求角之和题 整体很给力
学行线的有关知识后，有时会遇到一些已知平行线条件，求角之和的问题.解答此类题，有一定的难度，除了添加与已知平行线平行的直线外，还要注意运用整体思想.现举例说明.
例1 如图1，已知a∥b，点M，N分别在直线a，b上，P为直线a，b之间的一点，那么∠1+∠2+∠3= .
图1
分析：过点P作PA∥a，得∠1+∠MPA=180°.又∠MPN=∠MPA+∠NPA，要求∠1+∠2+∠3的度数，只需再求∠NPA+∠3的度数.
解：过点P作PA∥a.
因为a∥b，所以PA∥b.
因为PA∥a，所以∠1+∠MPA=180°.
因为PA∥b，所以∠3+∠APN=180°.
所以∠1+∠2+∠3=（∠1+∠MPA）+（∠3+∠APN）=180°+180°=360°.
故填360°.
例2 如图2，AB∥CD，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4=____ °.
图2
分析：过点O作OP∥AB，则OP∥CD.易知∠3=∠AOP，∠4=∠COP.要求∠3+∠4的度数，只需求∠AOP+∠COP的度数，即只需求∠AOC的度数.
解：过点O作OP∥AB.
因为AB∥CD，所以OP∥CD.所以∠3=∠AOP，∠4=∠COP.
所以∠3+∠4=∠AOP+∠COP=∠AOC.
因为∠1+∠2=75°，所以∠BOD=180°-（∠1+∠2）=105°.
所以∠AOC=∠BOD=105°，所以∠3+∠4=105°.故填105.
例3 如图3，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．36° C．35° D．30°
图3
分析：过点A作AC// l1，过点B作BD∥l2，得∠1=∠3，∠2=∠4.要求∠1+∠2的度数，只需求∠3+∠4的度数，进而需求∠CAB+∠DBA的度数.
解：过点A作AC∥l1，过点B作BD∥l2.
因为l1∥l2，所以AC∥BD.
所以∠CAB+∠DBA=180°.
因为∠MAB=125°，∠ABN=85°，所以∠3+∠4=（MAB+∠ABN）-（∠CAB+∠DBA）=（125°+85°）-180°=30°.因为AC∥l1，BD∥l2，所以∠1=∠3，∠2=∠4.
所以∠1+∠2=∠3+∠4=30°.故选D.反例藏于何处
在数学中，要说明一个命题是假命题，极具有说服力而又简单明了的方法是举反例.反例实际上是与命题相矛盾的特例，因为反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等突出特点，所以举反例在揭露错误时具有特殊的威力.那么反例“藏”身于何处呢？
一、反例藏身于文字中
例1 判断命题“轴对称图形是等腰三角形”的真假，若是真命题，不必证明；若是假命题，请举出反例.
分析：这显然是一个假命题，等腰三角形是轴对称图形，但轴对称图形除了等腰三角形外，还有许许多多的其它图形.
解：假命题，举反例不唯一，如：线段是轴对称图形，但不是等腰三角形，所以此命题是假命题.
二、反例藏身于数据中
例2 命题“已知a，b，c是三条线段的长，若a+b＞c，则a，b，c必能组成三角形”，判断它的真假，若是真命题，不必证明；若是假命题，请举出反例.
分析：这显然是一个假命题，三条线段要组成三角形需同时满足a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，三者缺一不可，故在举反例时要切中要害，即所取三条线段只满足a+b＞c，而不满足a+c＞b或b+c＞a.
解：假命题.举反例不唯一，如取a=2，b=5，c=1，满足a+b＞c，但a+c＜b，即三条线段不能组成三角形，故此命题是假命题.
三、反例藏身于图形中
例3 已知命题：两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等.判断这个命题的真假，若是真命题，不必证明；若是假命题，请举出反例.
分析：本题可以通过画图的方法举出反例.
解：假命题.反例：在△ABC和△ABD中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，但△ABD和△ABC显然不全等，所以此命题是假命题.平行线中的折叠问题
在考查平行线的判定与性质时，常常与折叠联系在一起，寓静于动，动静结合.解决这类问题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，以及折叠的性质.下面举例予以说明.
例1 在图1所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图①，展开后测得∠1=∠2 B．如图②，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图③，测得∠1=∠2 D．如图④，展开后测得∠1+∠2=180°
② ③ ④
图1
解析：根据平行线的判定定理进行分析解答.
A.当∠1=∠2时，a∥b，此选项不符合题意；B.由∠1=∠2且∠3=∠4，可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°.所以∠1+∠3=180°.所以a∥b，此选项不符合题意；C.因为∠1与∠2既不是两条边线a，b被第三条线所截得的内错角也不是同位角，所以不能判定两直线a，b互相平行，此选项符合题意；D.由∠1+∠2=180°，可知a∥b，此选项不符合题意.故选C．
点评：本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
例2 如图2，将长方形纸片沿EB，CF折叠成图2-①，使AB，CD在同一直线上，再沿BF折叠成图2-②，使点D落在点D'处，BD'交CF于点P.若∠CEB=37°，则∠CPB的度数为（ ）
A．110° B．111° C．112° D．113°
① ②
图2
解析：由题意，得EG∥HF.所以∠BCG=∠CBH，∠HBE=∠CEB=37°，∠FCG=∠BFC.
由折叠的性质，得∠HBE=∠CBE=∠CBH，∠FCG=∠BCF=∠BCG.
