4．2.2　对数的运算性质 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

4．2.2　对数的运算性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024南京励志高级中学月考)计算lg 2＋lg 50－2log23的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 4 D. 5
2 (2024湖北方子高级中学月考)已知p，q都是正数，且log6p－log6q＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝6q B. p＝36q
C. q＝6p D. q＝36p
3 已知3a＝2，b＝log312－log38，则a＋b的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
4 (2024宿迁文昌高级中学月考)若lg a，lg b是方程5x2－10x＋3＝0的两个实根，则ab的值为(　　)
A. 2 B. C. 100 D.
5 (2025分宜中学开学考试)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 4y＝lg 2，则＋的最小值为(　　)
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
6 (2024南京外国语学校期中)我们知道，任何一个正实数P可以表示成P＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lg P＝n＋lg a(1≤a<10)，当n>0时，P是n＋1位数，则是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A. 14位数 B. 15位数 C. 55位数 D. 56位数
二、 多项选择题
7 (2024扬州五校月考)下列等式中，不成立的是(　　)
A. log 2(8－4)＝log 28－log 24
B. ＝log 2
C. log 28＝3log 22
D. log 2(8＋4)＝log 28＋log 24
8 (2024冀州中学期中)若lg a，lg b是方程2x2＋6x－1＝0的两个根，则下列结论中正确的是(　　)
A. lg a＋lg b＝－3
B. lg a·lg b＝－3
C. lg (ab)＝－
D. ＝11
三、 填空题
9 (2024重庆巴蜀中学期中)计算：πlog2(log64＋log69)＝________．
10 (2024灌云一中期末)设a＝lg 6，b＝lg 15，则lg 120＝________．(用a，b来表示)
11 (2024皖江名校期中)若正数a，b满足ab＝8，则log 2(4a)·log 2b的最大值是________．
四、 解答题
12 计算：
(1) ＋log；
(2) lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06.
13 (2024天津梧桐中学月考)对于问题：已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，求的值，有同学给出如下解答：由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，得lg (x－2y)2＝lg xy，所以(x－2y)2＝xy>0，即x2－5xy＋4y2＝0，解得x－y＝0或x－4y＝0，所以＝1或＝4. 因为＝1或＝4均满足xy>0，所以的值为1或4.该同学的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程及结果．
4．2.2　对数的运算性质(2)
一、 单项选择题
1 计算(log32＋log23)2－－的值为(　　)
A. log26 B. log36
C. 2 D. 1
2 已知a＝log26，3b＝36，则＋的值为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 4
3 (2025兴宁一中期初)计算(2log43＋log83)(log32＋log92)的结果为(　　)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4 (2024宿迁月考)设log 83＝p，log 35＝q，则lg 5等于(　　)
A. p2＋q2 B. (3p＋2q)
C. D. pq
5 (2024南平期末)已知log aM＝6，log bM＝10，log cM＝15(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；M>0)，则log abcM的值为(　　)
A. B. 3
C. D. 30
6 (2024天津河西区期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100 mL血液中的酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时10%的速度减少，那么他能驾驶车辆至少要经过(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A. 10 h B. 14 h C. 15 h D. 16 h
二、 多项选择题
7 (2024宿迁文昌中学月考)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝lg 20
C. ＋＝2 D. ＋＝
8 (2024湖北常青联合体期末)已知2log 3＋log 3b＝0，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. (2a)2＝2b B. a·eln a＝b
C. b＝2a D. log 2a＝log 8ab
三、 填空题
9 若log 37×log 29×log 49m＝log 4，则m＝________.
10 (2025杨浦高级中学期初)已知a＝log23，b＝log52，则log 302＝________．(用a和b表示)
11 (2024江门培英中学月考)已知a，b是方程2(ln x)2－3ln x＋1＝0的两个实数根，则log ab＋log ba＝________．
四、 解答题
12 (2024南昌十中月考)
(1) 计算：2log23＋log20.25＋(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋log29·log32；
(2) 已知log157＝a，15b＝3，用a，b表示log3563.
13 (2024上海复旦大学附属中学期中)对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命．
(1) 设log ac，log bc是关于x的方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，求log abc的值；
(2) 已知x2＋y2＝1，且x，y>0，若log a(1＋x)＝m，log a＝n，求log ay的值．
4．2.2　对数的运算性质(1)
1. B　lg 2＋lg 50－2log23＝lg (2×50)－3＝lg 102－3＝2－3＝－1.
2. B　因为log6p－log6q＝log6＝2，所以＝62，即p＝36q.
3. C　由3a＝2，得a＝log32.又b＝log312－log38，故a＋b＝log32＋log312－log38＝log3＝log33＝1.
4. C　由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝2，所以lg ab＝lg a＋lg b＝2，所以ab＝102＝100.
5. D　因为lg 2x＋lg 4y＝lg 2，即lg (2x×4y)＝lg 2，所以lg 2x+2y＝lg 2，所以x＋2y＝1.又x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为4.
