平面直角坐标系中的小猫
在数学活动课上，小虎正确地描出了一系列点，并把它们顺次连接起来，如图所示.
小虎兴奋地说：“真没想到，分布在四个象限内的这些点，居然能连成一只可爱的小猫.”
不料，此话一出，立刻遭到小新的反对：“你说得不对，坐标系内的点并不只分布在四个象限中，还有些点在坐标轴上，它们不属于任何一个象限.比如，图中的（-2，0），（2，0），（3，0）三个点在x轴上，（0，-2），（0，2），（0，4）三个点在y轴上.”
小虎马上更正：“我说错了，我忘了在坐标轴上的点不属于任何象限，就像在x轴上的点都不在y轴上一样.”
没想到，小新又纠正道：“这话也有问题，原点就是一个特殊的点，它既在x轴上，也在y轴上.”
这时，老师问了小虎一个问题：“你能根据这只猫眼睛的大致位置，说出它们的坐标分别是什么吗 ”
小虎思考了一下，答道：“它两只眼睛的坐标分别为（-1.5，2.5）和（-0.5，2.5）.”
老师说：“小虎回答得对.小虎，你能在坐标系中描出到x轴距离为4、到y轴距离为5的点M吗 ”
小虎一听，不假思索地说：“这有什么难的，不就是描出坐标为（4，5）的点吗？”他边说边在图中画出点M，没等画完就发现自己错了，急忙更正：“哦！错了!到x轴的距离为4，不是说横坐标为4；到y轴的距离为5，也不是说纵坐标为5.所以，这个点的坐标不是（4，5），而应该是（5，4），这个点M才符合条件.这次，总该没错了吧？”
小新一听，说：“你考虑得还是不够全面，还有三个点呢.你看，（5，-4），（-5，-4）和（-5，4）这三个点也是符合条件的.”
老师说：“小新考虑得很全面.距离是非负数，你们很容易发现：一个点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它的横坐标的绝对值.”
小虎笑着说：“看来我要加油了.”坐标系中的创新“点”
在直角坐标系中，探索点的坐标规律题是学习本单元知识的难点，也是中考命题的热点，这部分题一般都运用到“循环”来解答，下面举两例一起看一看.
例1 如图1，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2024的坐标为 ．
解析：根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，所以点P2024在第四象限的角平分线上.
因为P4（1，﹣1），P8（2，﹣2），P12（3，﹣3），…，可知横、纵坐标的绝对值均是下标的.
而 2024÷4=506，且P2024在第四象限，所以P2024（506，﹣506）.
故填（506，-506）．
点评：解题的关键是由已知点的坐标特征发现四个象限内点的下标的规律．
例2 如图2，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），......按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2025，0） B．（2025，1）
C．（2025，2） D．（2024，0）
图2
解析：因为第1次，第2次，第3次，第4次，第5次分别运动到点（1，1），（2，0），（3，2），（4，0），（5，1）…，所以每次运动后点的横坐标等于运动次数，纵坐标以1，0，2，0，每4次为一个循环.
所以第2025次运动后点P的横坐标为2025.
因为2025÷4=506......1，所以第2025次运动后，点P的纵坐标与第1次运动后相同，此时，点P（2025，1）.
故选B．
点评：解题关键是先确定横坐标的递增规律，再结合循环规律确定纵坐标.
图1坐标为你揭开面积之谜
学面直角坐标系后，我们可以借助点的坐标求图形的面积，下面以求三角形的面积为例来说明求解的思路.
一、当三角形有一边在坐标轴上时，通常选择这一边为底，根据两个顶点的横坐标（或纵坐标）差的绝对值确定底边的长，再根据第三个顶点的坐标确定底边上的高
例1 如图1所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（-1，2），B（-3，0），C（2，0），求△ABC的面积.
图1
分析：观察图形可知，△ABC的底边BC在x轴上，根据点C，B的横坐标差的绝对值可计算出BC的长，BC边上的高为AD的长，也就是点A的纵坐标.由此可计算出△ABC的面积.
