3．2.2　基本不等式的应用 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

3．2.2　基本不等式的应用(1)
一、 单项选择题
1 若x>0，则下列关于函数y＝－x－的判断中正确的是(　　)
A. 最大值为－2 B. 最小值为－2
C. 最大值为2 D. 最小值为2
2 (2024重庆南开中学期末)已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是(　　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 36
3 (2024榆林府谷一中月考)已知实数x满足 0A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
4 (2024徐州二中月考)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是(　　)
A. (－∞，6] B. [6，9]
C. [9，＋∞) D. [9，12]
5 (2024辽宁东北育才学校月考)已知x>0，y>0，x＋2y＝3，则的最小值为(　　)
A. 3－2 B. 2＋1
C. －1 D. ＋1
6 (2024徐州铜山期中)已知x，y是正实数，且x＋2y＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. xy的最大值为
B. ＋的最小值为＋1
C. ＋的最小值为4
D. (x－3y)y的最大值为
二、 多项选择题
7 (2024南通期末)已知x>0，则下列结论中正确的是(　　)
A. x(2－x)的最大值为1
B. 3－x－的最大值为1
C. 的最小值为2
D. x＋的最小值为3
8 (2024杭州十四中期末)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. ab有最大值
B. ＋有最小值4
C. a2＋b2有最小值
D. ＋有最小值
三、 填空题
9 (2024莆田二十四中期中)已知x<，则y＝＋2x－1的最大值为________．
10 (2024广东广雅中学月考)已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________.
11 (2024永州期末)已知a>0，b>0，则a＋＋的最小值为________．
四、 解答题
12 (1) 已知x>3，求y＝x＋的最小值，并求取到最小值时x的值；
(2) 已知013 (2024湖南长郡十八校月考)已知a>0，b>0，且2a＋b－4ab＝0.
(1) 求证：ab≥；
(2) 求a＋2b的最小值．
3．2.2　基本不等式的应用(2)
一、 单项选择题
1 (2024广安期末)已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边和的最小值为(　　)
A. 20 cm B. 20 cm
C. 30 cm D. 40 cm
2 某金店用一杆不准确的天平称黄金，某顾客需要购买20 g黄金，他要求先将 10 g 的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡，平衡后取下砝码与黄金，然后又将10 g的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金(　　)
A. 小于20 g B. 不大于20 g
C. 大于20 g D. 不小于20 g
3 (2024苏州中学月考)若小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA. aB. C. D. 4 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．若在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离为(　　)
A. 2 km B. 3 km
C. 4 km D. 5 km
5 某公司一年购买某种货物500 t，每次购买x t，运费为5万元，一年的总存储费用为9x万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为(　　)
A. 200万元 B. 300万元
C. 400万元 D. 500万元
6 某地区计划在等腰三角形ABC的空地中，建设一个有一边在BC上的矩形花园，已知AB＝AC＝50 m，BC＝80 m，则该矩形花园面积的最大值为(　　)
A. 500 m2 B. 550 m2
C. 600 m2 D. 650 m2
二、 多项选择题
7 (2024无锡第一女子中学月考)已知正数a，b满足a＋b＝4，则下列说法中正确的是(　　)
A. ab≤4 B. ab≥4
C. ＋≥ D. a2＋b2≥8
8 如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当AN的长为8 m时，矩形AMPN的面积为32 m2
B. 若矩形AMPN的面积为32 m2，则AM的长为4 m
C. 当AN的长为4 m时，矩形AMPN的面积最小
D. 矩形AMPN的面积最小值为24 m2
三、 填空题
9 建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的总造价最低为________元．
10 (2024天津益中学校期中)若正数a，b满足4a＋b＝ab，则使a＋b－m≥0恒成立的实数m的最大值是________．
11 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低损耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)以作备用，则截取的矩形面积的最大值为________，此时x的值为________．
四、 解答题
12 如图，设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20，把△ABC沿AC向△ADC折叠得到△AB1C，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x，B1P＝y.
(1) 将y用x表示并求x的取值范围；
(2) 求△B1CP的最大面积及相应x的值．
13 (2024台州六校联盟期中)已知正实数a，b和实数t满足4a2＋2tab＋b2＝4.