6. B　因为lg ＝lg 211＋lg 340－lg 108＝11lg 2＋40lg 3－8≈3.311＋19.08－8＝14.391，所以是15位数．
7. ABD　对于A，因为log2(8－4)＝log24＝log222＝2，log28－log24＝log2＝log22＝1，所以log2(8－4)≠log28－log24，故A错误；对于B，因为＝＝，log2＝log22＝1，所以≠log2，故B错误；对于C，log28＝log223＝3log22，故C正确；对于D，因为log2(8＋4)＝log212＝log23＋log24＝log23＋2，log28＋log24＝log223＋log222＝3＋2＝5，所以log2(8＋4)≠log28＋log24，故D错误．故选ABD.
8. AD　由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝－3，lg a·lg b＝－，则lg (ab)＝lg a＋lg b＝－3；＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝9－4×＝11.故选AD.
9. π　πlog2(log64＋log69)＝πlog2(log662)＝πlog22＝π.
10. 　因为a＝lg 6，b＝lg 15，所以a＝lg 2＋lg 3，b＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg ＝lg 3＋1－lg 2，两式相减得a－b＝2lg 2－1，解得lg 2＝，故lg 120＝lg (15×8)＝lg 15＋3lg 2＝b＋3×＝.
11. 　因为对任意实数x，y都有xy≤2，当且仅当x＝y时，等号成立，所以log2(4a)·log2b≤2＝2＝，当且仅当log2(4a)＝log2b，即a＝，b＝4时，等号成立，故log2(4a)·log2b的最大值是.
12. (1) 原式＝＋log()-1＝－1＝0.
(2) 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3×lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
13. 不正确，正确的解答过程如下：
由题意，得即x>2y>0.
由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y得lg (x－2y)2＝lg xy，
即(x－2y)2＝xy>0，所以x2－5xy＋4y2＝0，
解得x－y＝0，或x－4y＝0，
所以＝1(舍去)或＝4，
故的值为4.
4．2.2　对数的运算性质(2)
1. C　原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
2. B　由换底公式，得a＝，则＝＝log62.因为3b＝36，所以log63b＝log636，即blog63＝2，则＝log63，所以＋＝log62＋log63＝1.
3. B　原式＝(2×log23＋log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝2.
4. C　因为log83＝p，所以log38＝3log32＝，即log32＝，所以lg 5＝＝＝＝.
5. B　由logaM＝6，得logMa＝＝，同理可得logMb＝，logMc＝，所以logMabc＝logMa＋logMb＋logMc＝＋＋＝，所以logabcM＝3.
6. D　由题意，得经过th后驾驶员血液中的酒精含量为100(1－10%)t.令100(1－10%)t<20，得(1－0.1)t<2×10-1，所以t lg 0.9＝≈＝≈15.196，所以该驾驶员至少要经过16 h才能驾驶．
7. AB　因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＝＝lg 2，＝＝lg 5.对于A，＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；对于B，＋＝2lg 2＋lg 5＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；对于C，D，＋＝lg 2＋2lg 5＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．故选AB.
8. BD　由2log3＋log3b＝0，得a>0，b>0，且log3a-2＋log3b＝0，即log3a-2b＝0，所以a-2b＝1，b＝a2，而b＝2a不总是成立，故C错误；因为(2a)2＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，结合以上分析可知A错误；由a·eln a＝b，得a·a＝a2＝b，故B正确；log8ab＝log8a3＝log23a3＝log2a，故D正确．故选BD.
9. 　由题意，得××＝××＝＝log2m.又log4＝log222-1＝－，所以log2m＝－，所以m＝2－＝＝.
10. 　因为a＝log23，b＝log52，则＝log25，所以log302＝＝＝＝.
11. 　方法一：方程2(ln x)2－3ln x＋1＝0可化为(2ln x－1)(ln x－1)＝0，解得ln x＝1，ln x＝.由题意，令ln a＝1，ln b＝，则logab＋logba＝＋＝＋2＝.
方法二：由根与系数的关系，得ln a＋ln b＝，ln a·ln b＝，故logab＋logba＝＋＝＝＝－2＝.
12. (1) 原式＝3＋log2＋(lg 5)2＋lg 2·lg (5×10)＋log232·log32
＝3－2＋(lg 5)2＋lg 2·(lg 5＋1)＋2
＝3＋(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝3＋lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝3＋lg 5＋lg 2
＝3＋1＝4.
(2) 因为15b＝3，所以b＝log153，
所以log3563＝＝＝
＝＝.
13. (1) 因为logac，logbc是关于x的方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，
所以
由logac·logbc＝1，得＝1，
则logca·logcb＝1.
又logac＋logbc＝3，则＋＝3，
所以＋＝3，即logca＋logcb＝3，
则logabc＝＝＝.
(2) 由loga(1＋x)＝m，得am＝1＋x；
由loga＝n，得an＝，则a－n＝1－x，
所以am·a－n＝(1＋x)(1－x)＝1－x2＝y2，即y2＝am－n，
故logay＝logay2＝logaam－n＝.