3.2.1 基本不等式的证明 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

3.2.1　基本不等式的证明
一、 单项选择题
1 (2024青岛十九中月考)若负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为(　　)
A. 1 B. 0 C. －1 D. －4
2 (2024徐州月考)已知x>0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　)
A. A≥B B. A≤B
C. A>B D. A3 (2024诸暨中学月考)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的是(　　)
A. B.
C. D.
4 (2024厦门一中期中)已知a＝，b＝，则a与b之间的大小关系是(　　)
A. a>b B. aC. a＝b D. 无法比较
5 (2024南京二十九中月考)甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是(　　)
A. 甲先到 B. 乙先到
C. 甲、乙同时到 D. 不能确定
6 (2024江门一中月考)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据. 通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明. 如图，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于点D，连接OD，作 CE⊥OD，垂足为E. 由CD≥DE可以直接证明的不等式是(　　)
A. ≥(a>0，b>0)
B. a2＋b2≥(a>0，b>0)
C. ≤，(a>0，b>0)
D. ≥(a>0，b>0)
二、 多项选择题
7 下列结论中，正确的是(　　)
A. 若a≠0，则a2＋>2
B. 若a<0，则a＋≥－4
C. 若a>0，b>0，则＋≥a＋b
D. 若a<0，b<0，则＋≥2
8 设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　)
A. a＋b≥4 B. a2＋b2≤8
C. ＋≥1 D. ＋≤2
三、 填空题
9 已知m＝a＋，其中 a>2，n＝4－b2，其中b≠0，则m，n之间的大小关系是________．
10 若011 已知a，b，c都是正实数，若M＝＋＋，N＝(a＋b＋c)，则M与N的大小关系是________．
四、 解答题
12 已知a>0，b>0，c>0，求证：
(1) ＋＋≥6；
(2) a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc.
13 对于正数a，b，c，d，求证：
(1) ≥；
(2) ≥.
3.2.1　基本不等式的证明
1. B　由题意，得x＝－y－2，故x－＝－y－－2＝(－y)＋－2≥2－2＝0，当且仅当y＝－1，x＝－1时，取等号．故x－的最小值为0.
2. A　因为x>0，A－B＝x－2＋≥2－2＝0，所以A≥B，当且仅当x＝1时，等号成立．
3．C　因为a，b为互不相等的正实数，由基本不等式可得a2＋b2>2ab，则2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以>，则>>.由基本不等式可得<＝，所以>>>，所以四个数中最大的是.
4. B　由题意，得a－b＝－＝＝＝.因为2 0243＋2 0245>2＝2＝2×2 0244，所以2×2 0244－2 0243－2 0245<0.又2 0243＋1>0，2 0244＋1>0，所以a－b<0，即a5. A　设总路程为s，甲、乙两人所用时间分别为t1，t2.由m＋n＝s，得t1＝，显然t2＝＋＝，所以＝＝，而m≠n，m>0，n>0，m＋n>2，因此<1，即<1，则t16. D　连接DB.因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝90°，所以在Rt△ADB中，中线OD＝＝.由射影定理可得CD2＝AC·CB＝ab，所以CD＝.在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝.又CD≥DE，所以≥.
7. CD　对于A，a≠0，a2＋≥2＝2，当且仅当a＝±1时，取等号，故A错误；对于B，当 a<0时，a＋＝－≤－4，当且仅当a＝－2时，取等号，故B错误；对于C，因为＋b＋＋a≥2＋2＝2a＋2b，所以＋≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确；对于D，若a<0，b<0，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，取等号，故D正确．故选CD.
8. AC　对于A，由基本不等式，得a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故A正确；对于B，当a＝1，b＝4时，ab＝4，但a2＋b2＝17>8，故B错误；对于C，由基本不等式，得＋≥2＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时，等号成立，故C正确；对于D，当a＝1，b＝4时，ab＝4，但＋＝3>2，故D错误．故选AC.
9. m>n　因为a>2，所以a－2>0，又m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时，取等号．由b≠0，得b2≠0，所以n＝4－b2<4，综上，m>n.
10. x＋y　由基本不等式，得x＋y≥2，x2＋y2≥2xy.因为011. M≥N　因为a>0，b>0，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以a2＋b2≥(a＋b)2，所以≥(a＋b)，同理可得≥(b＋c)，≥(c＋a)，所以M＝＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，即＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以 M≥N.
12. (1) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋，
因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，
所以＋＋≥6.
(2) 因为b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc，当且仅当b＝c时，等号成立；
因为a2＋c2≥2ac，b>0，
所以b(a2＋c2)≥2abc，当且仅当a＝c时，等号成立；
因为a2＋b2≥2ab，c>0，
所以c(a2＋b2)≥2abc，当且仅当a＝b时，等号成立，
累加，得a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
13. (1) 由题意，得＝≥≥＝，
当且仅当a＝b＝c＝d时，取等号．
(2) 因为x3＋y3＋z3－3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)
＝(x＋y＋z)≥0，当且仅当x＝y＝z时，取等号，
所以≥xyz.
令a＝x3，b＝y3，c＝z3，则≥.