第1章　预备知识 测评（含解析） 高一数学北师大版必修第一册

第1章　预备知识 测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈N+,a≤x”的否定是(　　)
A. x∈N+,a>x B. x N+,a>x
C. x∈N+,a>x D. x N+,a>x
2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是(　　)
A.t>s B.t≥s
C.t3.(2025全国新课标Ⅱ,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.{x|0B.{x|x<0,或x>3}
C.{x|x>3}
D.{x|-25.命题“ x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥9 B.a≥8
C.a≥10 D.a≤10
6.若x>0,y>0且x+y=1,则下列结论正确的是 (　　)
A.的最大值是
B.xy的最小值是
C.x2+y2的最小值是2
D.的最小值是4
7.已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是(　　)
A.[2,4]
B.(0,2]∪[4,+∞)
C.[4,16]
D.(0,4]∪[16,+∞)
8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:
(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B= ;
(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,
则有序集合对(A,B)的个数为(　　)
A.10 B.12 C.14 D.16
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是(　　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac2>bc2,则a>b
C.若a>b,则
D.若a>b,c>d,则a-d>b-c
10.下列结论正确的是(　　)
A.“xy>0”是“>0”的充要条件
B.的最小值为2
C.命题“ x>1,x2-x>0”的否定是“ x≤1,x2-x≤0”
D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件
11.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是(　　)
A.-8 B.-5 C.1 D.4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为　　　　.
13.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=　　　,p+q=　　　.
14.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是　　　　　.(亩非国际通用单位)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:.
16.(15分)已知全集U=R,集合A={x|a(1)若a=1,求( UA)∩B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.
(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值;
(2)若b=2a,求该不等式的解集.
18.(17分)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;
(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.
19.(17分)(2025北京,21)已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(xi,yi)|xi∈A,yi∈A},从M中选出n个有序数对构成一列:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn).若相邻两项(xi,yi),(xi+1,yi+1)满足则称其为k列.
(1)若k列的第1项为(3,3),求第2项.
(2)若τ为k列,且满足i为奇数时,xi∈{1,2,7,8};i为偶数时,xi∈{3,4,5,6}.判断:(3,2)与(4,4)能否同时在τ中,并给出证明.
(3)证明:M中的所有元素都不构成k列.
参考答案
1.C
2.D　t-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.
3.D　由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D.
4.B　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1∴-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0,
∴-=-1+2=1,=-2,∴b=-a,c=-2a,由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,得ax2-3ax<0,∵a<0,∴x2-3x>0,∴x<0或x>3,
∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0,或x>3}.
5.C　当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥.因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9.
因为a≥9推不出a≥10,a≥10 a≥9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要不充分条件,D为既不充分也不必要的条件.
6.A　由基本不等式得xy≤()2=,当且仅当x=y=时,等号成立,故xy有最大值,故B错误;
∵()2=x+y+2=1+2≤1+2×=2,∴的最大值是,故A正确;
∵x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×,
∴x2+y2有最小值,故C错误;
∵=()(x+y)=3+≥3+2,当且仅当,即x=2-,y=-1时,等号成立,
∴有最小值3+2,故D错误.
7.D　因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6+8,当且仅当a=b时,等号成立,即(-2)·(-4)≥0,所以0<≤2或≥4,所以08.A　根据条件,A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.可知
(1)当集合A只有1个元素时,集合B中有5个元素,1 A且5 B,此时仅有一种结果A={5},B={1,2,3,4,6};
(2)当集合A有2个元素时,集合B中有4个元素,2 A且4 B,此时集合A中必有1个元素为4,集合B中必有1个元素为2,故有如下可能结果:
①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共计4种可能;
(3)当集合A中有3个元素时,集合B中有3个元素,3 A,3 B,不符合条件;
(4)当集合A中有4个元素时,集合B中有2个元素,此情况与情况(2)相同,只需A,B互换即可,共计4种可能;
(5)当集合A中有5个元素时,集合B中有1个元素,此情况与情况(1)相同,只需A,B互换即可,共计1种可能.
综上所述,有序集合对(A,B)的个数为10.
