第一章 有理数复习学案
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第一章 有理数
一.知识结构
分 ①按整数、分数分：整数（正～，0，负～）；分数（正～，0，负～）
类 ②按正负分：正数，零，负数
相反 ③意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
概 数 ④数轴图示：数轴上表示相反数的两点在原点两旁，对称.
有理数大 ⑤用数轴：数轴上右边的数总比左边的数大
小的比较 ⑥用数字：数字大的正数大；数字小的负数大（数字即绝对值）
有 念 绝 ⑦几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫a的～.
对 ⑧代数意义：一个数除去符号后的数字叫它的～.正数的绝对值是本
值 身；零的绝对值是零；负数的绝对值是它的相反数.
倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数.
⑨加法法则：同号数相加，符号不变，数字相加；异号数相加，符号从大，
理 运 数字相减.
⑩减法法则：减负数等于加正数；减正数等于加负数.
算 ⑾乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把数字相乘；数×0＝0.
⑿除法法则：除以一个数等于乘它的倒数.0÷非零数＝0.
数 ⒀乘方法则：负数的奇次幂为负、偶次幂为正；正数的任次幂为正；
交换 ⒁加法交换律：交换加数位置，和不变.a+b＝b+a
律 ⒂乘法交换律：交换因子位置，积不变.ab＝ba
结合 ⒃加法结合律：三数相加，不论先加哪两个，和不变.（a+b）+c＝a+(b+c)
律 ⒄乘法结合律：三数相称，不论先乘哪两个，积不变.（ab）c＝a(bc)
⒅乘法分配律:一个数乘以几个数的和等于这个数分别乘以这几个个加数，再把 所得积相加. m(a+b+c) ＝ma+mb+mc
乘方、近似数、科学计数法
定 求n个相同因子积的简便运算叫～.乘方的结果叫幂，在an中，a叫底数 义 n 叫指数.an叫幂，an表示n个a相乘.
乘 ②符号 正数的任何次幂都为正，负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，0的
方 法则 何次幂都为零.1的任何次幂都为1，-1的偶次幂为1.-1的奇次幂为-1.
③乘方
的性质
④有理数的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算，由高到低依次进行；有括号的，有内而外、由小到大进行计算.
⑤近似数：接近一个数的精确值而又不等于精确值的数叫这个数的～.
⑥有效数字：从一个数左边第一个不是0的数字起，到末尾数为止，所有数字都叫～.
⑦：科学计数法：把一个数写成±a×10n的形式，其中1≤a＜10,n是整数，这种计数法叫～.
二．专题讲解
1.几个典型问题
⑴关于正数和负数
正+
大
多
增
升
收
盈
上
东
北
高
右
…
负-
小
少
减
降
支
亏
下
西
南
低
左
…
负数与正数表示具有相反含义的量，应对下表中所列与数量有关的具有相反含义的词有所了解，这样可以帮助大家尽快领会负数的意义.正与负是相对的，不是绝对的；表中所列通常如此，亦有例外，不可死记，应在理解基础上加以领悟.
⑵关于“＋”与“－”号
这两个符号在小学已经熟悉，前者叫加号，后者叫减号；现在它们又多了一个名称，前边的叫正号，后边的叫负号.同一个符号，既是这个，又是那个，到底是哪个，如何区别？如何使用？这是难点、亦是关键.其实说穿了很简单，你把它当什么，它就是什么.在具体运算时怎样抉择，后边结合例题细说.在有理数的加减运算中，“＋”号就象我们周围的空气一样无处不在，可以随意添加，亦可按需省略.把几个有理数放在一起进行某种运算，在未指明的情况下预设运算必定是加法.谁让它们在一起呢，一起不就是相加吗？“＋”号与“－”号如何转化呢？仔细看一个“＋”号不就是一横一竖的两个“－”么.一个“＋”号可以拆分成两个“－”号，而两个“－”号可以合并成一个“＋”号，这也应证了“负负的正”的运算法则.
⑶关于“0”
“0”在小学数学中表示没有，其实它的含义远非如此；随着数的范围不断扩大，“0”的含义也在不断丰富。有理数中，“0”是正负数的分界点；把数按照由小到大的顺序排列放到一条直线上后，比“0”大的在其右边，比“0”小的在它的左边；这样所有的数字好象水浒英雄一样排定了座次；数轴上的数不再混乱，右边的数比左边的所有数都大.在数的王国中，没有最大的，也没有最小的.常用和常见的数都是“0”左右的一些数，由此可见“0”的重要意义.
⑷关于相反数
“世间万物，相克相生”，现实世界本身便是矛盾的对立统一体.任何事物都有其反面性，正数的反面就是负数；“0”的反面是“0”.由此正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.互为相反数的两个数在数轴上的位置关于原点（0点）对称，一左一右，与原点距离相等.互为相反的两个数或式从表面看只差一个“－”号，一个为“＋”号，一个为“－”号、或一个省略“＋”号（无号），一个为“－”号.
写一个数的相反数：正数给数字添“－”号，负数负号变正号（或去掉），0不变.
⑸关于绝对值
不管数（或式）的大小正负如何，它总表示一个实实在在存在的量，抛开正负，这个实实在在存在的量就是数（或式）的绝对值.具体一个数，它的绝对值就是数字，数的绝对值只看数字，不管符号.结合绝对值的几何意义（数轴上表示该数的点到原点的距离），任何数的绝对值都不会为负，正数本身为正，故绝对值等于自身；0的绝对值也是本身0；只有负数小于0，绝对值要取它的相反数.用式子表示为：
⑹关于数轴
“有形无数难入微，有数无形不直观”（华罗庚语），数学研究的目的：一要准确，二要直观.只有将数与形结合起来，才能达到上述两个目的；数轴就是为此而生的.有了数轴，可以将数转化为数轴上的点，点是图形；亦可用数来表示数轴上的点；这样就实现了图形数字化，数字图形化；在代数与几何之间架起了一座桥梁.可以使枯燥的数字运算或数量关系变成直观的图形，借助视觉，迅速了解和判断；而看似复杂的图形，又可用数学式子将其加以描述.在现代电子化的图形图像处理领域，离开任何一个方面，工作都无法进行；所不同的只是其复杂程度较高而已.
数轴的画法：①画一条直线（通常水平放置）；②在其上任取一点作为原点，标上字母O；③规定一个方向为正（通常是右），画上箭头；④取适当的长度作为单位长度，从原点起依次标记一些数字（最少要标记一个数）.
⑺关于加减乘除
同号两数相加与小学类似，无需赘述；一个数与0相加等于没加，亦好理解；异号两数相加，会将一部分抵消，最终剩下的就是数字大的，数字小的被抵消完了，因而在异号两数相加的法则中有“符号从大”之说；乘法是从加法脱胎而来，有理数的乘法运算和小学相比没有本质区别，只是增加了符号的运算，其实判断符号用的就是加法，重点关注的是因子中“－”号的个数，如有双数个，最终全部合成为“＋”号，如有单数个，部分合成为“＋”号外，总要剩一个“－” 号，故最终结果为“－”.除法在本质上与乘法是同一类，只要将除号变为乘号，其运算等同于乘法.
2.例题练习
例1.下列结论中，正确的是（ ）
A.小学学过的数都是正数 B.小学学过的数前面加上“－”号后都是负数
C.一个数不是负数就是正数 D.如果a是正数，那么-a一定是负数
E.0是最小的自然数 F.0是整数也是偶数
G.0既非正数也非负数 H.0℃表示没有温度
解：正确的是D、E、F、G.
