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2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试题
答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．测试范围：湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 和 第2章 一元二次函数、方程和不等式.
5．综合难度系数：0.65.
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，
所以或，
所以，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为：，.
故选：B
3．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】分类讨论的值，由一元二次不等式的解法得出实数的取值范围.
【详解】当时，不等式对一切实数都成立.
当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得.
综上，.
故选：C
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式
【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】不等式，不等式，
而集合是集合的真子集，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
5．下列六个写法：①；②；③；④ ；⑤ ；⑥ {0}，其中错误写法的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用
【分析】根据集合与集合、集合与元素及空集的性质判断各项的正误，即可确定错误写法的个数.
【详解】①两个集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②0.3是有理数，即，故错误；
③所含元素相同，正确；
④空集没有任何元素，故错误；
⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误；
⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确.
故错误的有①②④⑤.
故选：B.
6．，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可．
【详解】已知集合，，
，，
①当时，满足，此时，故；
②当时，因，则，解得．
综上，．
故选：A.
7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解.
【详解】，
若，则，B A，
若，则，B A，
若，则，B A，
∴B A的一个充分不必要条件是.
故选：B
8．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，
图象与轴交点为，所以，
顶点在第一象限，对称轴，又，所以，
所以，①说法正确；
因为图象经过、两个点，所以，解得，
因为，，所以，②说法正确；
由得，即，③说法正确；
因为图象顶点在第一象限，且经过，
由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，
所以当时，，
又，，，所以，即，④说法正确；
综上①②③④正确；
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可．
【详解】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确；
对于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正确；
对于C，应该用 “”符号，即，故C错误；
对于D，是集合中的元素，即，故D正确.
故选：ABD.
10．关于的不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况．
【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确．
当时，为一元二次不等式，
且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况．
当时，．
当，即时，不等式的解集为，故C正确．
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为．
当时，，此时显然，
不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C． D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】由得到，利用基本不等式可判断选项A正确，选项B错误；利用可得选项C正确；根据，通过分离参数结合基本不等式可得选项D正确.
【详解】由得，，
由得，，整理得，
解得或（舍去），当且仅当时等号成立，
故的最小值为，选项A正确.
由得，，即，
解得（舍去），当且仅当时等号成立，
故的最小值为，选项B错误.
由得，，所以，解得，选项C正确.
，
当且仅当，即时等号成立，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是根据把代数式等价变形为，利用基本不等式可得结果.
第 Ⅱ 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知不等式的解集为，若，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式的解集求出，即可计算作答.
【详解】因不等式的解集为，则是方程的两根，
即有，于是得，解得，
所以.
故答案为：
13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可.
【详解】解不等式得
记
因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
所以，解得.
所以的取值范围为.
14．命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，分类讨论，构造不等式即可得求出实数a的取值范围.
【详解】因为，，使成立．
若为真命题，设，
则可将问题转化为，，
，当且仅当，即时等号成立，故，
的对称轴为，且开口向上，
当，则，函数在上单调递增，
所以，解之可得，此时无解，故舍之
当时，即，，
解之可得，则可得，
当时，，函数在单调递减，
，解之可得，则可得，
综上可知实数的取值范围为.故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【详解】（1）若，则，
所以， ………………………(2分)
， ………………………(4分)
故或. ………………………(6分)
（2）因为，所以. ………………………(8分)
①当时，，解得，满足题意； ………………………(10分)
②当时，，解得.
综上，实数的取值范围是. ………………………(13分)
16．（本小题15分）
（1）已知，求的最大值
（2）已知，求的最大值
【详解】（1）因为，所以， ………………………(2分)
当且仅当，，即时等号成立. ………………………(3分)
所以， ………………………(6分)
所以，函数的最大值为. ………………………(7分)
（2）因为，所以， ………………………(8分)
所以， ………………………(12分)
当且仅当，即时，等号成立. ………………………(14分)
所以，的最大值为. ………………………(15分)
17.（15分）
已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解；
（2）就、、分类讨论后可得不等式的解；
（3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
所以方程的根为或－3，
所以不等式的解集为．(4分）
（2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方，
不等式的解集为；
②若，即，此时方程为，
只有一个根，不等式的解集为；
③若，即，
此时方程的两根分别为，，
不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．(9分）
（3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上，
而不等式的解集中恰有三个整数解，
故且，在不等式的解集中（、关于对称），
，不在不等式的解集中（、关于对称），
故，
故.(15分）
18.（17分）
已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题．
(1)请根据基本不等式，证明；
(2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）；
(3)若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)3
【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可；
（2）令，结合（1）的结论，即可证明；
（3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．(5分）
（2），当且仅当时等号成立．
推导如下：
由于，当且仅当时等号成立，
令， 得，
即，故，
所以，当且仅当时等号成立.(11分）
（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，
因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3．(17分）
19．（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）根据题意，转化为恒成立，令，结合一次函数的单调性，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，转化为恒成立，令，结合二次单调性，求得，进而求得实数的取值范围；
（3）根据题意，不等式化为，分，和，三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】解：（1）不等式可得化为，
因为对于任意，不等式恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
令，
因为，所以函数在上为单调递增函数，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为.
（2）由不等式可化为，
因为，且对于任意，恒成立，
即对于任意，恒成立，
令，可得函数在为单调递增函数，
所以，所以的最小值为，
可得，所以实数的取值范围为.
（3）由不等式，即，
若时，不等式可化为，解得，不等式的解集为；
若时，不等式可化为，
①当时，不等式即为，解得，不等式的解集为；
②当时，不等式即为，
当时，即时，解得或，解集为；
当时，即时，不等式即为，解得，
此时不等式的解集为；
当时，即时，解得或，解集为，
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．测试范围：湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 和 第2章 一元二次函数、方程和不等式.
5．综合难度系数：0.65.
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列六个写法：①；②；③；④ ；⑤ ；⑥ {0}，其中错误写法的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．关于的不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C． D．的最小值为
第 Ⅱ 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知不等式的解集为，若，则 .
13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .
14．命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（本小题15分）
（1）已知，求的最大值
（2）已知，求的最大值
（15分）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
（17分）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题．
(1)请根据基本不等式，证明；
(2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）；
(3)若，求的最小值．
19．（20分）（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
（3）解关于的不等式.
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