2．2　充分条件、必要条件、充要条件 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

2．2　充分条件、必要条件、充要条件
2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1)
一、 单项选择题
1 (2024济南一中月考)已知n∈N*，且n>2，则“n为质数”是“n＋1为合数”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2 “x2－2x＝0”是“x＝0”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024唐山期中)已知p：0A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2024浙江南太湖联盟联考)设a，b，c分别是△ABC的三条边，则“△ABC为直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2024乳山银滩高级中学期中)已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝6m＋1，m∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2024楚雄州期末)甲、乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200 m的圆形跑道跑步，甲每秒跑2.5 m，乙每秒跑3.5 m，则“甲、乙相遇”是“甲、乙都跑了400 s”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
7 (2024石家庄二中月考)已知“若p，则q”为真命题，则下列说法中正确的是(　　)
A. p是q的充分条件
B. p不是q的必要条件
C. p的必要条件是q
D. q不是p的充分条件
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. “x>2”是“x>5”的充分且不必要条件
B. “<”是“a>2”的必要且不充分条件
C. 若a，b∈R，则“a2>b2”的充要条件是“a>b”
D. “a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要且不充分条件
三、 填空题
9 二次函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
10(2024莆田八中期中)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要且不充分条件，则实数a的取值范围是________．
11 已知命题甲：命题乙：则甲是乙的________条件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
四、 解答题
12 指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1) p：a＝b，q：ac＝bc；
(2) p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3) 若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4) p：A∩B＝A，q：( UB) ( UA).
13 已知命题p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3.
(1) 若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2) 若p是q的必要且不充分条件，求实数m的取值范围．
2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2)
一、 单项选择题
1 (2024安徽A10联盟期中)使－1A. －1C. －12 (2025莆田锦江中学期末)设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”是“a＝2”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024南通如东、通州期中)“m<2”是“|m－1|<1”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 充要条件
C. 必要且不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2025淮阴中学期中)设x，y∈R，则“xy＋1＝x＋y”的充要条件为(　　)
A. x，y至少有一个为1
B. x，y都为1
C. x，y都不为1
D. x2＋y2＝2
5 “|a|>b”是“a>b”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 “方程x2＋kx＋2＝0与x2＋2x＋k＝0有一个公共实数根”的充要条件是(　　)
A. k＝3 B. k＝0
C. k＝1 D. k＝－3
二、 多项选择题
7 (2024石家庄二中月考)设全集为R，在下列条件中，满足B A的充要条件的有(　　)
A. A∩B＝A B. ( RA)∩B＝R
C. ( RA) ( RB) D. A∪( RB)＝R
8 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件
B. “m<0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
C. “a<1”是“<1”的充分且不必要条件
D. “m＝2”是“M＝{x|mx2＋(m＋2)x＋2＝0}为单元素集”的充分且不必要条件
三、 填空题
9 (2024南京一中月考)已知p：－2≤x≤2，q：1－m≤x≤m－1，若p是q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围为________.
