江西省南昌市高考零模2026届高三上学期9月测试数学试卷（含答案）

2026 届高三摸底考试试卷数 学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的．
设复数 z 满足 z (1 i)i ，则| z |

2 C．
D．1
已知a ( , 2) ， b (1, 2) ， a b ，则
4 B． 4 C．1 D． 1
已知函数 f ( x) sin x cos x ，则下列选项中是 f ( x) 的一个单调递增区间的是
π π
, ]
2 2
B．[
π , 3π ]
4 4
C．[
3π π
, ]
4 4
D．[ 3π , 7π ]
4 4
已知全集U {x | x 10, x N*} ，集合 A, B 是U 的子集，若(I A) ∩ B {5, 7,9} ，
A ∩ B {2} ， (IU A) ∩(IU B) {6,8}，则集合 A
{2, 3, 4} B．{1, 2, 4} C．{1, 2, 3} D．{1, 2, 3, 4}
已知平面 , ，直线a,b ，则下列结论正确的是
A．若a ,b//a ，则b// B．若 // , a ,b ，则a//b
若a// ,b ，则a b D．若 // , a// ，则a//
已知首项为1的数列{an}，其前 n 项积是公差为 3 的等差数列，则a3
A． 4 B． 3 C． 7
4
D． 10
7
已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：
甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二.
如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次是
丙、甲、丁、乙 B．丙、甲、乙、丁
C．甲、乙、丙、丁 D．甲、乙、丁、丙
f (x) 2x3 3x2 12x ，已知b 0 ，若“ f (x) a ”的充要条件是“ x b ”，则实数
b 的最大值为
2
5
2
1
1
2
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知 P 是圆C : (x 1)2 ( y 2)2 9 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆C 交于
M , N 两点，则下列说法正确的是
| OP | 的最大值为3 B． | OP | 的最小值为3
C． | MN |最大值为6 D． | MN |最小值为2
某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了 500 名用户进行问
卷评分调查，将评分数据按[40, 50) ，[50, 60) ，……，[90,100] 分组整理得到如右下方频
率分布直方图，记该样本的平均数为 ，三个四分位数分别为a, b, c(a b c) ，则下列判断正确的是
a 40 b a
c b 100 c
a, b, c 成等差数列
b
0.035
0.025
0.015
0.005
0
40 50 60 70 80 90 100 评分
已知函数 f (x) xex (2 x)e2 x ，则以下说法正确的是
f (x) 有对称中心 B． f (x) 有对称轴
C． f (x) 的最小值为2e D． x 1, f (x)
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
f ()
x
已知(2 x)6 a a x a x2 a x5 a x6 ，则a ．
0 1 2 5 6 5
如图，双曲线C : x
a2
y2
b2 1 的右焦点为 F ，过点 F
作渐近线l1
: y b x 的垂线l ，垂足为 A ，且l 与另一条
a
渐近线、 y 轴分别交于 B, C ，若 BA AC ，则双曲线的离心率为 .
