第二十一章一元二次方程复习卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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第二十一章一元二次方程复习卷数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
6．某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
7．开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心健康．已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．《长安三万里》以全新的思路，呈现出一幅由唐诗浸染而出的绚烂画卷，并于其中探讨了颇具深意的人心旅程，某日该电影的票房约为2亿无，第二、三天持续增长，三天的累计的票房约为6.62亿元，若第二、三天单日票房平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．一元二次方程 的根是 ．
10．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
11．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为 ．
12．已知一元二次方程的两根分别为，，若，则的值为 ．
13．若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是 ．
14．已知，是方程的两个实数根，则的值是 ．
15．三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
16．如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是 m．
三、解答题
17．解下列一元二次方程：
(1)（公式法）
(2)（直接开平方法）
(3)（因式分解法）
(4)（配方法）
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
19．已知直角三角形的两边长分别是方程的两个根．
(1)若这两边是该直角三角形的直角边，求这个直角三角形的周长．
(2)求这个直角三角形的面积．
20．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时，在黑板上的板书过程．
解方程：
(1)请将该老师的解题过程补充完整．
(2)该老师说，解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程．
21．已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求的周长．
22．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A A B C C
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程中，未知数最高指数为3，它不是一元二次方程，不符合题意；
D．该方程不是整式方程，不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值．
将代入方程，求解即可．
【详解】解：将代入方程得，，
解得：，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．先计算整式的乘法，再移项整理即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：C．
4．A
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：．
6．B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可．
本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，
解方程，得（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了18个人，
故选B．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，审清题意找到等量关系是解题的关键．根据每个同学都要送其他个学生贺卡，因此总赠送贺卡数是张，再根据共赠贺卡1980张列方程即可．
【详解】解：由题意得：每个学生需要向其他个学生，
则得方程得：
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
【详解】解：设该增长率为x，则第二天单日票房为，第三天单日票房为，
根据题意可得出，
故选：C
9．，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：
，，
故答案为：，．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴且，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，根据一元二次方程的定义进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴．
∴，
故答案为：．
13．，
【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．根据方程的解的意义可得到，，进而求解即可．
【详解】解：∵方程的解是，，
∴方程的解、满足，，
解得，，
故答案为：，．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的综合应用．利用根与系数的关系，求出，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系的应用是解题的关键．
因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形三边关系，确定第三边的长，最后求周长即可．
【详解】解：，
，
∴或，
解得，或，
由构成三角形的三边关系可知，第三边的长为6，
∴，
∴该三角形的周长是，
故答案为：．
16．10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：设，则：，由题意，得：
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去
当时，，符合题意；
故的长度是；
故答案为：10
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方根的方法解方程即可；
（3）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（4）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
（1）求出的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．
【详解】（1）依题意，得
，
，
．
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵
，
∴，．
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或．
19．(1)这个直角三角形的周长为
(2)这个直角三角形的面积为或
【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程、勾股定理，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
（1）求出一元二次方程的解后，由勾股定理得直角三角形的斜边即可求出周长；
（2）根据一元二次方程的解分两种情况进行计算：①根据方程得出的两边是该直角三角形的直角边；②直角三角形的斜边长为．
【详解】（1）解：，
，
解得，，
由题意可得该直角三角形的斜边长为，
这个直角三角形的周长为．
（2）解：①若这两边是该直角三角形的直角边，则这个直角三角形的面积为；
②若该直角三角形的斜边长为，则这个直角三角形的另一直角边长为，
这个直角三角形的面积为．
综上所述，这个直角三角形的面积为或．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）根据配方法补充解题过程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：，
，，，
，
，．
21．(1)；
(2)这个三角形的周长为17
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，能利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据判别式的意义可得；
（2）分类讨论：分当腰长为7或当7为等腰三角形的底边两种情况讨论，求出值，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，
解得，则，故舍去，
综上所述，这个三角形的周长为17．
22．(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为
(2)当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
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