2025-2026学年人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含答案）

21.3实际问题与一元二次方程
一．选择题
1．(2024·临沂检测)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，如果全班共送1 980张照片．设全班有x名 同学，根据题意，所列方程为(　　)
A．x(x＋1)＝1 980
B．x(x－1)＝1 980
C．x(x＋1)＝1 980
D．x(x－1)＝1 980
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为(　　)
A．8人 B．9人
C．10人 D．11人
3．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是(　　)
A．150(1－x2)＝96
B．150(1－x)＝96
C．150(1－x)2＝96
D．150(1－2x)＝96
4．(2024·德州检测)为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 m2提高到12.1 m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为(　　)
A．9%
B．10%
C．11%
D．12%
5．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　　)
A．(x＋1)(x＋2)＝18
B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18
D．x2＋3x＋16＝0
6．(2024·日照检测)某工厂1月生产机器150台，计划2，3月共生产396台．设2，3月生产量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为(　　)
A．150(1＋x)2＝396
B．150＋150(1＋x)2＝396
C．150(1＋x)＋150(1＋x)2＝396
D．150＋150(1＋x)＋150(1＋x)2＝396
7．某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8 000元的利润，那么该商品每件应涨价(　　)
A．10元 B．20元
C．30元 D．40元
二．填空题
8．如图，在一块长为15 m、宽为10 m的矩形花圃内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为104 m2，则小路的宽为 m．
9．(2024·德州检测)如图，小明同学用一张长11 cm、宽 7 cm 的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠(损耗不计)．设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为 ．
10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．求每个支干长出（ ）个小分支．
三．解答题
11．为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2021年年底的藏书量为5万册，2023年年底的藏书量为 7.2万册．
(1)求该校这两年藏书的年平均增长率；
(2)假设2024年该校藏书的年平均增长率与前两年相同，请你预测到2024年年底该校的藏书量是多少．
12．(2024·泰安检测)如图，一块面积为600 m2的矩形试验田一边靠墙，墙长32 m，另外三边用68 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2 m宽的门(不包括篱笆)，求这块试验田的长和宽．
13．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2
14．某服装厂决定从2月起扩大产能，如图是1～4月的服装产量．设从2月到4月，该厂家服装产量的月平均增长率为x．
(1)求从2月到4月该厂家服装产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计5月的产量能否超过600万件．
15．如图是2024年12月的日历，在日历表上可以用一个方框圈出四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为n，则最大的数为 ；(用含n的代数式表示)
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【创新运用】
16．某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件．调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．
(1)若物价部门规定此种商品每件的利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1 080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？
(2)该商店平均每天盈利能否为1 200元？
21.3实际问题与一元二次方程
一．选择题
1．(2024·临沂检测)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，如果全班共送1 980张照片．设全班有x名 同学，根据题意，所列方程为(　B　)
A．x(x＋1)＝1 980
B．x(x－1)＝1 980
C．x(x＋1)＝1 980
D．x(x－1)＝1 980
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为(　B　)
A．8人 B．9人
C．10人 D．11人
3．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是(　C　)
A．150(1－x2)＝96
B．150(1－x)＝96
C．150(1－x)2＝96
D．150(1－2x)＝96
4．(2024·德州检测)为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 m2提高到12.1 m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为(　B　)
A．9%
B．10%
C．11%
D．12%
5．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　C　)
