5.3 函数的单调性 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

5．3　函数的单调性
5.3.1　函数的单调性(1)
一、 单项选择题
1 (2025黑龙江学业水平考试)如图，函数y＝f(x)(x∈[－4，4])的单调减区间为(　　)
A. [－4，4] B. [－4，－3]和[1，4]
C. [－3，1] D. [－3，4]
2 若函数f(x)＝x2－mx＋10在区间(－2，－1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A. [2，＋∞) B. [－2，＋∞)
C. (－∞，2] D. (－∞，－2]
3 已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)A. (2，＋∞) B. (2，3) C. (1，2) D. (1，3)
4 (2025首都师大附属中学期末)设函数y＝f(x)的定义域为D，开区间I D，则“ x1∈I， x2∈I且x1A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2024长乐一中月考)已知函数f(x)＝在区间(m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－∞，－2]∪[1，＋∞)
B. [－2，1]
C. (－∞，－1]∪[2，＋∞)
D. [－1，2]
6 (2024盐城五校联盟期末)已知f(x)＝x2－(2a－1)x＋1，对任意x1，x2∈[1，＋∞)，都有≥1，则实数a的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞) B. (－∞，1]
C. [2，＋∞) D. (－∞，2]
二、 多项选择题
7 已知函数y＝|x|(1－x)在区间I上单调递减，则区间I可能是 (　　)
A. (－∞，0) B.
C. [0，＋∞) D.
8 (2025辽宁协作体期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)－f(x－y)＝2f(y)，且当x>0时，f(x)>0，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(0)＝0 B. f(32)＝32f(1)
C. f(x)＝x D. f(x)是增函数
三、 填空题
9 (2025宝山期末)函数y＝的单调减区间为________________．
10 (2024成都十二中月考)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
11 (2024盐城东台期中)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024宁河期末)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，且f(2)＝1.
(1) 求实数m的值；
(2) 根据函数单调性的定义证明：f(x)在区间上单调递增；
(3) 若x∈[－1，3]，求f(x)的值域．
13 (2024广州十三中期中)已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1) 求f(1)和f(9)的值；
(2) 解关于x的不等式f(3x＋6)＋f(x)<2.
5．3.2　函数的单调性(2)
一、 单项选择题
1 函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　)
A. －2，f(2) B. 2，f(2)
C. －2，f(5) D. 2，f(5)
2 已知函数y＝ax＋3在区间[－2，3]上有最小值0，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. －3
C. D. －1或
3 (2025南宁期末)已知函数f(x)(x∈I)，“ x∈I，都有f(x)≤2 024”是“f(x)的最大值为2 024”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2025广州期末)若 x∈[1，2]，x2－2ax－3a<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024连云港东海期中)已知函数f(x)＝2x＋，x∈，则函数f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. [2，3] D. [，3]
6 (2024杭州期中)已知函数f(x)＝x2－x＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞) B. [2，＋∞)
C. [3，＋∞) D. (－∞，－1]∪[2，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024胡集高级中学月考)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)既没有最大值，也没有最小值
B. 若x≥2，则f(x)的值域为(－∞，11]
C. 若x≤－6，则f(x)的值域为[3，4)
D. 若x≥0，且x≠1，则f(x)的值域为(－∞，－3]∪(4，＋∞)
8 (2024东莞五校联考)设矩形ABCD(AB>BC)的周长为定值2a，如图，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则下列结论中正确的是(　　)
A. 矩形ABCD的面积有最大值
B. △APD的周长为定值
C. △APD的面积有最大值
D. 线段PC的长有最小值
三、 填空题
9 (2024舒城晓天中学月考)函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[0，3]上的最大值与最小值的和为________．
10 (2025上海松江期末)函数 y＝，x∈[2，6] 的最小值是________．
11 (2025菏泽期末)已知集合{x1，x2，x3，x4，x5，x6}＝{1，2，3，4，5，6}，将xi与xj(其中i∈{1，2，3}, j∈{4，5，6})的乘积xixj放入如图的3×3方格中，则方格中全部数之和的最大值为________．
x1x4 x1x5 x1x6
x2x4 x2x5 x2x6
x3x4 x3x5 x3x6
四、 解答题
12 (2024重庆八中期末)已知函数f(x)＝x2－2x，若存在x∈[2，4]，使得不等式f(x)≤a2＋3a成立，求实数a的取值范围．
13 (2024北京景山学校期中)已知函数f(x)＝x－.
(1) 判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义进行证明；
(2) 设g(x)＝a－3x，若 x1∈[1，4]， x2∈[1，4]，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
5．3　函数的单调性
5.3.1　函数的单调性(1)
1. B　由函数图象可知函数y＝f(x)(x∈[－4，4])在区间[－4，－3]和[1，4]上单调递减，在区间[－3，1]上单调递增．
2. B　函数f(x)＝x2－mx＋10的图象的对称轴为直线x＝，开口向上．因为f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，所以≥－1，解得m≥－2，即实数m的取值范围是[－2，＋∞).
3. A　因为y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)2，即实数a的取值范围是(2，＋∞).
4. B　若函数y＝f(x)在区间I上单调递增，则 x1∈I， x2∈I且x15. A　作出函数f(x)＝的图象，要使函数f(x)在区间(m，m＋1)上单调递增，则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞).
