第2章对称图形-圆典型例题与易错题精练-数学九年级上册苏科版

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第2章对称图形-圆典型例题与易错题精练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（ ）
A． B． C． D．π
2．如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题①长度相等的两条弧是等弧②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点③相等的圆心角所对的弦相等④平分弦的直径垂直于弦⑤不共线的三点确定一个圆；其中真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．在中，弦长为，圆心到的距离为，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的弦，，为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，交于点，则点从点运动到点的过程中，点所运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
二、填空题
9．若四边形为内接四边形，，则 °．
10．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ．
11．如图，是的直径，点在上，于交于点，，，，则的半径为 ．
12．在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留）
13．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是 ．
14．已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
15．如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ．
16．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接．
（1）若取得最大值，则点在线段 上；
（2）若，，则的最大值为 ．
三、解答题
17．如图，是的外接圆，是的直径，于点E．
(1)求证：；
(2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长．
18．如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆．
(2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案）
19．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
20．如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)求的长．
21．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
22．在中，为直径，为上一点．

(1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；
(2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B C C C D
1．A
【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为，
所以虚线①所对的圆弧长．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查命题与定理知识，掌握内切圆的圆心、圆周角定理、垂径定理等知识是解题的关键．据此逐一分析即可作出判断．
【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；
②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，故原命题为真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题为假命题；
④平分弦的直径不一定垂直弦，例如：两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为假命题；
⑤不共线的三点确定一个圆，故原命题为真命题；
∴真命题的有个．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，作，根据垂径定理和勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图：连接，作，
∵圆心到的距离为，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得：的半径，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的三边关系，弧长公式，解题关键是作辅助线，利用定角定弦确定轨迹圆．连接，证明，得出是定角，是定长，则得点M所运动的路径为一圆的劣弧，求出圆心角和半径即可求出弧长．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是定角，是定长，
得点M所运动的路径为如图的劣弧，
∵，
∴，
∴，
过点作于，
∴，，
∴，，
∴点运动的路径长，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质，作于，由勾股定理可得，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解，找准最大值与最小值的点是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
如图，当点与点重合时，最大，
，
由勾股定理可得：，
如图，当与上的高，即点重合时，最小，
，
由勾股定理可得：，
∴的最大值与最小值的差为，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，根据圆锥的侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面直径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积是，
故选：C．
8．D
【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可．
【详解】解：连接，，
∵矩形，
∴，，
∵，为的中点，
∴，
∴在以为圆心，2为半径的圆弧上，
过作于，
当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，
四边形面积=三角形面积+三角形面积，
即四边形面积=三角形面积+24．
设圆弧交于，此时四边形面积取最小值，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
9．或
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据题意画出图形，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】如图所示，
，
．
如图所示，
，
∵四边形为内接四边形，
∴．
综上所述，或；
故答案为：或．
10．/
【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，弧长为，
，
解得：，
扇形的面积为，
故答案为：．
11．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明得到，根据等边对等角得到，则，可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的半径为，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了圆周角与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边对等角，证明，得到是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式，由此即可求解．
【详解】解：的圆心角所对的弧长为，
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接，
∵点A，B的读数分别为，
∴，
∴，
故答案为：．
14．相切
【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案．
【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离，
∴，
∴直线和圆的位置关系是相切．
故答案为：相切．
15．/
【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接，，交半圆O于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，连接，，交半圆O于点，
，
在中，，，
∴，
当点P与点重合时，取得最小值．
故答案为：
16．
【分析】（1）根据中位线定理知：当取得最大值时，就取得最大值，当最大时是的直径，即可得解；
（2）如图，连接并延长交于点，连接，由（1）知，求得的直径后就可以求得最大值．
【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，
当为的直径时最大，此时点在线段上，
故答案为：；
（2）如图，连接并延长交于点，连接，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∴的最大值为，
∵和所对的弧是，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值为为．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是了解当什么时候的值最大．
17．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）根据垂径定理得出点为的中点，根据点是的中点，得出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：是的直径，，
，
；
（2）解：根据题意，如图所示：
是的直径，，
点为的中点，
点是的中点，
是的中位线，即，
，
．
18．(1)见解析
(2)相切
【分析】该题目主要考查基本的作图方法，切线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据（1）中作图方法结合切线的判定定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：与相切，
证明：∵为半径，
∴与相切．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论；
（2）如图，过点O作于点H，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在，
，
∴，
∴在，
，
∵是的直径，
∴，
∴在，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明；
（2）根据题意可得，则，再证明，即可证明；
（3）过B作于点H，连接，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
∴；
（2）证明：是的中点，
∴，
，
，
，
即，
∴；
（3）解：过B作于点H，连接，
为的直径，
，
由（2）可知，
∴，
，
在等腰直角三角形中， ，
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键．
（1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数．
（2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵与相切于点，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：∵为的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形．
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