例2.判断：a是正数，-a是负数.
解：a是一个字母，可以表示学过的任意数；a代表正数时，它就是正的；a表示0，它就是0；a表示负数时，它就是负的.同理-a也不一定是负的；a代表正数时，它就是负的；a表示0时，它就是0；a表示负数时，它就是正的.
例3.一棵倒下的笔直枯树树干上有一个蚂蚁窝，一只小蚂蚁在窝的周围来回爬行搬运食物；若规定向树头方向爬行为正，向树根方向爬行为负；这只蚂蚁出窝后在一段时间内的爬行情况如下（单位：cm）：20，15，-30，50，-40，-80，55，-100，60，-150，35,这只蚂蚁在这段时间内一共爬行了多远的路程？离开蚁窝的最远距离是多少？最后一次停在什么地方？
解：⑴蚂蚁爬行的路程就是所有数绝对值的和
|20|+|15|+|-30|+|50|+|-40|+|-80|+|55|+|-100|+|60|+|-150|=600（cm）
蚂蚁在这段时间内一共爬行了6米的路程.
⑵该问求从前向后几个数和的绝对值最大的那一个，通过计算可知是前10个数，即│20+15+（-30）+50+（-40）+（-80）+55+（-100）+60+（-150）│＝│-200│＝200（cm） 故最远距离是2米.
⑶ 20+15+（-30）+50+（-40）+（-80）+55+（-100）+60+（-150）+35＝-165（cm）
答：最后蚂蚁停在树根方向离开蚁窝165cm处.
星 期
一
二
三
四
五
每股涨跌
＋3
-2
＋1.5
＋1
-3
例4.阅读右表中某种股票在周一到周五的涨跌情况（单位：元）
这几天中，哪几天股票是上涨的？哪天股票涨得最多？这几天中，哪几天股票是下跌的？哪天股票跌得最多？到周五收盘时，这种股票的涨跌情况如何？
解：⑴由表可见：周一、周三、周四这三天股票上涨，周一涨得最多.
周二和周五下跌，周五跌幅最大.
(+3)+(-2)+(+1.5)+(+1)+(-3)＝0.5(元) 和周一开盘时相比，涨了0.5元.
练习1.体育课上，某中学对八年级男生的引体向上进行了测试，以能做8个为标准；超过次数用正数表示，下欠次数用负数表示.其中10名男生的成绩分别为：1，-2，3，0，-1，-3，0，4，2，3.问：①这10名男生达到标准的合格率是多少？②这10名男生一共做了多少个引体向上？
2.观察下列数的规律，判断第2008个数是几？
1，0，0，-1，1，0，0，-1，1，0，0，-1，…
3.在急行跳远测试中，合格成绩是4.00米，小华跳出了4.18米，记作+0.18米，小明跳了3.96米，应记作 .⑷某食品包装袋上标有“500±10g”字样，其含义是 .
例5.把下列各数分别填在相应的集合里：
1，1/4，0.6，+5，0，-6.2，-7，5/12，0.3，3％，-21，-0.5.
例６.根据下表中的规律，从左向右的空格中应依次填写的数字是：
解：由图可以看出，长杠表示1，两个短杠表示0；所以第四个数是011，第五个是100.
例７.如图，数轴上的点A、B分别表示-4和1，点P是到A和B距离相等的点，则P点对应的数是（ ）
解：因为A表示的数是-4，B表
示的数是1，所以A、B两点间的距离为5.又点P到A、B两点距离相等，故AP=BP=2.5,
所以P表示的数是（-4）+2.5=-1.5（可以看成是自A点起右移2.5个单位）；或1-2.5=-1.5
（还可以看做是从B点起左移2.5个单位）因此可用上面两种方法计算.又P点是线段AB的中点，三点表示的都是数，仿照平均数的算法，中点的数值可取两个端点数值的平均数：［（-4）+1］÷2＝-1.5，也可得到点P所表示的数.
练习4.七年级（x）班的数学成绩以80分为基准，超过记为正，不足记为负，张老师将第一小组的6名同学的成绩统计如下（单位：分）：+15，+0.8，+1.2，0，-2.4，-4，求这六名同学的平均成绩？
5.把下列各数分别填入相应的集合内：-3，-0.2，5，0.25，0，0.6，5.2，-5/3，101，-9
6.已知有A、B、C三个数集，每个数集中所包含的数都写
在各自的大括号内，请把这些数字填在三个圈中相应的位置.
A=｛-1,-2,-5,3,4｝;B=｛-2,-4,3,6,7｝;C=｛0,-2,-4,4,2｝
7.某种方便面，每袋标准重量100克，规定最重不超过+5克，最轻不超过-5克，现有10袋方便面，称得重量分别为：-2，0，3，3.5，-4，-7，-5，5.5，6，-5.5（克），这10袋方便面的合格率是多少？
8.在数轴上与原点距离为2个长度单位的点有 个，它们表示的数是 .
9.一个点从数轴上的-7点开始，先向左移动4个单位，再向右移动10个单位，该点最后停下时对应的数是 .
例7.根据数轴上的图示，列出
相应算式并求出结果.
解：由图可见，起点是-6，第一次向右移动9个单位，第二次向左移动4个单位，
∴可列算式：（-6）+9-4＝（-6）+9+（-4）=（-10）+9＝-（10-9）＝-1
练习10.根据数轴上的图
示，列出相应算式并求出结果.
11.如果数轴上A点到原点的距离为4个单位长度，B点到原点的距离为3个单位长度，求A、B两点间的距离.
例8.化简下列小题中各数前面的符号：
-（-0.5）；⑵ -（+3.6）；⑶ +（-1）；⑷ -［+（-3）］；⑸ -｛-［-（+2）］｝
解：⑴ -（-0.5）＝+0.5= 0.5； ⑵ -（+3.6）= -3.6； ⑶ +（-1）= -1； ⑷ -［+（-3）］= -（-3）= 3； ⑸ -｛-［-（+2）］｝= +［-（+2）］= -2.
练习12.化简下列各数：① -（-16）；② -（+20）；③ +（-13）；④ +（+1）；
⑤ -［-（-1/3）］；⑥ -｛+［-（-a）］｝.
例9.求m-n的相反数.
解：m-n的相反数是-（m-n）,化简后为n-m.
练习13. 求-x-y+z的相反数.
例10.阅读下面的文字，然后回答问题.1的相反数是-1，所以1+（-1）=0；0的相反数是0，所以0+0=0；1/3+1/5的相反数是-（1/3+1/5），所以1/3+1/5+［-（1/3+1/5）］=0；若a、b互为相反数，则a+b=0;a+b=0,则a、b互为相反数.使用文字描述上面的结果为 .
解：若两数互为相反数，则其和为；若两数和为零，则两数互为相反数.
练习14.右图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个面A、B、C内分别填入数字，使得它们折成正方体后相对两个面上的数字互为相反数，则填入A、B、C三个面的数字依次为（ ）
15.① 2与 互为相反数，在数轴上表示它们的点距离原点 个长度单位.
②数轴上到原点距离为5个单位长度的点有 个，它们表示的数是 ，它们的关系是 .
③ -5，-2在数轴上对应的点都在原点的 ，表示-5的点比表示-2的点距离原点 .