9.BD　A选项:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A不正确;
B选项:因为ac2>bc2成立,则c2>0,那么a>b,B正确;
C选项:2>-3,但是>-,C不正确;
D选项:因为c>d,所以-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正确.
10.AD　xy>0 >0,故A正确;y=,令t=≥3,则y=t+,且在区间[3,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大,最小值为3+,故B错误;命题“ x>1,x2-x>0”的否定是“ x>1,x2-x≤0”,故C错误;一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)显然有a+b+c=0,反之亦可,故D正确.
11.ACD　由x2+3x-4<0,解得-4令A={x|-4x2-(2k+3)x+k2+3k>0,
即(x-k)[x-(k+3)]>0,解得xk+3,
令B={x|xk+3}.由题意知A B,
所以k≥1或k+3≤-4,
即k∈(-∞,-7]∪[1,+∞).
12.3　A={-1,1},B={0,2},∵x∈A,y∈B,
∴x=1或x=-1,y=0或y=2.
则z=x+y的值可能是-1,1,3.
故答案为3.
13.-2　3　由A∩B={-1},知-1∈B,
∴(-1)2-(-1)+r=0,解得r=-2,
∴B={x|x2-x-2=0}={-1,2},
又A∪B={-1,2},A∩B={-1},
∴A={x|x2+px+q=0}={-1},即方程x2+px+q=0有两个相同的实数根-1,
∴Δ=p2-4q=0,且(-1)2+p(-1)+q=0,
解得p=2,q=1.所以p+q=3.
14.[3,5]　由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-t万亩,则税收收入为20-t×24 000×t%.
由题意20-t×24 000×t%≥9 000,
整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.
∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元.∴t的范围是[3,5].
15.证明∵bc-ad≥0,bd>0,∴bc≥ad,>0,
∴bc·≥ad·,即,∴+1≥+1,
∴,即.
16.解 (1)当a=1时,集合A={x|13},
故( UA)∩B={x|-1(2)∵A∪B=B,∴A B,∴
解得-1≤a<1.∴实数a的取值范围是[-1,1).
17.解(1)由不等式的解集为(-1,2),
可知方程x2-ax-2x+b=0的两根为-1和2,
得解得a=-1,b=-2.
(2)若b=2a,原不等式可化为x2-(a+2)x+2a<0;
因此(x-a)(x-2)<0.
①当a<2时,原不等式等价于a②当a=2时,原不等式等价于(x-2)2<0,解集为空集;
③当a>2时,原不等式等价于2综上所述:当a<2时,原不等式的解集为(a,2);
当a=2时,原不等式的解集为空集;
当a>2时,原不等式的解集为(2,a).
18.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,
则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,又x>0,∴a≤+1.5恒成立,又≥4,
当且仅当x=250时,等号成立,∴0即a的最大值为5.5.
19.(1)解由题意可得,x2,y2∈A.
若则x2=6,y2=7,
若则x2=7,y2=6,则第2项为(6,7)或(7,6).
(2)解令zi=xi+yi,则zi+1∈{xi+yi+7,xi+yi-7,xi+yi+1,xi+yi-1},
故zi+1与zi奇偶性不同,zi+2与zi奇偶性相同.
若(xi,yi)=(3,2),(xj,yi)=(4,4)均在τ中,由知i,j均为偶数,则zi与zj奇偶性应相同.
然而zi=5,zj=8,矛盾,故(3,2),(4,4)不能同时在τ中.
(3)证明由(2)提示,给定(x1,y1)之后的(xi,yi)并非是任意的,若将M全部列出,可能后续有无法接的,因此可能有重复的(集合M的互异性).
对于M中的元素(xi,yi),当xi,yi∈{1,2,7,8}时,共16个,
其之后的(xi+1,yi+1)满足xi+1,yi+1∈{3,4,5,6},
且(xi+1,yi+1)≠(3,3),(6,6),(3,6),(6,3),共12个,
故对于16个(xi,yi),其后只有12个(xi+1,yi+1)与之对应,必定有重复的,不满足题意.
综上,M中的所有元素都不构成k列.