(1) 若t＝2，求＋的最小值；
(2) 若2a＋b存在最大值，求实数t的取值范围．
3．2.2　基本不等式的应用(1)
1. A　因为x>0，所以x＋≥2，所以－x－≤－2，当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.
2. C　因为x>0，y>0，所以＋＝2≥2，所以xy≥6，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时，取等号，所以xy的最小值为6.
3. C　因为00，所以＋＝[3x＋(1－3x)]＝15＋＋≥2＋15＝27，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．
4. C　因为a＋b≥2，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，则(＋1)(－3)≥0.又a，b为正数，则＋1>0，所以－3≥0，所以ab≥9，当且仅当a＝b时，等号成立．故ab的取值范围是[9，＋∞).
5. B　因为x＋2y＝3，所以＝＋＝＋＝＋＋1.又x>0，y>0，所以＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当y＝，x＝3－3时，等号成立，所以的最小值为2＋1.
6. D　对于A，1＝x＋2y≥2，即xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故A错误；对于B，＋＝＋＝＋＋3>3，而＋1<3，所以＋的最小值不可能为＋1，故B错误；对于C，因为＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为6，故C错误；对于D，因为x，y是正实数，所以x＝1－2y>0，解得07. ABD　对于A，令y＝x(2－x)＝－x2＋2x，由二次函数性质，得当x＝1时，y取得最大值，最大值为1，故A正确；对于B，3－x－＝3－(x＋)，又x＋≥2，当且仅当x＝1时，取等号，故 3－x－的最大值为1，故B正确，对于C，令y＝＝＋≥2，当且仅当＝时，取等号，但此时x不为实数，故无法取等号，即无法取到最小值2，故C错误；对于D，易知x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3，当且仅当 x＝1时，取等号，故D正确．故选ABD.
8. ABC　对于A，ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则ab有最大值，故A正确；对于B，＋＝×(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则＋有最小值4，故B正确；对于C，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以a2＋b2有最小值，故C正确；对于D，因为(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2×＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以＋≤，即＋有最大值，故D错误．故选ABC.
9. 0　因为x<，所以2x－3<0，则3－2x>0，>0，所以y＝＋(2x－3)＋2＝－[＋(3－2x)]＋2.又＋(3－2x)≥2＝2，当且仅当＝3－2x，即x＝1时，取等号，所以y＝＋(2x－3)＋2＝－[＋(3－2x)]＋2≤－2＋2＝0.故所求最大值为0.
10. 25　由题意，得＝＝＝＋＝(a＋b)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故的最小值为25.
11. 2　a＋＋≥2＋＝2b＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝b时，第一个等号成立，当且仅当2b＝，即b＝时，第二个等号成立，故a＋＋的最小值为2.
12. (1) 因为x>3，所以x－3>0，
故y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝，即x＝5时，等号成立，
故当x＝5时，y的最小值为7.
(2) 因为00，
故x(4－3x)＝·3x(4－3x)≤×＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号，
所以x(4－3x)的最大值为.
13. (1) 由题意知，a>0，b>0，且2a＋b＝4ab.
由基本不等式，得2a＋b≥2，即4ab≥2，解得ab≥，
当且仅当2a＝b，即a＝，b＝1时，等号成立．
(2) 因为a>0，b>0，且2a＋b＝4ab，
所以＋＝1，
所以a＋2b＝(a＋2b)＝＋＋1＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
故a＋2b的最小值为.
3．2.2　基本不等式的应用(2)
1. D　设两条直角边长分别为a cm，b cm，则ab＝200，即ab＝400，由基本不等式，得a＋b≥2＝40，当且仅当a＝b＝20时，等号成立，故两条直角边和的最小值为40 cm.
2. D　设天平的左臂长为a，右臂长为b(不妨设 a≥b)，第一次称出的黄金重为x g，第二次称出的黄金重为y g．由杠杆平衡的原理，可得10a＝xb，ya＝10b，则x＝，y＝，可得x＋y＝＋≥20＝20，当且仅当a＝b时，等号成立，所以顾客所得的黄金不小于20 g.