10 (2024连云港赣榆期中)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥b－a}，若“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，则实数b的取值范围为________．
11 (2024天津外国语学校月考)已知集合A＝{x∈Z|点(x－1，x－a)不在第一、三象限}，集合B＝{t|1≤t<3}，若“y∈B”是“y∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024咸阳彬县城关中学期中)已知P＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1) 是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2) 是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
13 (2024无锡辅仁高级中学月考)已知A是R的非空子集，如果对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A为封闭集．
(1) 判断集合B＝{0}，C＝{x|x＝2k，k∈Z}是否为封闭集，无需说明理由；
(2) 判断以下两个命题的真假，并说明理由．
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，则“A1∩A2≠ ”是“A1∩A2为封闭集”的充要条件．
2．2　充分条件、必要条件、充要条件
2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1)
1. A　若n为质数，由n>2，得n必为奇数，则n＋1为大于2的偶数，所以n＋1为合数，故充分性成立；取n＝9，则n＋1＝10为合数，但9不是质数，故必要性不成立，所以“n为质数”是“n＋1为合数”的充分且不必要条件．
2. B　由x2－2x＝0可得x＝0或x＝2，故由“x2－2x＝0”不能推出“x＝0”，故充分性不成立；当x＝0时，x2－2x＝0，故由“x＝0”能推出“x2－2x＝0”，故必要性成立，所以“x2－2x＝0”是“x＝0”的必要且不充分条件．
3. A　因为{x|04. B　当a＝5，b＝4，c＝3时，易知△ABC是直角三角形，但a2＋b2≠c2，所以充分性不成立；根据勾股定理，由a2＋b2＝c2，得△ABC是直角三角形，所以必要性成立，所以“△ABC为直角三角形”是“a2＋b2＝c”的必要且不充分条件．
5. B　当x∈M时，推不出x∈N，例如x＝4∈M，4 N，故充分性不成立；当x∈N时，x＝6m＋1＝3·2m＋1，2m∈Z，所以x∈M，故必要性成立，所以“x∈M”是“x∈N”的必要且不充分条件．
6. C　因为乙比甲每秒多跑1 m，所以当甲、乙都跑了200 s 时，乙比甲多跑了200 m，甲、乙第一次相遇．当甲、乙都跑了400 s时，乙比甲多跑了 400 m，甲、乙再次相遇，所以“甲、乙相遇”是“甲、乙都跑了400 s”的必要且不充分条件．
7. AC　因为“若p，则q”为真命题，所以p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A，C正确；q能否推出p无法判断，故B，D错误．故选AC.
8. BD　对于A，取x＝3，满足x>2，而3<5，所以“x>2”不是“x>5”的充分条件，故A错误；对于B，当a>2时，<，必要性成立；当a<0时，<成立，充分性不成立，所以“<”是“a>2”的必要且不充分条件，故B正确；对于C，1>－2，而12<(－2)2，所以“a>b” 不是“a2>b2”的充要条件，故C错误；对于D，方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根等价于a<0，所以“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要且不充分条件，故D正确. 故选BD.
9. m＝－2　当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.　
10. [3，＋∞)　因为x∈A是x∈B的必要且不充分条件，所以B?A.又A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，所以a≥3.
11. 必要且不充分　当x＝1，y＝7时，满足命题甲：此时命题乙不成立，即充分性不成立；反之，当时，命题甲一定成立，即必要性成立，所以命题甲是命题乙成立的必要且不充分条件．
12. (1) 当a＝b时，ac＝bc；当c＝0，a＝1，b＝2时，ac＝bc，但a≠b，所以p是q的充分且不必要条件．
(2) 当a＋5是无理数时，a是无理数；当a是无理数时，a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(3) 因为a2＋b2＝0能推出a＝b＝0，且a＝b＝0能推出a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4) 当A∩B＝A时，A B，则( UA) ( UB)；当( UB) ( UA)时，B A，则A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
13. (1) 因为命题p是假命题，
所以关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0无实根，
则Δ＝(－2a)2－4(a2＋a－2)<0，解得a>2，
所以实数a的取值范围是(2，＋∞).
(2) 由(1)可知p：a≤2.
因为p是q的必要且不充分条件，
所以{a|m－1≤a≤m＋3}?{a|a≤2}，
则m＋3≤2，
解得m≤－1，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1].
2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2)
1. B　设A＝(－1，4)，则使－12. B　因为A∩B＝{4}，则4∈A，所以a2＝4，解得a＝±2，故充分性不满足；当a＝2时，A＝，B＝{2，4}，所以A∩B＝{4}，故必要性满足，所以“A∩B＝{4}”是“a＝2”的必要且不充分条件．
3. C　由|m－1|<1，得－14. A　由xy＋1＝x＋y，则(x－1)(y－1)＝0，可得x＝1或y＝1，即x，y至少有一个为1，所以“xy＋1＝x＋y”的充要条件为“x，y至少有一个为1”．
5. B　显然|－2|>1，但－2>1不成立，故充分性不成立；若a>b，则|a|≥a>b，故必要性成立．故“|a|>b”是“a>b”的必要且不充分条件．
6. D　方程x2＋kx＋2＝0有实根，故Δ＝k2－8≥0，解得k≤－2或k≥2.方程x2＋2x＋k＝0有实根，故Δ＝4－4k≥0，解得k≤1.综上，k≤－2，只有D选项符合．若方程x2＋kx＋2＝0与x2＋2x＋k＝0有一个公共实数根，设公共实根为x1，则两式相减，得(k－2)x1＋(2－k)＝0，即(k－2)x1＝k－2.因为k－2≠0，所以x1＝1，所以1＋k＋2＝0，解得k＝－3.当k＝－3 时，两个方程分别为x2－3x＋2＝0，x2＋2x－3＝0，方程x2－3x＋2＝0的两个根分别为1，2；方程x2＋2x－3＝0的两个根分别为1，－3，即方程 x2＋kx＋2＝0与x2＋2x＋k＝0有一个公共实数根．综上，“方程x2＋kx＋2＝0与x2＋2x＋k＝0有一个公共实数根”的充要条件是“k＝－3”.