④在数轴上有A、B两点如图所示，怎样移动这两点中的一个，才能使两个点表示的数互为相反数？
16.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请在数轴上标出它们的相反数-a、-b，并用“＜”连接起来.
例10.比较1+a与1-a的大小.
解法Ⅰ:⑴当a＞0时，-a＜0，则a＞-a,所以1+a＞1-a;⑵当a=0时，-a=0,即a=-a,所以1+a=1-a;⑶当a＜0时，-a＞0,故a＜-a,所以1+a＜1-a.
解法Ⅱ：（1＋a）－(1－a)＝1＋a－1＋a＝2a,⑴当a＞0时，2a＞0,这时1＋a＞1－a;⑵当a＝0时，2a＝0,这时1+a＝1－a;⑶当a＜0时，2a＜0，这时1＋a＜1－a.
解法Ⅱ中比较两个数大小的方法叫“作差法”，通过两个数差的正负判断减数和被减数的大小.
例11.已知|a－4|＋|b＋2|＝0,求a、b的值.
解：由绝对值的非负性可知，|a－4|≥0，|b＋2|≥0，而|a－4|＋|b＋2|＝0，所以|a－4|＝0且|b＋2|＝0，所以a－4＝0，b＋2＝0，得a＝4,b＝-2.
几个非负数的和为0，必须且只需每个非负数都等于0.今后类似题目都可以用上述解法求解.
练习17.①若|a|=|b|,则a与b的关系是 .
②若|a-1|+|b+2|=0,求|a+2b|的值.
美国
德国
英国
中国
日本
意大利
-3.4%
-0.9%
-5.3%
2.8%
-7.3%
7.0%
18.某年一些国家的产品出口额比上一年的增长率如右表：把它们按照从低到高排列.
例12.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|a+b|-|c|.
解：由图可见，a＜0,b＜0,c＞0;所以a+b＜0,故
|a|=－a,|a+b|=－(a+b)=－a－b,|c|=c,所以：|a|+|a+b|-|c|=-a-a-b-c=-2a-b-c.
有关数或式的绝对值的化简，首先要弄清绝对值符号内的数或式的正负，再根据正负数的绝对值的不同情况分别去掉绝对值符号，然后再把所得结果合并化简即可.
练习19.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|+|b-c|+|a+c|.
例13.把下列各式统一写成加法的形式.
⑴ -2+3-5-8-15+6 ⑵-1/3+1/2-17/6+0.25-3/4
解：⑴ -2+3-5-8-15+6=（-2）+3+（-5）+（-8）+（-15）+6
⑵-1/3+1/2-17/6+0.25-3/4=（-1/3）+1/2+（-17/6）+1/4+（-3/4）
例14.计算：⑴ 22-13-17+18-19； ⑵ 0.75+（-2.75）+（-3.5）+1.25
解；⑴ 22-13-17+18-19=22+18+（-13）+（-17）+（-19）= 40+［-（13+17+19）］
= 40+（-49）= -（49-40）= -9
⑵ 0.75+（-2.75）+（-3.5）+1.25=（0.75+1.25）+［-（2.75+3.5）］= 2+（-6.25）= -（6.25-2）= -4.25
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入
+20
0
+20
0
+20
+30
+30
支出
-10
-18
-15
-12
-16
-15
-20
例15.小敏靠勤工俭学维持上大学的费用，下表是是他一周的收支情况（收入为正，支出为负，单位：元）这一周内小敏有多少节余？照这一个月（按30天算）小敏有多少节余？
解：⑴ 20+0+20+0+20+30+30+（-10）+（-18）+（-15）+（-12）+（-16）+（-15）+（-20）=120+（-106）=14（元）.
14÷7×30=60（元）.
答：该周内，小敏有14元节余，这个月内，他应有60元节余.
练习20.⑴若|a|=3,|b|=4,求a+b的值.⑵已知|a+3|+|b-2|+|c+1|=0,求a+3b+c的值.⑶观察右图，寻找规律，在“？”处填上适当的数.
21.（新）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元
买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票
每日收盘价相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星 期
一
二
三
四
五
每股涨跌（元）
+2
-0.5
+1.5
-1.8.
+0.8
根据表格中的信息回答：星期二收盘时，该股票每股多少元？这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？已知买入与卖出股票均需支付成交金额千分之五的交易税，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
22.出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的大街上进行的，若规定向东为正，向西为负，这天下午的行车里程记录如下（单位：千米）：
+14，-3，+15，-10，+10，-13，+3，-15，+17，-18.
⑴将最后一名乘客送达目的地后，小李在什么位置？⑵若汽车耗油量为0.15升/千米，小李这天下午汽车共耗油多少升？
23.有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，判断下列各式的符号.⑴a+b;⑵a+c; ⑶b+d;⑷c+d.
24.阅读第一小题的计算方法，再计算第二小题.
例16.计算：⑴ （-2）-（+3）；⑵ （-2）-（-3）；⑶ 0-（-3）.
解：⑴（-2）-（+3）=（-2）+（-3）= -（2+3）= -5；⑵ （-2）-（-3）= （-2）
+（+3）=3-2=1；⑶ 0-（-3）=0+3=3.
减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b).这样就把有理数的减法运算转化为加法运算了.在进行有理数减法运算时，首先要弄清减数的符号（是正还是负）.在减法转化为加法时，被减数与减数的位置不能互换.
练习26.若a的相反数是它本身，b的相反数是最大的负整数，c的绝对值等于3，求a-b-c的值.
例18.计算：⑴（-3）×（-5）；⑵（-6）×1/3；⑶（-1/5）×0；⑷（-100）×（-1）×（-3）×（-1/2）；⑸（-36）×（1-4/9+5/6-7/12）；⑹ -28×（1/2-1/4+3/7-1）.
解：⑴（-3）×（-5）=＋（3×5）＝15；⑵（-6）×1/3＝-（6×1/3）＝－2；
⑶（-1/5）×0＝0；⑷（-100）×（-1）×（-3）×（-1/2）＝100×1×3×1/2＝150；
有理数的乘法运算中，数字进行的是乘法运算，符号进行的是加法运算；说穿了乘
法是加法的简便运算，因而符号是简单的相加，两个“－”号加起来是一个“＋”号，三个“－”号合起来是一个“＋”号，一个“－”号，省去一个“＋”，最终剩一个“－”号，所以：几个有理数相乘时，积的符号决定于其所有因子中含有的负号，（也就是负因子的个数）有单数个“－”号，积为“－”；有双数个“－”号，积为 “＋”.若因子中含有0，则积为0.以前学过的运算律（交换律、结合律、分配律）现在仍然适用.
练习27.（1）有两个有理数，它们的和为负，积为正，则这两个数 ；（2）若有理数a＜b＜0,则（a-b）(a-b)的符号是 ；（3）-5（2x+y）+10(x-y);(4)如果将
-（-2a+3b-c）去掉负号，得 ；（5）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值是1，求（a+b）×mn+|x|的值；
例20．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求（1-x）÷cd+(a+b+cd)x的值.
解：因为 a、b互为相反数，所以a+b=0,因为c、d互为倒数，所以cd=1,有因为x的绝对值为1，所以x=±1.当x=1时，原式=（1-1）÷1+（0+1）×1=0÷1+1=1;当x=-1时，原式=［1-（-1）］÷1+（0+1）×（-1）=2-1=1.
