从统计图表中求三数
一、从扇形统计图中求三数
例1 某电脑公司销售部为了制定下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图1所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14 B．19，20，20
C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
解析：根据题意，得销售20台的人数是20×40%=8（人），销售30台的人数是20×15%=3（人），销售12台的人数是20×20%=4（人），销售14台的人数是20×25%=5（人），则这20位销售人员本月销售量的平均数是（20×8+30×3+12×4+14×5）=18.4（台）；把这些数从小到大排列，位于第10，11个的数都为20，则中位数是20，因为销售20台的人数最多，所以这组数据的众数是20．
故选C.
二、从条形统计图中求三数
例2 某市4月份日平均气温统计情况如图2所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，13
解析：由条形统计图，可知13出现了10次，出现次数最多，所以众数为13.第15个数和第16个数都是14，所以中位数是14．
故选C．
三、从折线统计图中求三数
例3 某同学将自己7次体育测试成绩（单位：分）绘制成如图3所示的折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．50和48 B．50和47 C．48和48 D．48和43
解析：由折线统计图，可知50分出现了两次，次数最多，所以众数为50.从统计图中由低到高数，最中间的数为48，所以中位数为48.
故选A．
点评：1.计算平均数，要将数据直接相加再除以数据的个数；2. 计算中位数需要先将数据按从小到大的顺序依次排列，如果数据的个数为奇数个，那么最中间的数据为这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数个，那么最中间两个数的平均数即为这组数据的中位数；3. 众数即为一组数据中出现次数最多的数，相比平均数和中位数，众数更容易在统计图中直观的反映出来，反映在扇形统计图中为占比的大小，反映在条形统计图中为条形的高度，反映在折线统计图中为同一数据出现的次数.
图1
图2
图3方差在手 决策无忧
方差是用来衡量一组数据在平均数的附近波动大小的统计量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差越小，表明各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.在实际应用中，经常通过比较方差的大小来做决策，下面举例说明.
例1 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol m-2 s-1），结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 .（填“甲”或“乙”）
分析：直接利用方差公式计算甲、乙两品种光合作用速率的方差，再进行比较，根据方差的意义得出答案.
解：甲的方差为：s2==29.6；
乙的方差为：
s2甲==4.
因为29.6＞4，所以两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙.
故填乙.
例2 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行了现场打分，并对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a．甲、乙两位同学得分的折线统计图：
b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致；（填“甲”或“乙”）
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 .（填“甲”“乙”或“丙”）
分析：（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）计算甲、乙两位同学的方差，利用方差的意义求解；
（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分即可得出结论.
解：（1）m=×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）=8.6.
（2）甲同学的方差为×=1.04；
乙同学的方差为×=1.84.
因为1.04＜1.84，所以评委对甲同学演唱的评价更一致.
故填甲.
（3）甲同学的最后得分为×（7×1+8×2+9×4+10×1）=8.625（分）；
乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）=8.625（分）；
丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）=9.125（分）.
因为9.125>8.625，所以在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙.
故填丙.拨开“迷雾”见“三数”
一、忽视“权”致错
例1 小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A. 140元 B. 160元
C. 176元 D. 182元
错解：A
剖析：错解只计算了正常上班的工资和不能正常上班的工资的算术平均数，忽视了正常上班天数的权重，本题要求的是加权平均数，需要将两种工资数乘以权重后再相加.
正解：________.
忽视排序致错
例2 某班一合作学习小组有5人，某次数学测试成绩数据分别为65，78，86，91，85，则这组数据的中位数是（ ）
A.78 B.85
C. 86 D. 91
错解：选C.
剖析：错解没有先将这组数据按大小排列顺序致错.求一组数据的中位数时，一定要先将这组数据从小到大或从大到小进行排序，若数据有奇数个，则中间的数据就是中位数；若数据有偶数个，则中间两个数的平均数就是中位数.
正解：________.
三、次数当众数致错
例3 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表：
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 ________.
错解：填10.
剖析：错解将25出现的次数当成了众数致错.众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是次数.
正解：________.
四、忽视众数的不唯一性致错
例4 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
废旧电池（节） 4 5 6 7 8
人 数 9 11 11 5 4
则学生收集废旧电池数量的众数是________节.
错解：5.
剖析：错解忽视了众数的不唯一性致错.一组数据的中位数是唯一的，众数可以不止一个，也可以没有.本题中数量5和6各出现了11次，出现次数最多，故众数有两个.
正解：________.
参考答案：例1 C 例2 B 例3 25 例4 5和6平均数与方差的变化规律
例 已知一组数据：x1，x2，…，xn的平均数是5，方差是2，把每个数据都乘以4，再减去3，得到一组新的数据：4x1-3，4x2-3，…，4xn-3，这组新数据的平均数和方差如何变化？
解析：设第一组数据的平均数为，则=（x1+x2+…+xn）=5，方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=2.
在新数据中，设平均数为，方差为S'2.令y1=4x1-3，y2=4x2-3，…，yn=4xn-3.
则=（y1+y2+…+yn）=[（4x1-3）+（4x2-3）+…+（4xn-3）]=[4（x1+x2+…+xn）-3n]=4-3=17.