如图，在 ABC 中， BAC 120o ， D, E 是线段 BC 上的两个点， ADE 为正三角
形， BD 4EC ，则 tan ABC . A
B D E C
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
（本题 13 分）
已知抛物线C : x2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，过点 F 作直线l 与抛物线C 交于 A, B 两
点. O 为坐标原点.当直线l y 轴时， | AB | 4 ．
求抛物线C 的标准方程；
若直线 AB 的斜率为1，求△ABO 的面积．
16．（本题 15 分）
已知正项数列{a }满足a a 4n ．
若{an }是等比数列，求{an }的通项公式；
若a1 1 ，求数列{an }的前2n 项的和．
17．（本题 15 分）
中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动，加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散. 假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5 ．若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关
研究小组能解决的概率均为0.4 （假设各个阶段的每个问题均相互独立）．
求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；
在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为 X ，求随机变量 X 的分布列和期望；
第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得 5（单位：亿元）费用.记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y （单位：亿元）.求随机变量Y 的期望值．
18．（本题 17 分）
已知 f (x) x 1 a ln x(a 0) ．
x
讨论 f (x) 的单调区间；
若a 2 ，求证： f (x) 有且仅有三个不同的零点．
19．（本题 17 分）
如图，球O 的半径为4 ，PQ 是球O 的一条直径，C 是线段 PQ 上的动点，过点C 且与
PQ 垂直的平面与球O 的球面交于 C ， A1 A2 ...A6 是 C 的一个内接正六边形．
若C 是OQ 的中点．
求六棱锥 P A1 A2 ...A6 的体积；
求二面角 A1 PA3 A2 的余弦值；
设 A1 A2 的中点为 M ，求证： tan MPQ tan MQP
为定值．
2026 届高三摸底考试参考答案数 学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D C C A B
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 ABC BD BCD
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．12 13．
3
14．
5
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
【解析】（1）当直线l y 轴时， AB 为抛物线的通径，所以2 p 4 ，解得 p 2 ，故抛物线C 的标准方程为 x2 4 y . 5 分
（2）设点 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，而 F (0,1) ，所以直线l : y x 1 ，
y x 1
联立直线l 与抛物线C 方程 x2 4 y
，得到 x2
4x 4 0 ，
故 x1 x2 4, x1 x2 4 ， 9 分
所以| x x |
4 ，
1 2
所以△ABO 的面积 S S S
1 | OF | | x x |
AFO
1 1 4
2
BFO 2 1 2
2 . 13 分
【解析】（1）因为数列{an }是等比数列，
所以a a qn 1 ，则a a qn ，所以a a
a 2q2n 1 4n 22n ，
n 1 n 1 1
n n 1 1
2 n 1
所以a1
2, q 2 ，则an
2 2n 1 2 2
； 6 分
（2）因为a 1 ， a a 4n ，所以a 4 ，
1 n n 1 2
因为a a 4n ，所以a a 4n 1 ，所以 an 2 4 ， 10 分
n n 1
n 1
n 2
n
则 S2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n
(a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2n 1 a2n )
5(1 4n ) 5 1 4 3
(4n 1) . 15 分
【解析】（1） p 0.53 C2 0.52 (1 0.5) 0.5 ； 5 分
（2）因为 X ~ B(3, 0.4) ，所以 P( X k) Ck 0.4k (1 0.4)3 k (k 0,1, 2,3) ，
所以随机变量 X 的分布列为
其数学期望 EX 3 0.4 1.2 . ……10 分
记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量 Z （单位：亿元），则 Z 5X ，所以 EZ 5EX 6 （单位：亿元）.
所以 EY 1 (C2 0.53 0.53) EZ (1 C2 0.53 0.53) 0 4 . ……15 分
1 a x2 ax 1
【解析】（1） f (x) 1 ，
x x x2
令 f (x) 0 ，则 x2 ax 1 0 ， a2 4 ，
当a2 4 0 即0 a 2 时，x2 ax 1 0 ， f (x) 0 ，此时 f (x) 在(0, ) 单调递增，无单调递减区间；
… 4 分
2 2
当 a 4 0 即 a 2 时，方程 x ax 1 0 有两根 x1 2 , x2 2 ，
则0 x x1 或 x x2 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；
x1 x x2 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减.
综上所述，当0 a 2 时， f (x) 在(0, ) 单调递增，无单调递减区间；当a 2 时， f (x) 在(0, x1 ), (x2 , ) 单调递增，在(x1, x2 ) 单调递减.
… 8 分
（2）因为 x 2 ax 1 0(i 1, 2) ，所以a x 1 (i 1, 2) ，
i i i
i
所以 f (x ) x 1 a ln x x 1 (x 1 ) ln x ，
1 1 x 1 1 x 1 x 1
1 1 1
同理 f (x ) x 1 (x 1 ) ln x ， 10 分
2 2 x 2 x 2
2 2
因为 x1 x2 1 ，所以0 x1 1 x2 ，
设函数 g(x) x 1 (x 1 ) ln x ，则 g (x) ( 1
1) ln x ，
x x x2
当 x 1时， 1
x2
1 0, ln x 0 ，此时 g (x) 0 ；
当0 x 1时， 1
x2
1 0, ln x 0 ，此时 g (x) 0 .