本题综合考察了相反数、倒数、绝对值及有理数的混合运算，一要准确应用概念进行计算，二要对x的取值分两种情况进分别计算（分类讨论思想），不可遗漏.
练习28.今年“五一黄金周”期间，许多商家都大搞优惠活动，以吸引顾客消费，增加销售收入.小明的上衣原价120元，买时打了六折，裤子是打了七折买的，共消费128元，小明的裤子原价多少元？
例21.用科学记数法表示：（1）2008000000；（2）-193709.18；（3）0.00001949；（4）-0.000001979.
解：（1）比较2008000000.和 中小数点的位置，不难看出，要把后一个数的小数点还原到前一个数的位置上，需将其小数点向右（右为“＋”）移动9位，为达此目的，必须给它乘以1000000000，也就是109，所以2008000000=2.008×109，（注意指数9为正）；同法可得（2）-193709.18＝-1.9370918×105；在（3）中，比较1.949和0.00001949的小数点可以看出，要将前面的数还原成后面的，需经其小数点向左（左为“－”）移动五位，所以0.00001949＝1.949×10-5，（注意指数-5为负）；同理（4）-0.000001979＝-1.979×10-6.
科学记数法通常是用来标记一些极大或极小的数，统一了书写格式后，可以给书写、比较、计算等带来很多方便.用科学记数法表示的数，其有效数字就是a中的所有数字.
练习30.用科学记数法表示下列各数：（1）1370000000；（2）-123150000；（3）0.0000125；（4）-0.0000001840；
例22.判断下列各数的有效数字和精确度：
（1）123000；（2）1.230×105；（3）0.00123；（4）1.23×10-3.
解：（1）有效数字为1、2、3和4个0，共7个；（2）有效数字为1、2、3、0四个（3）及（4）的有效数字都是1、2、3三个.关于精确度，请看下表：
其
余
百
万
位
十
万
位
万
位
千
位
百
位
十
位
个
位
十
分
位
百
分
位
千
分
位
万
分
位
十万
分
位
百万
分
位
其
余
1230000
…
1
2
3
0
0
0
0
…
1.230×105
…
1
2
3
0
0
0
0
…
0.000123
…
0
0
0
0
1
2
3
…
1.23×10-4
…
0
0
0
0
1
2
3
…
把原题中的四个数放在上图所示的数字表中，可以清楚的看出其最后一位数字所在的数字，也容易看出每一个数的精确度，第一个精确到个位；第二个精确到千位；第三个精确到百万分位；第四个精确到百万分位，而不是十分位.
在判断用科学记数法表示的数的精确度时，不能就数看数，一定要将其还原，再看最后一位数所在的数字，进而确定它的精确度.有效数字就数看数，按定义数数即可.对于过大或过小的数，若要求保留的有效数字个数少于原数的位数时，必须用科学记数法将原数加以表示.纯小数保留有效数字时，除保留的部分外，其余部分按四舍五入处理.（见下例）
例23.按要求的精确度给下列数字取近似值
95519000（保留三个有效数字）；⑵-1200380（保留两个有效数字）；⑶1200380
（保留四个有效数字）；⑷0.0010258（保留三个有效数字）.
解：⑴ 95519000＝9.55×107，⑵-1200380＝-1.2×106，⑶1200380＝1.200×106，⑷0.0010258＝0.00103.
练习31.指出下列各数的有效数字、精确度、原数？
13.0×108；⑵-2.08×105；⑶3.140；⑷-0.002050.
3.趣题巧解
例26.计算：（0.25）2007×42008.
解：（0.25）2007×42008=（0.25）2007×42007×4=（0.25×4）2007×4=12007×4=4
第一章达标检测题
一.选择题（3′×10=30′）
1.下列说法中正确的是（ ）
A.3/4和-0.75不是互为相反数 B.-a为正数，也可能是负数
C.若x=-（-5），则x=5 D非负数的相反数比她本身大
⒉数轴上到点-3的距离为4的点表示的数是（ ）
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
⒊若x≥0,则|x|+(-x)的值为（ ）
A.1 B.0 C.2x D.x
⒋有理数在m、n数轴上的位置如图所示，则下例关系中正确的是（ ）
A.m＜n B.-m＞n C.|m|＜n D.|n|＜m
⒌若|a-3|-3+a=0,则a的取值范围是（ ）
A.a≤3 B.a＜3 C.a≥3 D.a＞3
⒍已知abc＞0,ac＜0,a＞c,则下例结论正确的是（ ）
A.a＜0,b＜0,c＞0 B.a＞0,b＞0,c＞0
C.a＞0,b＜0,c＜0 D.a＜0,b＞0,c＞0
⒎把212208四舍五入保留三个有效数字，用科学记数法表示为（ ）
A.2.122×105 B.2.12×106 C.2.1221×105 D.2.12×105
⒏下列结论正确的是（ ）
A.近似数1.230和1.23的有效数字一样 B.近似数5千和近似数5000精确度相同
C.近似数3.1416精确到万分位 D.近似数79.9精确到个位
⒐若a、b为有理数，且a4=b4,成立，则a与b的关系是（ ）
A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.相等或互为相反数
⒑对式子1－2×［－a－(－b＋c)］去括号计算正确的位（ ）
A.1+2a-2b+2c B.1-2a-2b+2c C.1+2a-2b-2c D.1+2a+2b-2c
二.填空题（3′×10＝30′）
11.-0.12的相反数是 ，倒数是 .
12.在数轴上，表示-1
1
4
与-1
2
3
的两点间的距离是 .
13.比较大小：-
11
12
-
10
11
.
14.若（x+2）2＋|y-3|=0,则xy= .
15.已知小明身高a的测量值为1.65米，则其四个a的取值范围是 .
16.若|a|=5,|b|=2,且|a+b|=a+b,则b-a= .
17.科学记数法表示的数2.00808×105恢复成原数是 .
18.已知有理数x、y、z，若x＜y,x+y=0,xy/z＞0,则x+z 0.
19.若a与2b互为倒数，-c与d互为相反数，|x|=3,则式子2ab-2c+x/3+2d为 .
20.按规律排列；：-2，4，-8，16，-32，64，…，则第八个数是 .
三.解答题（21～23每题8分，其余每题12分，共60分）
21.计算：⑴（
1
2
－
1
3
－
5
9
＋
5
6
－
7
12
）×（－36）
⑵ －12－［2－（1－
1
3
×0.5）］×［32÷（－3）2］
22.若x、y为有理数，且|x-1|+2(y+3)2=0.求x2-3xy+2y2的值.
23.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所 示，化简|a-b|+|b-c|-|c-a|+|b+c|.
24.一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶检修电话线，某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下（单位：千米）：+18.3，-9.5，+7.1，-14，-6.2，+13，-6.8，-8.5.请你根据计算回答下列问题：
⑴ B地在A地的何方，相距多少千米？
⑵若汽车的耗油量为0.35升/千米，这天共享油多少升？（保留三个有效数字）
25.观察下列各式：12＋22＝
1
6
×2×3×5；12＋22＋32＝
1
6
×3×4×7；12＋22＋32＋42＝
1
6
×4×5×9；….由此推算出：12＋22＋32＋42＋…＋102等于多少？
26.小红家春天粉刷房间，雇佣五个工人，干了10天完工；用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷的面积是150平方米，最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一.按工算，每个工30元（一个工人干一天是一个工）；
方案二.按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三.按粉刷面积算，每平米付工钱12元.