7. CD　当A∩B＝A时，A B，不满足题意，故A错误；若( RA)∩B＝R，显然只有A＝ ，B＝R时成立，不满足题意，故B错误；若( RA) ( RB)，则B A，同时若B A，则( RA) ( RB)，满足题意，故C正确；当A∪( RB)＝R时，B A，同时若B A，则A∪( RB)＝R，满足题意，故D正确．故选CD.
8. ABD　对于A，当a≠0，b＝0时，ab＝0；由ab≠0，得a≠0且b≠0，因此“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件，故A正确；对于B，当m<0时，方程x2＋(m－3)x＋m＝0，Δ＝(m－3)2－4m>0，则方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个不相等的实根x1，x2，显然x1x2＝m<0，即方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根；若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根，则m＝x1x2<0，因此“m<0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，故B正确；对于C，当01成立，因此“a<1”不是“<1”的充分条件，故C错误；对于D，当m＝2时，方程为2x2＋4x＋2＝0，解得x＝－1，即M＝{－1}，故充分性成立；当m＝0时，方程为2x＋2＝0，解得x＝－1，故必要性不成立，故D正确．故选ABD.
9. (3，＋∞)　由题意，得解得m≥3，且两端等号不同时成立，所以m≠3，即m>3，所以实数m的取值范围为(3，＋∞).
10. (－∞，1]　若A∩B＝A，则A B，所以b－a≤－1，即b≤a－1.因为“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，所以b≤2－1＝1.故实数b的取值范围为(－∞，1].
11. (0，3)　由“y∈B”是“y∈A”的必要条件，得A B.因为A中元素为整数，所以A只可能为，，.又点(x－1，x－a)不在第一、三象限，所以或即①或②.当a<1时，①无解，由②，得a≤x≤1，此时A＝，故A＝，有012. (1) 要使x∈P是x∈S的充要条件，则需使P＝S，
即此方程组无解，
故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
(2) 要使x∈P是x∈S的必要条件，则需使S P.
当S＝ 时，1－m>1＋m，解得m<0，满足题意；
当S≠ 时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S P，则解得m≤0，所以m＝0.
综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是(－∞，0].
13. (1) 对于集合B＝{0}，因为0＋0∈B，0×0＝0∈B，
所以B是封闭集．
对于集合C＝{x|x＝2k，k∈Z}，
令x1＝2k1，y1＝2k2，k1，k2∈Z，
则x1＋y1＝2(k1＋k2)∈C，x1y1＝4k1k2∈C，
所以集合C是封闭集．
(2) 对于命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，
令x1＝2k1，y1＝2k2，k1，k2∈Z，
则x1＋y1＝2(k1＋k2)∈A1，x1y1＝4k1k2∈A1，
所以集合A1是封闭集．同理可得集合A2是封闭集．
取x2＝2，y2＝3，则x2，y2∈(A1∪A2)，
而x2＋y2＝5 (A1∪A2)，
所以集合A1∪A2不是封闭集，
故命题p是假命题．
对于命题q：若A1∩A2≠ ，不妨令a，b∈(A1∩A2)，
则a，b∈A1.
又集合A1是封闭集，
则a＋b∈A1，ab∈A1.同理可得a＋b∈A2，ab∈A2，
所以a＋b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)，
所以A1∩A2是封闭集．
反之，若A1∩A2是封闭集，则A1∩A2是非空集合，即 A1∩A2≠ ，
所以“A1∩A2≠ ”是“A1∩A2为封闭集”的充要条件，
故命题q是真命题．