A．(x＋1)(x＋2)＝18
B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18
D．x2＋3x＋16＝0
6．(2024·日照检测)某工厂1月生产机器150台，计划2，3月共生产396台．设2，3月生产量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为(　C　)
A．150(1＋x)2＝396
B．150＋150(1＋x)2＝396
C．150(1＋x)＋150(1＋x)2＝396
D．150＋150(1＋x)＋150(1＋x)2＝396
7．某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8 000元的利润，那么该商品每件应涨价(　A　)
A．10元 B．20元
C．30元 D．40元
二．填空题
8．如图，在一块长为15 m、宽为10 m的矩形花圃内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为104 m2，则小路的宽为 2 m．
9．(2024·德州检测)如图，小明同学用一张长11 cm、宽 7 cm 的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠(损耗不计)．设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为 (11－2x)(7－2x)＝21 ．
10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．求每个支干长出（ 10 ）个小分支．
解：设每个支干长出x个小分支．根据题意，得1＋x＋x2＝111，解得x1＝10，x2＝－11(不符合题意，舍去)．
答：每个支干长出10个小分支．
三．解答题
11．为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2021年年底的藏书量为5万册，2023年年底的藏书量为 7.2万册．
(1)求该校这两年藏书的年平均增长率；
(2)假设2024年该校藏书的年平均增长率与前两年相同，请你预测到2024年年底该校的藏书量是多少．
解：(1)设该校这两年藏书的年平均增长率为x．
依题意，得5(1＋x)2＝7.2，
解得x1＝0.2＝20%, x2＝－2.2(不符合题意，舍去)．
答：该校这两年藏书的年平均增长率为20%．
(2)7.2×(1＋20%)＝8.64(万册)．
答：预测到2024年年底该校的藏书量是8.64万册．
12．(2024·泰安检测)如图，一块面积为600 m2的矩形试验田一边靠墙，墙长32 m，另外三边用68 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2 m宽的门(不包括篱笆)，求这块试验田的长和宽．
解：设AB边长为x m，则BC边长为(68＋2－2x)m＝(70－2x)m．
根据题意，得x(70－2x)＝600．
整理，得x2－35x＋300＝0，
解得x1＝15，x2＝20．
当x＝15时，70－2x＝70－2×15＝40＞32，不符合题意，舍去；
当x＝20时，70－2x＝70－2×20＝30＜32，符合题意．
答：这块试验田的长为30 m，宽为20 m．
13．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2
解：设矩形温室的宽为x m，则长为2x m．
根据题意，得(x－2)(2x－4)＝288，
解得x1＝－10(不符合题意，舍去)，x2＝14．
∴2x＝2×14＝28．
答：当矩形温室的长为28 m、宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2．
14．某服装厂决定从2月起扩大产能，如图是1～4月的服装产量．设从2月到4月，该厂家服装产量的月平均增长率为x．
(1)求从2月到4月该厂家服装产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计5月的产量能否超过600万件．
解：(1)设从2月到4月，该厂家服装产量的月平均增长率为x．
依题意，得150(1＋x)2＝384，
解得x1＝0.6＝60%，x2＝－2.6(不符合题意，舍去)．
答：从2月到4月，该厂家服装产量的月平均增长率为60%．
(2)384×(1＋60%)＝614.4(万件)．
∵614.4万件＞600万件，
∴预计5月的产量能超过600万件．
15．如图是2024年12月的日历，在日历表上可以用一个方框圈出四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为n，则最大的数为 n＋8 ；(用含n的代数式表示)
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
解：(2)设这个最小数为n，则最大的数为(n＋8)．
根据题意，得n(n＋8)＝153，
整理，得n2＋8n－153＝0，
解得n1＝9，n2＝－17(不符合题意，舍去)．
答：这个最小数为9．
【创新运用】
16．某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件．调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．
(1)若物价部门规定此种商品每件的利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1 080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？
(2)该商店平均每天盈利能否为1 200元？
解：(1)设这种商品的售价应定为x元，则每件的销售利润为(x－10)元，日销售量为220－20(x－14)＝(500－20x)件．
依题意，得(x－10)(500－20x)＝1 080，
整理，得x2－35x＋304＝0，
解得x1＝16，x2＝19．
∵10×(1＋80%)＝18(元)，16＜18＜19，
∴x＝16．
答：这种商品的售价应定为16元．
(2)设这种商品的售价应定为y元，则每件的销售利润为(y－10)元，日销售量为220－20(y－14)＝(500－20y)件．
依题意，得(y－10)(500－20y)＝1 200，
整理，得y2－35y＋310＝0．
∵Δ＝(－35)2－4×1×310＝－15＜0，
∴该方程无实数根．
∴该商店平均每天盈利不能为1 200元．
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