请你帮助小红计算计一下，应选择哪种方案最省钱？
一.知识结构
分 ①按整数、分数分：整数（正～，0，负～）；分数（正～，0，负～）
类 ②按正负分：正数，零，负数
相反 ③意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
概 数 ④数轴图示：数轴上表示相反数的两点在原点两旁，对称.
有理数大 ⑤用数轴：数轴上右边的数总比左边的数大
小的比较 ⑥用数字：数字大的正数大；数字小的负数大（数字即绝对值）
有 念 绝 ⑦几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫a的～.
对 ⑧代数意义：一个数除去符号后的数字叫它的～.正数的绝对值是本
值 身；零的绝对值是零；负数的绝对值是它的相反数.
倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数.
⑨加法法则：同号数相加，符号不变，数字相加；异号数相加，符号从大，
理 运 数字相减.
⑩减法法则：减负数等于加正数；减正数等于加负数.
算 ⑾乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把数字相乘；数×0＝0.
⑿除法法则：除以一个数等于乘它的倒数.0÷非零数＝0.
数 ⒀乘方法则：负数的奇次幂为负、偶次幂为正；正数的任次幂为正；
交换 ⒁加法交换律：交换加数位置，和不变.a+b＝b+a
律 ⒂乘法交换律：交换因子位置，积不变.ab＝ba
结合 ⒃加法结合律：三数相加，不论先加哪两个，和不变.（a+b）+c＝a+(b+c)
律 ⒄乘法结合律：三数相称，不论先乘哪两个，积不变.（ab）c＝a(bc)
⒅乘法分配律:一个数乘以几个数的和等于这个数分别乘以这几个个加数，再把 所得积相加. m(a+b+c) ＝ma+mb+mc
乘方、近似数、科学计数法
定 求n个相同因子积的简便运算叫～.乘方的结果叫幂，在an中，a叫底数 义 n 叫指数.an叫幂，an表示n个a相乘.
乘 ②符号 正数的任何次幂都为正，负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，0的
方 法则 何次幂都为零.1的任何次幂都为1，-1的偶次幂为1.-1的奇次幂为-1.
③乘方
的性质
④有理数的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算，由高到低依次进行；有括号的，有内而外、由小到大进行计算.
⑤近似数：接近一个数的精确值而又不等于精确值的数叫这个数的～.
⑥有效数字：从一个数左边第一个不是0的数字起，到末尾数为止，所有数字都叫～.
⑦：科学计数法：把一个数写成±a×10n的形式，其中1≤a＜10,n是整数，这种计数法叫～.
二．专题讲解
1.几个典型问题
⑴关于正数和负数
正+
大
多
增
升
收
盈
上
东
北
高
右
…
负-
小
少
减
降
支
亏
下
西
南
低
左
…
负数与正数表示具有相反含义的量，应对下表中所列与数量有关的具有相反含义的词有所了解，这样可以帮助大家尽快领会负数的意义.正与负是相对的，不是绝对的；表中所列通常如此，亦有例外，不可死记，应在理解基础上加以领悟.
⑵关于“＋”与“－”号
这两个符号在小学已经熟悉，前者叫加号，后者叫减号；现在它们又多了一个名称，前边的叫正号，后边的叫负号.同一个符号，既是这个，又是那个，到底是哪个，如何区别？如何使用？这是难点、亦是关键.其实说穿了很简单，你把它当什么，它就是什么.在具体运算时怎样抉择，后边结合例题细说.在有理数的加减运算中，“＋”号就象我们周围的空气一样无处不在，可以随意添加，亦可按需省略.把几个有理数放在一起进行某种运算，在未指明的情况下预设运算必定是加法.谁让它们在一起呢，一起不就是相加吗？“＋”号与“－”号如何转化呢？仔细看一个“＋”号不就是一横一竖的两个“－”么.一个“＋”号可以拆分成两个“－”号，而两个“－”号可以合并成一个“＋”号，这也应证了“负负的正”的运算法则.
⑶关于“0”
“0”在小学数学中表示没有，其实它的含义远非如此；随着数的范围不断扩大，“0”的含义也在不断丰富。有理数中，“0”是正负数的分界点；把数按照由小到大的顺序排列放到一条直线上后，比“0”大的在其右边，比“0”小的在它的左边；这样所有的数字好象水浒英雄一样排定了座次；数轴上的数不再混乱，右边的数比左边的所有数都大.在数的王国中，没有最大的，也没有最小的.常用和常见的数都是“0”左右的一些数，由此可见“0”的重要意义.
⑷关于相反数
“世间万物，相克相生”，现实世界本身便是矛盾的对立统一体.任何事物都有其反面性，正数的反面就是负数；“0”的反面是“0”.由此正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.互为相反数的两个数在数轴上的位置关于原点（0点）对称，一左一右，与原点距离相等.互为相反的两个数或式从表面看只差一个“－”号，一个为“＋”号，一个为“－”号、或一个省略“＋”号（无号），一个为“－”号.
写一个数的相反数：正数给数字添“－”号，负数负号变正号（或去掉），0不变.
⑸关于绝对值
不管数（或式）的大小正负如何，它总表示一个实实在在存在的量，抛开正负，这个实实在在存在的量就是数（或式）的绝对值.具体一个数，它的绝对值就是数字，数的绝对值只看数字，不管符号.结合绝对值的几何意义（数轴上表示该数的点到原点的距离），任何数的绝对值都不会为负，正数本身为正，故绝对值等于自身；0的绝对值也是本身0；只有负数小于0，绝对值要取它的相反数.用式子表示为：
⑹关于数轴
“有形无数难入微，有数无形不直观”（华罗庚语），数学研究的目的：一要准确，二要直观.只有将数与形结合起来，才能达到上述两个目的；数轴就是为此而生的.有了数轴，可以将数转化为数轴上的点，点是图形；亦可用数来表示数轴上的点；这样就实现了图形数字化，数字图形化；在代数与几何之间架起了一座桥梁.可以使枯燥的数字运算或数量关系变成直观的图形，借助视觉，迅速了解和判断；而看似复杂的图形，又可用数学式子将其加以描述.在现代电子化的图形图像处理领域，离开任何一个方面，工作都无法进行；所不同的只是其复杂程度较高而已.
数轴的画法：①画一条直线（通常水平放置）；②在其上任取一点作为原点，标上字母O；③规定一个方向为正（通常是右），画上箭头；④取适当的长度作为单位长度，从原点起依次标记一些数字（最少要标记一个数）.
⑺关于加减乘除
同号两数相加与小学类似，无需赘述；一个数与0相加等于没加，亦好理解；异号两数相加，会将一部分抵消，最终剩下的就是数字大的，数字小的被抵消完了，因而在异号两数相加的法则中有“符号从大”之说；乘法是从加法脱胎而来，有理数的乘法运算和小学相比没有本质区别，只是增加了符号的运算，其实判断符号用的就是加法，重点关注的是因子中“－”号的个数，如有双数个，最终全部合成为“＋”号，如有单数个，部分合成为“＋”号外，总要剩一个“－” 号，故最终结果为“－”.除法在本质上与乘法是同一类，只要将除号变为乘号，其运算等同于乘法.
2.例题练习
例1.下列结论中，正确的是（ ）
A.小学学过的数都是正数 B.小学学过的数前面加上“－”号后都是负数
C.一个数不是负数就是正数 D.如果a是正数，那么-a一定是负数
E.0是最小的自然数 F.0是整数也是偶数
G.0既非正数也非负数 H.0℃表示没有温度
解：正确的是D、E、F、G.