3. A　设从甲地到乙地的距离为c，则小王从甲地到乙地往返的时间分别是和，所以全程的平均时速v＝＝＝.由0，则<，所以v<，故B错误；－a＝＝.由00，所以a2，得>>v，>>v，故C，D错误．
4. D　设仓库到车站的距离为x km，土地费用为y1万元，运输费用为y2万元．由题意，得y1＝，y2＝k2x.因为当x＝10时，y1＝2，y2＝8，所以k1＝20，k2＝，所以费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时，取等号，故仓库到车站的距离为5 km时，两项费用之和最小．
5. B　由题意，得一年的总运费与总存储费用之和为y＝×5＋9x＝＋9x≥2＝300，当且仅当＝9x，即x＝时，取等号，所以一年的总运费与总存储费用之和的最小值为300万元．
6. C　如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰三角形ABC的内接矩形，设等腰三角形ABC的内接矩形为DEFG，取BC的中点I，连接AI交DE于点H，设HE的长度为x(07. ACD　对于A，B，由a>0，b>0，a＋b＝4，得a＋b＝4≥2，故≤2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故A正确，B错误；对于C，易知＋＝(＋)(a＋b)＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故C正确；对于D，易知a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故D正确．故选ACD.
8. ACD　设AN的长为x(x>2) m，则由＝，得AM＝，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.令x＝8，则S矩形AMPN＝32 m2，故A正确；由S矩形AMPN＝32，得＝32.又x>2，所以3x2－32x＋64＝0，解得x＝或x＝8，所以AM的长度为12 m或4 m，故B错误；因为S矩形AMPN＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，等号成立，所以当AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24 m2，故C，D正确．故选ACD.
9. 1 760　设水池池底的一边长为x m，则另一边长为 m，则总造价为y＝120×＋80×(2x＋2×)×2＝480＋320≥480＋320×2＝1 760，当且仅当x＝，即x＝2时，取等号，所以水池的总造价最低为1 760元．
10. 9　由题意，得＋＝1，则a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＝6时，取等号．又a＋b－m≥0恒成立，即m≤a＋b恒成立，所以m≤9.故实数m的最大值是9.
11. 180　15　设截取的矩形面积为S，则S＝xy.如图，因为CR＝20－x，PN＝x，NR＝y－8，BP＝24－y，所以＝，所以＝，化简，得4x＋5y＝120，即y＝24－x，所以S＝xy＝x＝x(30－x)≤＝180，当且仅当x＝30－x，即x＝15，y＝12时，取等号，所以截取的矩形面积最大值为180，此时 x＝15.
12. (1) 由对称性可得∠BAC＝∠PAC，因为∠BAC＝∠ACP，于是∠PAC＝∠PCA，所以 PA＝PC.
又AB1＝AB＝CD，所以B1P＝DP.
因为B1P＝DP＝y，
所以PA＝PC＝x－y，CB1＝CB＝10－x.
在Rt△B1CP中由勾股定理可得(10－x)2＋y2＝(x－y)2，化简可得y＝10－.
由AB>AD可得x>10－x>0，即5所以y＝10－，5(2) S△B1CP＝(10－x)y＝(10－x)(10－)＝5，
因为5当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．
故当x＝5时，△B1CP面积的最大值为25(3－2).
13. (1) 当t＝2时，4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2＝4.
因为a，b为正实数，则2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)＝(4＋＋)≥＝4，
当且仅当即时，等号成立．
故＋的最小值为4.
(2) 因为正实数a，b和实数t满足4a2＋2tab＋b2＝(2a＋b)2＋(2t－4)ab＝4，
当t＝2时，2a＋b＝2，此时2a＋b的最大值为2；
当2t－4>0，即t>2时，
4＝(2a＋b)2＋(t－2)×2ab≤(2a＋b)2＋(t－2)·＝×(2a＋b)2，
可得(2a＋b)2≥，即2a＋b≥，不符合题意；
当2t－4<0，即t<2时，
4＝(2a＋b)2＋(t－2)×2ab≥(2a＋b)2＋(t－2)·＝×(2a＋b)2，
若2a＋b存在最大值，则t＋2>0，可得t>－2，即－2则(2a＋b)2≤，2a＋b≤，此时2a＋b存在最大值．
综上，实数t的取值范围是(－2，2].