浙江宁波自主招生)从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数 与x轴有两个不同交点的概率为( ).
A. B. C. D.
6.跨学科电路图 (2024·内江中考)如图所示的电路中，当随机闭合开关S ,S ,S 中的两个时,灯泡能发光的概率为（ ）.
A. B. C. D.
7.跨学科化学试剂 有 3 个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠三种溶液，小星从这3个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是 .
8.(2024·重庆中考)重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点 B 的概率为 .
9.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与为雄鸟的概率相同.如果三枚卵全部成功孵化，那么三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为 .
10.甲、乙、丙三人相约同一天从A 地出发前往B地.现有 K1和K2两趟航班，在三人没有商量的前提下，求：
(1)甲选择K2航班的概率；
(2)甲、乙、丙三人选择同一航班的概率.
延伸探究提优
11.(2025·山东枣庄市中区期末)小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有 3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用(使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率.
(3)请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大.
中考提分新题
12.(2024·遂宁中考)遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
××小组关于××学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象××学校学生
数据的整理与描述
景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D:金华山 E:未出游 F:其他
数据分析及运用
(1)本次被抽样调查的学生总人数为 ，扇形统计图中，m= ，“B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是 ； (2)请补全条形统计图； (3)该学校总人数为1800 人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； (4)未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A，B，C，D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.
25.2 用列举法求概率
第1课时 用列举法求概率(1)
1. A 2. A
3.(1)
(2)列表如下：
石头 剪子 布
石头 (石头，剪子) (石头，布)
剪子 (剪子，石头) (剪子，布)
布 (布，石头) (布，剪子)
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：(石头，剪子),(剪子,布),(布,石头),共3种,
∴甲取胜的概率为
易错警示 对于某一事件的结果，放回抽样与不放回抽样是完全不同的，因此应仔细、认真地体会，并作出正确判断，正确地列表求概率.
4. A[解析]列表如下:
① ② ③
① (①,②) (①,③)
② (②,①) (②,③)
③ (③,①) (③,②)
共有6种等可能的结果，其中能使□ABCD 是正方形的结果有(①,②),(①,③),(②,①),(③,①),共4种,
∴能使 ABCD 是正方形的概率为 故选 A.
5. C[解析]用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,出现的等可能结果有123,132,213,231,312,321，其中恰好是“平稳数”的有123，321，所以恰好是“平稳数”的概率为 故选C.
6.
7. [解析]列表如下：
1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
由表可知所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6种,∴两次数字之和大于5的概率为
归纳总结 在讨论事件发生的概率时，如果出现的可能性有限，且机会均等，对含有两次操作(例如掷骰子两次)或两个条件(例如两个转盘)的事件，先选其中的一次操作或一个条件作为横行，另一次操作或另一个条件作为竖列，列出表格，再看我们关注的事件出现的次数占总数的比例.
8. [解析]由a，b的实际意义为掷骰子点数，易知a，b都为大于0的整数，①当a-2b=0时，方程组无解；②当a-2b≠0时，方程组有解，则两式联合求解可得 ∵x,y都大于0， 或;a> ,b< .∵a,b者都为1到6的整数,∴当a为1时,b 只能是1,2,3,4,5,6;或者当a为2，3，4，5，6时，b无解.这两种情况的总出现的可能有6种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),又掷两次骰子共有 6×6=36(种)等可能的情况，故所求概率为
9.(1)列表如下:
A 上 A下 B 上 B下
A 上 (A上,A下) (A 上,B 上) (A上,B 下)
A下 (A下,A上) (A下,B上) (A下,B 下)
B上 (B上,A 上) (B 上,A 下) (B上,B 下)
B下 (B下,A 上) (B 下,A下) (B下,B 上)
共有12种等可能的结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的结果有(A上,A下),(A下,A上),(B上,B下),(B下,B上),共4种,
∴这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为
(2)从三堆图片中随机各抽出一张，所有等可能的结果有：(C上,C中,C 下),(C上,C 中,D 下),(C 上,C 中,E下),(C上,D中,C下),(C上,D 中,D下),(C上,D 中,E下),(C上,E中,C 下),(C上,E中,D下),(C上,E中,E下),(D上,C中,C下),(D上,C中,D 下),(D上,C中,E下),(D上,D 中,C下),(D上,D 中,D 下),(D上,D中,E下),(D上,E中,C下),(D 上,E中,D 下),(D上,E 中,E 下),(E上,C中,C下),(E 上,C 中,D下),(E上,C中,E下),(E上,D 中,C下),(E上,D 中,D下),(E上,D中,E下),(E上,E中,C下),(E上,E中,D 下),(E上,E中,E下),共27种,
其中这三张图片恰好组成一张完整图片的结果有(C上，C中,C下),(D上,D中,D下),(E上,E中,E下),共3种,∴这三张图片恰好组成一张完整图片的概率为 10.(1)
(2)列表如下：
A B C D
A (A,A ) (A,B ) (A,C ) (A,D )
B (B,A ) (B,B ) (B,C ) (B,D )
C (C,A ) (C,B ) (C,C ) (C,D )
D (D,A ) (D,B ) (D,C ) (D,D )
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，
∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为
(3)公平，理由如下：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为 ∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的.
11.(1)样本容量为16÷40%=40,
参加调查统计的学生中喜爱B 类研学项目人数为40×20%=8,
在扇形统计图中，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为
故喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 108°.
(2)喜爱 D 类研学项目的4名学生分别记为男1、男2、女1、女2.列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1,男2 男1,女1 男1,女2
男2 男2,男1 男2,女1 男2,女2
女1 女1,男1 女1,男2 女1,女2
女2 女2,男1 女2,男2 女2,女1
由表可知，抽取2名学生共有12种等可能的结果，抽中1名男生1名女生(记作事件M)共8种可能，
故抽中1名男生1名女生的概率为
第2课时 用列举法求概率(2)
1. D[解析]把3张卡片分别记为A，B，C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片正面相同的概率为 .故选D.
归纳总结 列举法求概率三种方法(直接列举法、列表法、画树状图法)的选择：当随机事件中只含一个元素(或一步试验)或虽含两个元素(或两步试验)但情况较少时通常用直接列举法求概率；当随机事件中含两个元素(或两步试验)且出现结果的可能性较多时通常用列表法求概率；当随机事件中含有三个或三个以上元素(或三步及三步以上试验)时用画树状图法.
2. [解析]根据题意，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的结果有1种，故出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为
一共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景点有4种结果，∴P(甲、乙两位同学选择同一景点)
(2)画树状图如下：
由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同基地的结果有3种，
∴小明和小丽选择相同基地的概率为
4. 答案C[解析]根据题意，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中3 个小球上恰好有1个元音字母的结果有4种，则3个小球上恰好有1个元音字母的概率是 故选C.
5. B[解析]根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中使判别式 即ac<4的有4种结果，∴二次函数 与x轴有两个不同交点的概率为 故选 B.
6. A
[解析]根据题意，画树状图如下：
由树状图可知共有6种等可能的结果，其中抽到的2个都是酸性溶液的结果为2种，即所求概率为
[解析]画树状图如下：