例2.判断：a是正数，-a是负数.
解：a是一个字母，可以表示学过的任意数；a代表正数时，它就是正的；a表示0，它就是0；a表示负数时，它就是负的.同理-a也不一定是负的；a代表正数时，它就是负的；a表示0时，它就是0；a表示负数时，它就是正的.
例3.一棵倒下的笔直枯树树干上有一个蚂蚁窝，一只小蚂蚁在窝的周围来回爬行搬运食物；若规定向树头方向爬行为正，向树根方向爬行为负；这只蚂蚁出窝后在一段时间内的爬行情况如下（单位：cm）：20，15，-30，50，-40，-80，55，-100，60，-150，35,这只蚂蚁在这段时间内一共爬行了多远的路程？离开蚁窝的最远距离是多少？最后一次停在什么地方？
解：⑴蚂蚁爬行的路程就是所有数绝对值的和
|20|+|15|+|-30|+|50|+|-40|+|-80|+|55|+|-100|+|60|+|-150|=600（cm）
蚂蚁在这段时间内一共爬行了6米的路程.
⑵该问求从前向后几个数和的绝对值最大的那一个，通过计算可知是前10个数，即│20+15+（-30）+50+（-40）+（-80）+55+（-100）+60+（-150）│＝│-200│＝200（cm） 故最远距离是2米.
⑶ 20+15+（-30）+50+（-40）+（-80）+55+（-100）+60+（-150）+35＝-165（cm）
答：最后蚂蚁停在树根方向离开蚁窝165cm处.
星 期
一
二
三
四
五
每股涨跌
＋3
-2
＋1.5
＋1
-3
例4.阅读右表中某种股票在周一到周五的涨跌情况（单位：元）
这几天中，哪几天股票是上涨的？哪天股票涨得最多？这几天中，哪几天股票是下跌的？哪天股票跌得最多？到周五收盘时，这种股票的涨跌情况如何？
解：⑴由表可见：周一、周三、周四这三天股票上涨，周一涨得最多.
周二和周五下跌，周五跌幅最大.
(+3)+(-2)+(+1.5)+(+1)+(-3)＝0.5(元) 和周一开盘时相比，涨了0.5元.
练习1.体育课上，某中学对八年级男生的引体向上进行了测试，以能做8个为标准；超过次数用正数表示，下欠次数用负数表示.其中10名男生的成绩分别为：1，-2，3，0，-1，-3，0，4，2，3.问：①这10名男生达到标准的合格率是多少？②这10名男生一共做了多少个引体向上？
2.观察下列数的规律，判断第2008个数是几？
1，0，0，-1，1，0，0，-1，1，0，0，-1，…
3.在急行跳远测试中，合格成绩是4.00米，小华跳出了4.18米，记作+0.18米，小明跳了3.96米，应记作 .⑷某食品包装袋上标有“500±10g”字样，其含义是 .
例5.把下列各数分别填在相应的集合里：
1，1/4，0.6，+5，0，-6.2，-7，5/12，0.3，3％，-21，-0.5.
例６.根据下表中的规律，从左向右的空格中应依次填写的数字是：
解：由图可以看出，长杠表示1，两个短杠表示0；所以第四个数是011，第五个是100.
例７.如图，数轴上的点A、B分别表示-4和1，点P是到A和B距离相等的点，则P点对应的数是（ ）
解：因为A表示的数是-4，B表
示的数是1，所以A、B两点间的距离为5.又点P到A、B两点距离相等，故AP=BP=2.5,
所以P表示的数是（-4）+2.5=-1.5（可以看成是自A点起右移2.5个单位）；或1-2.5=-1.5
（还可以看做是从B点起左移2.5个单位）因此可用上面两种方法计算.又P点是线段AB的中点，三点表示的都是数，仿照平均数的算法，中点的数值可取两个端点数值的平均数：［（-4）+1］÷2＝-1.5，也可得到点P所表示的数.
练习4.七年级（x）班的数学成绩以80分为基准，超过记为正，不足记为负，张老师将第一小组的6名同学的成绩统计如下（单位：分）：+15，+0.8，+1.2，0，-2.4，-4，求这六名同学的平均成绩？
5.把下列各数分别填入相应的集合内：-3，-0.2，5，0.25，0，0.6，5.2，-5/3，101，-9
6.已知有A、B、C三个数集，每个数集中所包含的数都写
在各自的大括号内，请把这些数字填在三个圈中相应的位置.
A=｛-1,-2,-5,3,4｝;B=｛-2,-4,3,6,7｝;C=｛0,-2,-4,4,2｝
7.某种方便面，每袋标准重量100克，规定最重不超过+5克，最轻不超过-5克，现有10袋方便面，称得重量分别为：-2，0，3，3.5，-4，-7，-5，5.5，6，-5.5（克），这10袋方便面的合格率是多少？
8.在数轴上与原点距离为2个长度单位的点有 个，它们表示的数是 .
9.一个点从数轴上的-7点开始，先向左移动4个单位，再向右移动10个单位，该点最后停下时对应的数是 .
例7.根据数轴上的图示，列出
相应算式并求出结果.
解：由图可见，起点是-6，第一次向右移动9个单位，第二次向左移动4个单位，
∴可列算式：（-6）+9-4＝（-6）+9+（-4）=（-10）+9＝-（10-9）＝-1
练习10.根据数轴上的图
示，列出相应算式并求出结果.
11.如果数轴上A点到原点的距离为4个单位长度，B点到原点的距离为3个单位长度，求A、B两点间的距离.
例8.化简下列小题中各数前面的符号：
-（-0.5）；⑵ -（+3.6）；⑶ +（-1）；⑷ -［+（-3）］；⑸ -｛-［-（+2）］｝
解：⑴ -（-0.5）＝+0.5= 0.5； ⑵ -（+3.6）= -3.6； ⑶ +（-1）= -1； ⑷ -［+（-3）］= -（-3）= 3； ⑸ -｛-［-（+2）］｝= +［-（+2）］= -2.
练习12.化简下列各数：① -（-16）；② -（+20）；③ +（-13）；④ +（+1）；
⑤ -［-（-1/3）］；⑥ -｛+［-（-a）］｝.
例9.求m-n的相反数.
解：m-n的相反数是-（m-n）,化简后为n-m.
练习13. 求-x-y+z的相反数.
例10.阅读下面的文字，然后回答问题.1的相反数是-1，所以1+（-1）=0；0的相反数是0，所以0+0=0；1/3+1/5的相反数是-（1/3+1/5），所以1/3+1/5+［-（1/3+1/5）］=0；若a、b互为相反数，则a+b=0;a+b=0,则a、b互为相反数.使用文字描述上面的结果为 .
解：若两数互为相反数，则其和为；若两数和为零，则两数互为相反数.
练习14.右图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个面A、B、C内分别填入数字，使得它们折成正方体后相对两个面上的数字互为相反数，则填入A、B、C三个面的数字依次为（ ）
15.① 2与 互为相反数，在数轴上表示它们的点距离原点 个长度单位.
②数轴上到原点距离为5个单位长度的点有 个，它们表示的数是 ，它们的关系是 .
③ -5，-2在数轴上对应的点都在原点的 ，表示-5的点比表示-2的点距离原点 .
