3.3.1　从函数观点看一元二次方程 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

3.3.1　从函数观点看一元二次方程
一、 单项选择题
1 设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则＋的值为(　　)
A. 2 B. －2
C. D. －
2 二次函数y＝2x2＋x－1的零点是(　　)
A. ，－1
B. －，1
C. ，(1，0)
D. ，(－1，0)
3 若二次函数y＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
4 已知函数y＝ax2＋bx＋c(b≠0)的一个零点是－1，则的值为(　　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. 2
5 已知关于x的函数y＝x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点分别为x1，x2，且x2－x1＝15，则a的值为　(　　)
A. B.
C. D.
6 (2024南京中华中学月考)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－5，－4]∪[4，＋∞)
B. (－5，－4]
C. (－5，－4)
D. (－5，－4)∪(4，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024昆明一中期初)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论中正确的是(　　)
A. abc>0
B. a＋b＋c>0
C. ac－2b＋4＝0
D. OA·OB＝－
8 已知二次函数y＝1－(x－a)(x－b)的两个零点分别为m，n，则实数a，b，m，n的大小关系可能是(　　)
A. mC. m三、 填空题
9 函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则实数m的取值范围是________．
10 已知函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为________．
11 (2024大连八中月考)若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－1四、 解答题
12 求下列函数的零点：
(1) y＝2x2－3x－2；
(2) y＝ax2－x－1；
(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
13 (2024徐州侯集高级中学月考)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若存在x0∈R，使得ax＋bx0＋c＝x0成立，则称x0为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的不动点．
(1) 求二次函数y＝x2＋2x－2的不动点；
(2) 若二次函数y＝2x2－(2＋a)x＋a－1有两个不相等的不动点x1，x2，且x1>0，x2>0，求＋的最小值．
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
1. D　由题意，得x1，x2是方程6x2－x－2＝0的两个实根．由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－，故＋＝＝－.
2. A　二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝或x＝－1.
3. B　由题意知，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解，则Δ＝4－4a<0，即a>1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
4. A　由题意，得a(－1)2－b＋c＝0，所以b＝a＋c，所以＝＝1.
5. B　因为x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.
6. B　如图，由题意，得二次函数y＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在2的右侧，则解得－57. CD　对于A，由图可知，a>0，c<0.又x＝－<0，则b>0，所以abc<0，故A错误；对于B，当x＝1时，y＝a＋b＋c，不能说明y的值是否大于0，故B错误；对于C，设A(x1，0)(x1<0)，B(x2，0)(x2>0)，因为OC＝2OB，所以－2x2＝c，则x2＝－c，所以B(－c，0).将点B的坐标代入函数，得ac2－bc＋c＝0，所以ac－2b＋4＝0，故C正确；对于D，当y＝0时，ax2＋bx＋c＝0，设方程的两个根x1，x2(x1<0，x2>0)，所以OA·OB＝－x1x2＝－，故D正确．故选CD.
8. AC　由y＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数的图象开口向下，且当x＝a或x＝b时，y＝1>0.因为m，n是方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，所以当x＝m或x＝n时，y＝0.由二次函数的图象可知，实数a，b，m，n的关系可能是m图1 图2
9. 　因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得010. (0，1)　函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，则a≠0.因为一个大于1另一个小于1，且当x＝0时，y＝1>0，所以或解得011. (－∞，－4)∪(2，＋∞)　因为方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－12，或函数的图象如图2所示，则解得k<－4.综上，实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).
图1 图2
12. (1) 由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，
所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－.
(2) 当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0，得x＝－1，所以函数的零点为－1.
当a≠0时，由ax2－x－1＝0，得Δ＝1＋4a，
①当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，则函数无零点；
②当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，则函数有唯一的零点－2；
③当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0，得x＝，
则函数有两个零点和.
综上，当a＝0时，函数的零点为－1；当a＝－时，函数的零点为－2；当a>－时，函数有两个零点和；当a<－时，函数无零点．
(3) 因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1.
13. (1) 令x2＋2x－2＝x，则x2＋x－2＝0，
可得(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，
所以二次函数y＝x2＋2x－2的不动点为－2和1.
(2) 因为二次函数y＝2x2－(2＋a)x＋a－1有两个不相等的不动点x1，x2，且x1>0，x2>0，
则方程2x2－(2＋a)x＋a－1＝x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2－(3＋a)x＋a－1＝0有两个不相等的正实数根，
所以Δ＝(3＋a)2－8(a－1)>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.
因为x1>0，x2>0，所以>0，解得a>1，则a－1>0，
所以＋＝＝
＝＝
＝＝＋＋2
≥2＋2＝6，
当且仅当＝，即a＝5时，等号成立，
所以＋的最小值为6.