解：因为BC= ，AD=2，所以S△ABC.
二、当三角形的一条边与坐标轴平行时，通常以这条边为底边，根据横坐标（底边平行于x轴）或纵坐标（底边平行于y轴）差的绝对值确定这条边的长，再根据第三个顶点到底边的距离确定底边上的高
例2 如图2所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，1），B（-2，-4），C（2，2），求△ABC的面积.
图2
分析：观察图形可知△ABC的底边AB平行于y轴，则AB的长度等于它们的纵坐标差的绝对值；AB边上的高为CD，根据CD平行于x轴可确定CD的长等于这两点横坐标差的绝对值.
解：因为AB=，CD=，所以S△ABC.
三、当三角形的三边都不与坐标轴平行时，一般构造过三角形三个顶点的长方形（正方形），利用长方形（正方形）与三角形的面积差来确定这个三角形的面积
例3 如图3所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，-2），B（1，2），C（-2，-1），求△ABC的面积.
图3
分析：观察可知△ABC的三边都不与坐标轴平行，此时可构造一个过三角形三个顶点的正方形ADEF.用正方形ADEF的面积减去△ABD，△BCE，△ACF的面积即得△ABC的面积.
解：过点A，C分别作平行于y轴的直线，过点A，B分别作平行于x轴的直线，它们的交点为D，E，F，得到正方形ADEF.
所以S△ABC=S正方形ADEF-S△ABD-S△BCE-S△ACF=4×4--=16-2--2=.确定点的坐标方法多
一、根据距离确定坐标
例1 在平面直角坐标系中，已知点P在y轴的右侧，点P到x轴的距离为6，且到y轴的距离是到x轴距离的，则点P的坐标是（ ）
A.（6，3） B.（3，6） C.（-6，-3） D.（3，6）或（3，-6）
分析：根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.
解：因为点P到x轴的距离为6，且到y轴的距离是到x轴距离的，所以点P到y轴的距离是3.
因为点P在y轴右侧，所以点P的横坐标为3，纵坐标为6或-6.即点P的坐标为（3，6）或（3，-6）.故选D.
二、根据图形确定坐标
例2 已知a+b＞0，ab＞0，在图1所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A.（a，b） B.（-a，b） C.（-a，-b） D.（a，-b）
分析：由已知条件可判断出a，b的正负，观察图形判断小手盖住的点在第二象限，据此解答.
解：因为a+b＞0，ab＞0，所以a＞0，b＞0.点（a，b）在第一象限，选项A不符合题意；点（-a，b）在第二象限，选项B符合题意；点（-a，-b）在第三象限，选项C不符合题意；点（a，-b）在第四象限，选项D不符合题意.故选B.
三、根据线段最短确定坐标
例3 在平面直角坐标系中，已知点A（-2，3），B（2，-1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A.（0，-1） B.（-1，-2） C.（-2，-1） D.（2，3）
分析：根据经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相同.当BC⊥a时，线段BC的长度最短，由此可确定点C的横坐标与点B的横坐标相同.
解：如图2，因为a∥x轴，所以点C的纵坐标为3.
因为当BC⊥a时，BC的长度最短，且点B的坐标为（2，-1），所以点C的横坐标为2.所以点C的坐标为（2，3）. 故选D.
四、探索规律确定坐标
例4 如图3，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第1分钟，它从原点运动到点（1，0）；第2分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A.（44，4） B.（44，3） C.（44，5） D.（44，2）
分析：找出粒子运动与坐标之间的关系即可.
解：由题意，知（0，0）表示粒子运动了0分钟，（1，1）表示粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动；（2，2）
表示粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动；（3，3）表示粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动.于是（44，44）表示粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动.
