2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章 5.3 诱导公式 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.3 诱导公式
一、单选题
1.（2025天津河北区期末）
A.
B.
C.
D.
2.（2024福建长汀一中月考）的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025山东日照期中）已知，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2025吉林松原期末）已知，则
A.
B.
C.
D.
5.（2025福建厦门六中月考）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2024河南实验中学期中）已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.（2024黑龙江牡丹江第二高级中学月考，多选）设为任意角，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025江苏南京师范大学附属中学月考）已知为任意角，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
9.（2023广东佛山东逸湾实验学校期中）定义：角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”。已知，下列角中，可能与角广义互余的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.（2025天津第四十一中学月考）计算：________.
11.（2025江苏徐州铜山月考）已知，且，则________.
12.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点。若角的终边按顺时针方向旋转后与角的终边重合，则 ， .
四、解答题
13.（2025云南昆明第一中学月考）已知为第二象限角，定义。
（1）化简；
（2）若，求的值。
14.已知，，是的三个内角，求证：
（1）；
（2）。
15.（2025山东聊城期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为f（）。
（1） 若 ，求的值；
（2）若 ，且 ，求的值。
一、单选题
1.答案：B
解析：利用诱导公式化简角度，先将化为“”（）：
由，得。又，，故：
故选B。
2.答案：A
解析：化简，先除以找余数：余，即：
由（），得。又，，故：
故选A。
3.答案：B
解析：直接利用诱导公式，已知，则：
故选B。
4.答案：B
解析：先利用诱导公式关联角的关系，已知，令，则，且。
待求式代入：
由，再用二倍角公式：
故选B。
5.答案：C
解析：分别化简、、：
（余弦为偶函数），，故；
（正弦为奇函数），，故，则；
（正切为奇函数），，故，则；
比较大小：，故选C。
6.答案：B
解析：先求终边上点的坐标， ， ，因此，坐标点为。
这表明角的终边在第四象限，且与单位圆的交点为。
在范围内，满足且的角为。
（因为位于第四象限，且，）
综上，答案是B。
二、多选题
7.答案：ABC
解析：逐一验证诱导公式：
A：（诱导公式二），正确；
B：（诱导公式二），正确；
C：（诱导公式五），正确；
D：（正切周期为，奇函数），故D错误；
故选ABC。
8.答案：AC
解析：逐一分析：
A：已知，化简分子分母：
分子：；
分母：；
同除以得 ，A正确；
B：，故，当时为负，B错误；
C：（诱导公式五），正确；
D：（因，，故乘积为），D错误；
故选AC。
9.答案：ACD
解析：由“广义互余”定义，（），故：
当为偶数时，；
当为奇数时，；
已知，则，故或。
A：，符合，正确；
B：，则（分母应为，），不符合，错误；
C：，符合，正确；
D：，符合，正确；
故选ACD。
三、填空题
10.答案：-1
解析：分别化简各项：
（正切周期为）；
（余弦周期为，偶函数）；
代入原式：
11.答案：
解析：利用角的互余关系，，故。
由，得。
已知，且，则，故在第三、四象限，。
由，得：
故。
12.答案： ，
解析：因为角 的终边与单位圆交于点 ，所以 ，。由题意得
所以
四、解答题
13.解：
（1）利用诱导公式逐一化简分子分母：
分子：；
（诱导公式六）；
（诱导公式二）；
分子乘积：。
分母：（正切周期，奇函数）；
（正弦奇函数，）；
分母乘积：。
化简：
（2）化简（诱导公式六，余弦偶函数），已知其值为，故：
因为第二象限角，，由：
由（1）知，故：
14.证明：
（1）在中，，故。
代入左边：
等式成立。
（2）由，得。
化简（诱导公式二）。
代入左边：
等式成立。
15.解：
（1）因为锐角 的终边与单位圆交于点 ，所以 ，所以 。
因为 ，即 ，所以 。
将 ， 代入可得原式 。
（2）由三角函数定义得 ，
因为 ，且 ， 为锐角，
所以 ，所以 。
又 ，所以 ，结合 可知 ，
所以 。