所以∠CBE=∠BCF=∠BFC=∠CEB=37°.所以∠CBH=74°.
所以∠DBF=∠CBH=74°.
在图2-②中，由折叠的性质，得∠FBD'=∠DBF=74°.
所以∠BPF=180°-∠FBD'-∠BFP=69°．所以∠CPB=180°-∠BPF=111°．
故选B．
点评：本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．平行线生活秀
平行线的图形在实际生活中随处可见，与平行线有关的问题也是丰富多彩，下面举例说明平行线在实际生活中的应用.
一、探照灯射出平行线
例1 探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，图1所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为（ ）
B. 180°-α-β C. 90°+（β-α） D.α+β
图1 图2
分析：过点O向左作射线OE，使OE∥AB，再利用平行线的性质求解．
解：如图2，过点O向左作射线OE，使OE∥AB，则OE∥CD．
所以∠EOB=∠ABO=α，∠EOC=∠DCO=β.所以∠BOC=∠BOE+∠EOC=α+β．
故选D.
二、零件加工中弯出平行线
例2 工人师傅把一个图3所示的零件进行加工，把材料弯成一个45°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，则加工后弯的角度应是 .
图3
分析：要想从A点进行第二次加工拐弯，且保证弯过来的部分与CB平行，则要考虑两种情况：一是被弯曲的部分与CB方向一致，如图4所示，此时弯的角度为45°（两直线平行，内错角相等），二是被弯曲的部分与CB反向平行，如图5所示，此时弯的角度为135°（两直线平行，同旁内角互补）.
解：填45°或135°.
图4 图5
PAGE平行线与生活同行
数学来源于生活，又应用于生活，下面让我们一起走进生活，去感受一下平行的魅力吧！
一、驾驶
例1 据统计，截至2024年12月，全国机动车保有量达4.53亿辆，学习汽车驾驶，获取驾照成为一种时尚，王敏在训练场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
解析：对各选项画出示意图，观察图形，根据“同位角相等，两直线平行”进行判断．
各选项拐弯后的图示依次为：，，，，
观察可知，两次拐弯后，行驶方向与原来方向相同的是选项A.
故选A．
二、抖空竹
例2 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图1所示，已知AB∥CD，∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠AEC的度数是（ ）
A．28° B．34° C．46° D．56°
图1
解析：如图1，过E作EF//AB.
因为AB∥CD，所以EF//CD.
因为∠BAE=87°，∠AEF=180°-∠BAE=180°-87°=93°，∠CEF=180°-∠DCE=180°-121°=59°，所以∠AEC=∠AEF-∠CEF=93°-59°=34°.故选B.
三、道路施工
例3 如图2，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=130°，第二次拐角∠ABC=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（ ）
A．170° B．160° C．150° D．140°
图2
解析：把AE，CF两条公路抽象为几何中的两条直线，如图2，过点B作BD∥AE.
因为AE∥CF，所以AE∥BD∥CF.所以∠ABD=∠A=130°，∠DBC+∠C=180°.
所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=150°-130°=20°，所以∠C=180°-∠DBC=180°-20°=160°．
故选B.你会推理吗
肖像在哪个盒子
数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话.三句话中，只有一句是真话.谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能做我的丈夫.”盒子上的话见图，求婚者猜中了，问：他是怎样猜中的？
解析：首先从问题中的一些关联条件出发，借助图形加以分析，找出解题的突破口与关键，进而作出推理、判断.
当求婚者看到金盒上面的铭牌“肖像在该盒里”（即肖像在金盒里）与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是意思截然相反的两句话时，依据形式逻辑中的规律：一句话要么是真，要么是假，两者必居其一，因此可以得出结论，这两句话必是一真一假.又因为三句话中只有一句是真话，所以银盒子铭牌所说的那句话“肖像不在该盒子里”就肯定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里.
究竟谁在撒谎
话说在远方的一个岛上，住着两个民族，一个是诚实族，一个是说谎族.顾名思义，说谎族在说话或回答问题时总是说谎话，诚实族在说话或回答问题时，则全是说实话.某记者在此岛上遇到了四个岛民，记者照例对他们进行了访问：“你们都是什么族的？诚实族的还是说谎族的？”这四人的回答如下：
第一个人说：“我们四人全都是说谎族的.”
第二个人说：“我们之中只有一人是说谎族的.”
第三个人说：“我们四人之中有两人是说谎族的.”
第四个人说：“我是诚实族的.”
试问第四个人是否真的是诚实族的？
解析：我们可以从已知条件出发，通过分析找出解题的突破口，依据一个人所讲的话非真即假，并辅之以假设推理（假设是正确的，推理出与假设或已知矛盾，则假设不成立），对各种情形逐一推理、判断，使问题获解.
由第一个人的回答可得出如下判断：
①四个人中一定有诚实族的人；②第一人是说谎族的.（因为如果四个人全是说谎族的，那么谁也不会说“我们四个人全都是说谎族的”）
由第二、第三人的回答可得出如下判断：
③第二人是说谎族的.因为如果他说的是真话，则第二、第三和第四人都是诚实族的，但第二和第三人的回答相矛盾，故第二人必是说谎族的.
对第三人，若是说谎族的，则由①、②和③知，第四人必是诚实族的；若是诚实族的，即他说真话，则第三、第四两人必是诚实族的.
因此第四人是诚实族的.