所以 x 0, g (x) 0 ，即 g(x) 在(0, ) 单调递减，… 13 分
所以 f (x1 ) g(x1 ) g(1) 0, f (x2 ) g(x2 ) g(1) 0 ，且 x 0 时， f (x) ； x 时， f (x) ，
所以 f (x) 在(0, x1 ), (x1, x2 ), (x2 , ) 各有一个零点，即 f (x) 有且仅有三个不同的零点.
… 17 分
（2）解法二：因为 x 2 ax 1 0(i 1, 2) ，所以a x 1 (i 1, 2) ，
所以 f (x ) x
i i
1 a ln x
x 1 (x
i
i
1 ) ln x ，
1 1 x 1 1 x 1 x 1
1 1 1
同理 f (x ) x 1 (x 1 ) ln x ， 10 分
2 2 x 2 x 2
2 2
因为 x1 x2 1 ，所以0 x1 1 x2 ，
所以 f (x ) 1 1 x a ln 1 f (x ) ， 13 分
f ( )
2 x x 1 x 1
1 1 1
由（1）可知， x x1 为极大值点， x x2 为极小值点，
所以 f (x1) 0, f (x2 ) 0 ，且 x 0 时， f (x) ； x 时， f (x) ，所以 f (x) 在(0, x1 ), (x1, x2 ), (x2 , ) 各有一个零点，即 f (x) 有且仅有三个不同的零点.
… 17 分
【解析】（1）因为O 到 C 的距离为2 ，所以 C 的半径为 2 ，
所以正六边形 A1 A2 ...A6 的边长为2
所以正六边形 A1 A2 ...A6 的面积为6
且 P 到 C 的距离为6 ，
，
3 (2 3)2 18
4
， 3 分
所以六棱锥 P A A ...A 的体积为 1 18 3 6 36
. 5 分
1 2 6 3
以C 为原点， A1 A4 为 x 轴， A1 A4 的中垂线为 y 轴， PQ 为 z 轴建系，则 P(0, 0, 6), A1( 2 3, 0, 0) ，
A2 (
–––→
3, 3, 0), A3 ( 3, 3, 0) ，
所以 A1P (2 3, 0, 6) ，
––––→
A3 P (
––––→
3, 3, 6) ，
A2 A3 (2 3, 0, 0) ， ………7 分
–→
设平面 PA2 A3 的一个法向量n1 (x1, y1 , z1 ) ，
–→ –––→
n1 A1P 0 2 3x1 6z1 0
则 –→ ––––→ ，
n1 A3 P 0
令 z1 1，得n1 (
3x1 3 y1 6z1 0
3, 3,1) ，
––→
设平面 PA1 A3 的一个法向量n2 (x2 , y2 , z2 )
––→ ––––→
n2 A2 A3 0 2 3x2 0
则 ––→ ––––→ ，
n A P 0
––→
3x2 3y2 6z2 0
令 z2 1 ，得n2 (0, 2,1) ，
–→ ––→
–→ ––→
n1 n2
0 6 1 7 65
所以cos n1, n2
–→ ––→ .
| n1 | | n2 | 65
由已知， M 点在过 PQ 且与 C 所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为 .
在平面 内，以O 为坐标原点，以 PQ 为 y 轴，以 PQ 中垂线为 x 轴建立平面直角坐标系，
设 M (x, y) ，则| x | | MC |
3 | CA |,| y | | OC |，因为| CA |2 | OC |2 16
4 2 2
2 1 1
x2 y2
所以 x y
3
16 ，即
1，又 P, Q 的坐标分别为(0, 4), (0, 4) ，
12 16
x x x2 x2 3
所以 tan MPQ tan MQP

.…17 分
4 y
4 y
16 y2
4 x2 4
3