所以在第2021分钟时，粒子又向下移动2021-1980=41（个）单位长度，此时粒子的坐标为（44，3）.故选B.当心坐标系下的陷阱
陷阱1 对点到坐标轴的距离理解不准
例1 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A.（5，4） B.（4，5） C.（-4，5） D.（-5，4）
错解：选A.
剖析：错解误认为到x轴的距离就是横坐标的绝对值，到y轴的距离就是纵坐标的绝对值，且没有考虑各象限内点的坐标特征.
正解： .
陷阱2 忽视分类讨论而漏解
例2 在平面直角坐标系中，已知点M（3a+12，a+6）是坐标轴上的一点，则点M的坐标为 .
错解：由点M（3a+12，a+6）是坐标轴上的一点，得a+6=0，解得a=-6.
此时3a+12=-18+12=-6，故点M的坐标为（-6，0）.
故填（-6，0）.
剖析：在平面直角坐标系中，坐标轴包含x轴和y轴，本题中没有明确点M在哪个坐标轴上，故需要分点M在x轴或y轴上分类求解.
正解： .
参考答案：例1 C 例2 （-6，0）或（0，2）把握特征 快速解题
在平面直角坐标系中，坐标轴将坐标平面分为四个象限，在坐标轴上以及四个象限内，点的坐标各有特征.如果同学们能熟练掌握这些特征，就能迅速解决点的坐标问题.下面举例说明.
一、象限内点的坐标的符号特征
点P（x，y）在第一象限x＞0，y＞0；
点P（x，y）在第二象限x＜0，y＞0；
点P（x，y）在第三象限x＜0，y＜0；
点P（x，y）在第四象限x＞0，y＜0.
简记为第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
例1 （1）在平面直角坐标系中，点P（-3，-2）所在象限是第 _______ 象限．
（2）在平面直角坐标系中，点P（-1，m2+1）位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解析：要判断一个点所在象限，关键是确定其横坐标和纵坐标的符号.
（1）因为-3＜0，-2＜0，所以点P在第三象限.故填三.
（2）因为m2≥0，所以m2+1＞0．所以点P（-1，m2+1）位于第二象限．故选B．
二、坐标轴上点的坐标特征
点P（x，y）在x轴上x为任意实数，y=0；
点P（x，y）在y轴上x=0，y为任意实数.
例2 （1）在平面直角坐标系中，已知点P在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，3）
C．（3，0）或（-3，0） D．（0，3）或（0，-3）
（2）已知点P（m+2，m-1）在坐标轴上，则m的值为_______．
解析：（1）因为点P在x轴上，所以点P的纵坐标为0.又因为点P到y轴的距离为3，所以点P的横坐标为±3，所以点P的坐标为（3，0）或（-3，0）．故选C．
（2）分以下两种情况：
当点P在x轴上时，m-1=0，解得m=1；
当点P在y轴上时，m+2=0，解得m=-2.
所以m的值为1或-2．故填1或-2．
三、象限角平分线上点的坐标特征
点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上x=y；
点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上x=-y．
例3 已知点P（2a+5，10-3a）位于两坐标轴所成角的平分线上，则点P的坐标为_______.
解析：当点P在第一、三象限的角平分线上时，2a+5=10-3a，解得a=1.此时点P的坐标为（7，7）.
当点P在第二、四象限的角平分线上时，2a+5+10-3a=0，解得a=15.此时点P的坐标为（35，-35）．
所以点P的坐标为（7，7）或（35，-35）．故填（7，7）或（35，-35）
四、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
平行于x轴的直线上点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上点的横坐标相同.
例4 已知点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为4，那么点N的坐标是（ ）
A．（4，-2）或（-5，2） B．（4，-2）或（-4，-2）
C．（4，2）或（-4，2） D．（4，2）或（-1，2）
解析：因为点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，所以M，N两点的纵坐标相同.所以点N的纵坐标为2.
因为点N到y轴的距离为4，所以点N的横坐标为4或-4，所以点N的坐标为（4，2）或（-4，2）.
故选C．