由此可知，当一组数据都扩大（或缩小）a倍时，平均数也会扩大（或缩小）a倍；都增加（或减少）b时，平均数也会增加（或减少）b.
新数据的方差S'2=[（y1-）2+（y2-）2+…+（yn-）2]=[（4x1-3-17）2+（4x2-3-17）2+…+（4xn-3-17）2]={[4（x1-5）]2+[4（x2-5）]2+…+[4（xn-5）]2}=16××[（x1-）]2+[（x2-）]2+…+[（xn-）]2=16S2=42S2.
由此可知，当一组数据都扩大（或缩小）a倍时，方差会扩大（或缩小）到原来的a2倍；都增加（或减少）b时，方差不变.
归纳：若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，则新数据ax1±b，ax2±b，…，axn±b的平均数为a±b，方差为a2S2.
跟踪训练
已知一组数据x1，x2，x3的平均数为5，方差为7，则另一组数据2x1+1，2x2+1，2x3+1的平均数和方差分别是（ ）
A．5，7 B．11，28 C．11，49 D．11，98
参考答案：B不受数据改变影响的统计量
学均数、众数、中位数和方差，不仅要会计算，而且要把握它们的特征，有的统计量不随数据变化而变化，下面举例说明.
一、去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不变
例1 校园歌手大赛中，9位评委对选手蕾娜作出了原始评分，在确定该选手的最终成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，最后将7个有效评分的平均数作为蕾娜的最终得分.9个原始评分和7个有效评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
解析：将两组数据按从小到大的顺序排列，9个原始评分的中位数为第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，7个有效评分的中位数是第4个数，可知两个中位数是同一个数.
故选A.
二、每个数据减少同一个数后，方差不变
例2 如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（ ）
A. 众数改变，方差改变
B. 众数不变，平均数改变
C. 中位数改变，方差不变
D. 中位数不变，平均数不变
解析：若每个数都减去5，则所得新数据的众数、中位数、平均数都减少5，由方差公式，得方差不变.
故选C.
三、改变一个无关数据后，众数不变
例3 期中考试后，老师让各组长统计6名组员的数学成绩，第二小组组长李明统计时，组员王芳刚好请假不在，李明只知道王芳的大概成绩是80多，他将王芳的成绩当作85统计，得到的成绩（单位：分）如下：79，76，96，96，85，100.关于这组数据，下列统计量中一定不受影响的是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
解析：由题意知，这组数据的平均数会受影响，则方差也会受影响.按从小到大排列后，中位数为王芳的成绩与96的和的平均数，故中位数也会受影响，只有众数不变，为96分.
故选C.
四、增加一个平均数后，新数据的平均数不变
例4 八（1）班5名同学的身高（单位：厘米）分别为165，172，168，170，175，增加1名身高为170 cm的同学后，现在6名同学身高的平均数和方差与原来相比（ ）
A. 平均数不变，方差变小
B. 平均数变大，方差不变
C. 平均数不变，方差变大
D. 平均数变小，方差不变
解析：通过计算可知这组数据的平均数是170 cm，由于增加同学的身高恰好是该组数据的平均数，因此平均数不变；由方差公式，得分子不变，分母变大，所以新数据的方差变小了.
故选A.三招求“三数”
一、“算”出平均数
平均数是“算”出来的.平均数反映的是一组数据中各个数据的平均水平，它与这组数据里的每个数据都有关系，其计算方法是：用一组数据的总和除以该组数据的个数.平均数通常包括算术平均数和加权平均数，确定一组数据的平均数时，若各个数据的重要程度相同（所有数据一一列出，“权重”相同）时，则计算算术平均数；若各数据的重要程度不同（“权重”不同）时，则计算加权平均数.
例1 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
解析：（1）根据算术平均数的定义，得甲的平均成绩为（80+87+82）=83（分）；
乙的平均成绩为（80+96+76）=84（分）.
因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，所以应该录取乙.
（2）根据加权平均数的定义，得甲的平均成绩为80×20%+87×20%+82×60%=82.6（分）；
乙的平均成绩为80×20%+96×20%+76×60%=80.8（分）.
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以应该录取甲.
二、“排”出中位数
中位数是“排”出来的.确定一组数据的中位数时，首先要按大小将各个数据排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数.排序时，按从小到大或从大到小均可.
例2 某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是 本.
解析：将数据200，300，400，200，500，550按照从小到大的顺序排列为200，200，300，400，500，550，处于最中间的数是300和400，则这组数据的中位数为=350.
故填350.
三、“数”出众数
众数是“数”出来的.由于众数是指出现次数最多的数据，因此确定众数时，只需要数一数每个数据出现的次数再比较确定.确定众数时，需注意两点：一是不要将出现的次数误认为众数，二是当出现次数最多的数据不止一个时，这组数据的众数不唯一.
例3 为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了调查，将15名同学的作业时长统计如下表：
作业时长（分钟） 50 60 70 80 90
人 数 1 4 6 2 2
则这组数据的众数是 分钟.
解析：根据表格可知，70出现了6次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是70分钟.
故填70.