④在数轴上有A、B两点如图所示，怎样移动这两点中的一个，才能使两个点表示的数互为相反数？
16.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请在数轴上标出它们的相反数-a、-b，并用“＜”连接起来.
例10.比较1+a与1-a的大小.
解法Ⅰ:⑴当a＞0时，-a＜0，则a＞-a,所以1+a＞1-a;⑵当a=0时，-a=0,即a=-a,所以1+a=1-a;⑶当a＜0时，-a＞0,故a＜-a,所以1+a＜1-a.
解法Ⅱ：（1＋a）－(1－a)＝1＋a－1＋a＝2a,⑴当a＞0时，2a＞0,这时1＋a＞1－a;⑵当a＝0时，2a＝0,这时1+a＝1－a;⑶当a＜0时，2a＜0，这时1＋a＜1－a.
解法Ⅱ中比较两个数大小的方法叫“作差法”，通过两个数差的正负判断减数和被减数的大小.
例11.已知|a－4|＋|b＋2|＝0,求a、b的值.
解：由绝对值的非负性可知，|a－4|≥0，|b＋2|≥0，而|a－4|＋|b＋2|＝0，所以|a－4|＝0且|b＋2|＝0，所以a－4＝0，b＋2＝0，得a＝4,b＝-2.
几个非负数的和为0，必须且只需每个非负数都等于0.今后类似题目都可以用上述解法求解.
练习17.①若|a|=|b|,则a与b的关系是 .
②若|a-1|+|b+2|=0,求|a+2b|的值.
美国
德国
英国
中国
日本
意大利
-3.4%
-0.9%
-5.3%
2.8%
-7.3%
7.0%
18.某年一些国家的产品出口额比上一年的增长率如右表：把它们按照从低到高排列.
例12.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|a+b|-|c|.
解：由图可见，a＜0,b＜0,c＞0;所以a+b＜0,故
|a|=－a,|a+b|=－(a+b)=－a－b,|c|=c,所以：|a|+|a+b|-|c|=-a-a-b-c=-2a-b-c.
有关数或式的绝对值的化简，首先要弄清绝对值符号内的数或式的正负，再根据正负数的绝对值的不同情况分别去掉绝对值符号，然后再把所得结果合并化简即可.
练习19.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|+|b-c|+|a+c|.
例13.把下列各式统一写成加法的形式.
⑴ -2+3-5-8-15+6 ⑵-1/3+1/2-17/6+0.25-3/4
解：⑴ -2+3-5-8-15+6=（-2）+3+（-5）+（-8）+（-15）+6
⑵-1/3+1/2-17/6+0.25-3/4=（-1/3）+1/2+（-17/6）+1/4+（-3/4）
例14.计算：⑴ 22-13-17+18-19； ⑵ 0.75+（-2.75）+（-3.5）+1.25
解；⑴ 22-13-17+18-19=22+18+（-13）+（-17）+（-19）= 40+［-（13+17+19）］
= 40+（-49）= -（49-40）= -9
⑵ 0.75+（-2.75）+（-3.5）+1.25=（0.75+1.25）+［-（2.75+3.5）］= 2+（-6.25）= -（6.25-2）= -4.25
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入
+20
0
+20
0
+20
+30
+30
支出
-10
-18
-15
-12
-16
-15
-20
例15.小敏靠勤工俭学维持上大学的费用，下表是是他一周的收支情况（收入为正，支出为负，单位：元）这一周内小敏有多少节余？照这一个月（按30天算）小敏有多少节余？
解：⑴ 20+0+20+0+20+30+30+（-10）+（-18）+（-15）+（-12）+（-16）+（-15）+（-20）=120+（-106）=14（元）.
14÷7×30=60（元）.
答：该周内，小敏有14元节余，这个月内，他应有60元节余.
练习20.⑴若|a|=3,|b|=4,求a+b的值.⑵已知|a+3|+|b-2|+|c+1|=0,求a+3b+c的值.⑶观察右图，寻找规律，在“？”处填上适当的数.
21.（新）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元
买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票
每日收盘价相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星 期
一
二
三
四
五
每股涨跌（元）
+2
-0.5
+1.5
-1.8.
+0.8
根据表格中的信息回答：星期二收盘时，该股票每股多少元？这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？已知买入与卖出股票均需支付成交金额千分之五的交易税，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
22.出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的大街上进行的，若规定向东为正，向西为负，这天下午的行车里程记录如下（单位：千米）：
+14，-3，+15，-10，+10，-13，+3，-15，+17，-18.
⑴将最后一名乘客送达目的地后，小李在什么位置？⑵若汽车耗油量为0.15升/千米，小李这天下午汽车共耗油多少升？
23.有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，判断下列各式的符号.⑴a+b;⑵a+c; ⑶b+d;⑷c+d.
24.阅读第一小题的计算方法，再计算第二小题.
例16.计算：⑴ （-2）-（+3）；⑵ （-2）-（-3）；⑶ 0-（-3）.
解：⑴（-2）-（+3）=（-2）+（-3）= -（2+3）= -5；⑵ （-2）-（-3）= （-2）
+（+3）=3-2=1；⑶ 0-（-3）=0+3=3.
减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b).这样就把有理数的减法运算转化为加法运算了.在进行有理数减法运算时，首先要弄清减数的符号（是正还是负）.在减法转化为加法时，被减数与减数的位置不能互换.
练习26.若a的相反数是它本身，b的相反数是最大的负整数，c的绝对值等于3，求a-b-c的值.
例18.计算：⑴（-3）×（-5）；⑵（-6）×1/3；⑶（-1/5）×0；⑷（-100）×（-1）×（-3）×（-1/2）；⑸（-36）×（1-4/9+5/6-7/12）；⑹ -28×（1/2-1/4+3/7-1）.
解：⑴（-3）×（-5）=＋（3×5）＝15；⑵（-6）×1/3＝-（6×1/3）＝－2；
⑶（-1/5）×0＝0；⑷（-100）×（-1）×（-3）×（-1/2）＝100×1×3×1/2＝150；
有理数的乘法运算中，数字进行的是乘法运算，符号进行的是加法运算；说穿了乘
法是加法的简便运算，因而符号是简单的相加，两个“－”号加起来是一个“＋”号，三个“－”号合起来是一个“＋”号，一个“－”号，省去一个“＋”，最终剩一个“－”号，所以：几个有理数相乘时，积的符号决定于其所有因子中含有的负号，（也就是负因子的个数）有单数个“－”号，积为“－”；有双数个“－”号，积为 “＋”.若因子中含有0，则积为0.以前学过的运算律（交换律、结合律、分配律）现在仍然适用.
练习27.（1）有两个有理数，它们的和为负，积为正，则这两个数 ；（2）若有理数a＜b＜0,则（a-b）(a-b)的符号是 ；（3）-5（2x+y）+10(x-y);(4)如果将
-（-2a+3b-c）去掉负号，得 ；（5）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值是1，求（a+b）×mn+|x|的值；
例20．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求（1-x）÷cd+(a+b+cd)x的值.
解：因为 a、b互为相反数，所以a+b=0,因为c、d互为倒数，所以cd=1,有因为x的绝对值为1，所以x=±1.当x=1时，原式=（1-1）÷1+（0+1）×1=0÷1+1=1;当x=-1时，原式=［1-（-1）］÷1+（0+1）×（-1）=2-1=1.
本题综合考察了相反数、倒数、绝对值及有理数的混合运算，一要准确应用概念进行计算，二要对x的取值分两种情况进分别计算（分类讨论思想），不可遗漏.
