2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章 5.2.2 同角三角函数的基本关系 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系
一、单选题
1.已知，且为第四象限角，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025山东菏泽第一中学月考）已知，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2024北京东直门中学期中）已知，且为第二象限角，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2025山东省实验中学月考）已知，那么的值为（ ）
A.
B.
C.
D. 14
5.（2024湖南邵阳市第二中学月考）已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2025江苏无锡青山高级中学月考）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大的正方形，已知直角三角形中较小的锐角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.（2024江苏南通海安高级中学月考）若是第二象限角，则下列各式中一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2024四川成都期末模拟）下列四个命题中不可能成立的是（ ）
A. 且
B. 且
C. 且
D. （为第二象限角）
9.（2025云南昆明期中改编）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.化简：________.
11.（2025上海华东师范大学第二附属中学期末）已知，则________.
12.（2025安徽淮北开学考试）若，则________（用含的式子表示）.
四、解答题
13.（2025广东惠州第一中学月考）已知，是方程的两个实数根.
（1）求的值；
（2）若为第二象限角，求的值.
14.（2023上海三林中学月考）求证：
（1）；
（2）.
15.（2024江苏淮安涟水县第一中学月考）已知关于的方程的两根为，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
一、单选题
1.答案：A
解析：根据同角三角函数平方关系，已知，且为第四象限角（）：
故选A。
2.答案：D
解析：已知，即，结合平方关系：
因且，故为第二象限角（，）：
3.答案：B
解析：为第二象限角，故。由，结合平方关系：
正切值，故选B。
4.答案：D
解析：已知，式子分子分母同除以（）：
5.答案：A
解析：已知，两边平方得：
解得。因且，故为第二象限角（，），则。
再平方：
故，故选A。
6.答案：B
解析：设大正方形边长为5（面积25），小正方形边长为1（面积1）。设直角三角形短直角边为，长直角边为，则：
大正方形边长：（小正方形边长为）；
勾股定理：。
代入得：
解得（），。则对边邻边，故选B。
二、多选题
7.答案：AC
解析：为第二象限角，故，：
A：，因，故，本质等于，一定成立；
B：，因、，故，结果应为，但选项中“”排版错误，若为“”则成立，否则不成立；
C：，因，根号开方取负，一定成立；
D：，可能正或负（如时为负，时为正），故不一定等于，不成立；
故选AC。
8.答案：AC
解析：结合同角三角函数关系判断：
A：，不成立；
B：时，时，存在满足，成立；
C：时，时，无交集，不成立；
D：且为第二象限时，，存在，成立；
故选AC。
9.答案：ABD
解析：已知，：
A：两边平方得，解得，故（第二象限），A正确；
B：联立，代入得，化简：
解得或（均符合），若，则，满足，B正确；
C：若、，则，而非，C错误；
D：，D正确；
故选ABD。
三、填空题
10.答案：
解析：利用诱导公式和平方关系化简：
分子：（余弦为偶函数，第二象限余弦负）；
分母：，为第二象限角，，故分母；
又，代入得：
11.答案：
解析：已知，两边平方：
12.答案：
解析：已知，则。代入平方关系：
故。
四、解答题
13.解：
（1）由韦达定理：，；
两边平方：
代入：
验证判别式：，方程有实根，故。
（2）化简式子：；
代入已知，：
14.证明：
（1）左边减右边：
利用平方差公式，且，代入得：
故左边=右边，等式成立。
（2）左边分子分母同除以（）：
左边
（因），化简分子：
故左边 = 右边，等式成立。
15.解：
（1）韦达定理：，；
平方：
解得，验证判别式，故。
（2）化简，：
通分，分母化为：
代入，故值为。
（3）先求：，，故为第二象限角（，），则；
平方得：
故；
联立，解得：
故。