练习28.今年“五一黄金周”期间，许多商家都大搞优惠活动，以吸引顾客消费，增加销售收入.小明的上衣原价120元，买时打了六折，裤子是打了七折买的，共消费128元，小明的裤子原价多少元？
例21.用科学记数法表示：（1）2008000000；（2）-193709.18；（3）0.00001949；（4）-0.000001979.
解：（1）比较2008000000.和 中小数点的位置，不难看出，要把后一个数的小数点还原到前一个数的位置上，需将其小数点向右（右为“＋”）移动9位，为达此目的，必须给它乘以1000000000，也就是109，所以2008000000=2.008×109，（注意指数9为正）；同法可得（2）-193709.18＝-1.9370918×105；在（3）中，比较1.949和0.00001949的小数点可以看出，要将前面的数还原成后面的，需经其小数点向左（左为“－”）移动五位，所以0.00001949＝1.949×10-5，（注意指数-5为负）；同理（4）-0.000001979＝-1.979×10-6.
科学记数法通常是用来标记一些极大或极小的数，统一了书写格式后，可以给书写、比较、计算等带来很多方便.用科学记数法表示的数，其有效数字就是a中的所有数字.
练习30.用科学记数法表示下列各数：（1）1370000000；（2）-123150000；（3）0.0000125；（4）-0.0000001840；
例22.判断下列各数的有效数字和精确度：
（1）123000；（2）1.230×105；（3）0.00123；（4）1.23×10-3.
解：（1）有效数字为1、2、3和4个0，共7个；（2）有效数字为1、2、3、0四个（3）及（4）的有效数字都是1、2、3三个.关于精确度，请看下表：
其
余
百
万
位
十
万
位
万
位
千
位
百
位
十
位
个
位
十
分
位
百
分
位
千
分
位
万
分
位
十万
分
位
百万
分
位
其
余
1230000
…
1
2
3
0
0
0
0
…
1.230×105
…
1
2
3
0
0
0
0
…
0.000123
…
0
0
0
0
1
2
3
…
1.23×10-4
…
0
0
0
0
1
2
3
…
把原题中的四个数放在上图所示的数字表中，可以清楚的看出其最后一位数字所在的数字，也容易看出每一个数的精确度，第一个精确到个位；第二个精确到千位；第三个精确到百万分位；第四个精确到百万分位，而不是十分位.
在判断用科学记数法表示的数的精确度时，不能就数看数，一定要将其还原，再看最后一位数所在的数字，进而确定它的精确度.有效数字就数看数，按定义数数即可.对于过大或过小的数，若要求保留的有效数字个数少于原数的位数时，必须用科学记数法将原数加以表示.纯小数保留有效数字时，除保留的部分外，其余部分按四舍五入处理.（见下例）
例23.按要求的精确度给下列数字取近似值
95519000（保留三个有效数字）；⑵-1200380（保留两个有效数字）；⑶1200380
（保留四个有效数字）；⑷0.0010258（保留三个有效数字）.
解：⑴ 95519000＝9.55×107，⑵-1200380＝-1.2×106，⑶1200380＝1.200×106，⑷0.0010258＝0.00103.
练习31.指出下列各数的有效数字、精确度、原数？
13.0×108；⑵-2.08×105；⑶3.140；⑷-0.002050.
3.趣题巧解
例26.计算：（0.25）2007×42008.
解：（0.25）2007×42008=（0.25）2007×42007×4=（0.25×4）2007×4=12007×4=4
第一章达标检测题
一.选择题（3′×10=30′）
1.下列说法中正确的是（ ）
A.3/4和-0.75不是互为相反数 B.-a为正数，也可能是负数
C.若x=-（-5），则x=5 D非负数的相反数比她本身大
⒉数轴上到点-3的距离为4的点表示的数是（ ）
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
⒊若x≥0,则|x|+(-x)的值为（ ）
A.1 B.0 C.2x D.x
⒋有理数在m、n数轴上的位置如图所示，则下例关系中正确的是（ ）
A.m＜n B.-m＞n C.|m|＜n D.|n|＜m
⒌若|a-3|-3+a=0,则a的取值范围是（ ）
A.a≤3 B.a＜3 C.a≥3 D.a＞3
⒍已知abc＞0,ac＜0,a＞c,则下例结论正确的是（ ）
A.a＜0,b＜0,c＞0 B.a＞0,b＞0,c＞0
C.a＞0,b＜0,c＜0 D.a＜0,b＞0,c＞0
⒎把212208四舍五入保留三个有效数字，用科学记数法表示为（ ）
A.2.122×105 B.2.12×106 C.2.1221×105 D.2.12×105
⒏下列结论正确的是（ ）
A.近似数1.230和1.23的有效数字一样 B.近似数5千和近似数5000精确度相同
C.近似数3.1416精确到万分位 D.近似数79.9精确到个位
⒐若a、b为有理数，且a4=b4,成立，则a与b的关系是（ ）
A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.相等或互为相反数
⒑对式子1－2×［－a－(－b＋c)］去括号计算正确的位（ ）
A.1+2a-2b+2c B.1-2a-2b+2c C.1+2a-2b-2c D.1+2a+2b-2c
二.填空题（3′×10＝30′）
11.-0.12的相反数是 ，倒数是 .
12.在数轴上，表示-1
1
4
与-1
2
3
的两点间的距离是 .
13.比较大小：-
11
12
-
10
11
.
14.若（x+2）2＋|y-3|=0,则xy= .
15.已知小明身高a的测量值为1.65米，则其四个a的取值范围是 .
16.若|a|=5,|b|=2,且|a+b|=a+b,则b-a= .
17.科学记数法表示的数2.00808×105恢复成原数是 .
18.已知有理数x、y、z，若x＜y,x+y=0,xy/z＞0,则x+z 0.
19.若a与2b互为倒数，-c与d互为相反数，|x|=3,则式子2ab-2c+x/3+2d为 .
20.按规律排列；：-2，4，-8，16，-32，64，…，则第八个数是 .
三.解答题（21～23每题8分，其余每题12分，共60分）
21.计算：⑴（
1
2
－
1
3
－
5
9
＋
5
6
－
7
12
）×（－36）
⑵ －12－［2－（1－
1
3
×0.5）］×［32÷（－3）2］
22.若x、y为有理数，且|x-1|+2(y+3)2=0.求x2-3xy+2y2的值.
23.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所 示，化简|a-b|+|b-c|-|c-a|+|b+c|.
24.一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶检修电话线，某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下（单位：千米）：+18.3，-9.5，+7.1，-14，-6.2，+13，-6.8，-8.5.请你根据计算回答下列问题：
⑴ B地在A地的何方，相距多少千米？
⑵若汽车的耗油量为0.35升/千米，这天共享油多少升？（保留三个有效数字）
25.观察下列各式：12＋22＝
1
6
×2×3×5；12＋22＋32＝
1
6
×3×4×7；12＋22＋32＋42＝
1
6
×4×5×9；….由此推算出：12＋22＋32＋42＋…＋102等于多少？
26.小红家春天粉刷房间，雇佣五个工人，干了10天完工；用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷的面积是150平方米，最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一.按工算，每个工30元（一个工人干一天是一个工）；
方案二.按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三.按粉刷面积算，每平米付工钱12元.
请你帮助小红计算计一下，应选择哪种方案最省钱？