6. B　由≥1，得－1≥0，则≥0，设函数g(x)＝f(x)－x，则对任意x1，x2∈[1，＋∞)，都有≥0，所以函数g(x)＝x2－2ax＋1在区间[1，＋∞)上单调递增，所以≤1，解得a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1].
7. AD　y＝|x|(1－x)＝画出函数图象如图．由图可知函数y＝|x|(1－x)的减区间是(－∞，0)，.故选AD.
8. ABD　对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y，得f(2x)＝2f(x)，所以f(22x)＝2f(2x)＝22f(x)，f(23x)＝2f(22x)＝23f(x)，据此类推可得f(32x)＝32f(x)，所以f(32)＝32f(1)，故B正确；对于C，令f(x)＝2x，则f(x＋y)－f(x－y)＝2(x＋y)－2(x－y)＝4y＝2f(y)，且定义域为R，当x>0时，f(x)>0，满足题意，故C错误；对于D，令x1＝x＋y，x2＝x－y，y＝，则f(x1)－f(x2)＝2f.当x1>x2时，>0.因为当x>0时，f(x)>0，所以f>0，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，所以f(x)是增函数，故D正确．故选ABD.
9. (－∞，0)，(0，＋∞)　函数y＝是反比例函数，其单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞).
10. (－∞，－4]　函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调增区间是(－∞，－(a＋1)]，由题意，得(－∞，3] (－∞，－(a＋1)]，则－(a＋1)≥3，解得a≤－4，所以实数a的取值范围是(－∞，－4].
11. 　对任意的实数x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0，即<0恒成立，所以函数f(x)是减函数，所以解得a∈.
12. (1) 由f(2)＝4＋2m－1＝1，解得m＝－1.
(2) 由(1)可知，f(x)＝x2－x－1，
任取因为x1－x2<0，x1＋x2－1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间上单调递增．
(3) 由二次函数的性质知，f(x)＝x2－x－1在区间[－1，]上单调递减，在区间[，3]上单调递增，
又f(－1)＝1，f＝－，f(3)＝5，
所以当x∈[－1，3]时，f(x)的值域为[－，5].
13. (1) 由题意，可知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0；
令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，
故f(1)＝0，f(9)＝2.
(2) 因为f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
且f(9)＝2，f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以f(3x＋6)＋f(x)<2，即f(3x2＋6x)所以解得0即所求该不等式的解集为(0，1).
5．3.2　函数的单调性(2)
1. C　由函数最值的意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5).
2. D　当a＝0时，函数y＝3，显然不符合题意；当a<0时，函数y＝ax＋3为减函数，所以3a＋3＝0，解得a＝－1；当a>0时，函数y＝ax＋3为增函数，所以(－2)×a＋3＝0，解得a＝.综上，实数a的值为－1或 .
3. B　“ x∈I，都有f(x)≤2 024”不一定有“f(x)的最大值为2 024”，有可能不存在x0∈I，使得f(x0)＝2 024，所以充分性不成立；若“f(x)的最大值为2 024”，则“ x∈I，都有f(x)≤2 024”，所以必要性成立．综上，“ x∈I，都有f(x)≤2 024”是“f(x)的最大值为2 024”的必要且不充分条件．
4. B　令f(x)＝x2－2ax－3a，x∈[1，2]，由题意，得 x∈[1，2]，f(x)<0恒成立，则f(x)max<0.当a≤时，则解得时，则解得a>.综上，实数a的取值范围是.
5. B　设x1，x2∈，且x10，所以f(x)＝2x＋在区间上单调递减；若x1，x2∈，则2－>0，此时f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)＝2x＋在区间上单调递增，所以f(x)min＝f＝2.因为f＝3，f(2)＝，所以f(x)max＝，所以函数f(x)＝2x＋，x∈的值域为.
6. B　因为f(x)的定义域为[－1，a]，所以a>－1.因为f(x)＝x2－x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝，当－10时，a－＝>0，即a>，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．又f(x)的最大值为f(a)，所以f(a)≥f(－1)，即a2－·a＋1≥1＋＋1，整理得a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.又a>0，所以a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).
7. ACD　因为f(x)＝＝＝4＋，所以函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).由反比例函数的单调性，得f(x)在区间(1，＋∞)，(－∞，1)上都单调递减．对于A，由单调性和反比例函数的图象可知f(x)既没有最大值，也没有最小值，故A正确；对于B，当x≥2时，f(x)>0，故B错误；对于C，当x≤－6时，f(x)单调递减．又f(－6)＝3，当x→－∞时，→0，且小于0，所以f(x)的值域为[3，4)，故C正确；对于D，当0≤x<1时，f(x)单调递减．又f(0)＝－3，当x→1，且x<1时，f(x)→－∞，当x>1时，f(x)单调递减．又当x→1，且x>1时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→4，所以f(x)的值域为(－∞，－3]∪(4，＋∞)，故D正确．故选ACD.
8. BCD　对于A，设AB＝x，则BC＝a－x.因为AB>BC，所以x∈.矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝x(a－x)<2＝，所以矩形ABCD的面积无最大值，故A错误；对于B，由图形折叠可知△APD与△CPB1全等，所以△APD的周长为AP＋PD＋DA＝AP＋PB1＋DA＝AB＋DA＝a，故B正确；对于C，设DP＝m，则AP＝PC＝x－m.又DP2＋DA2＝AP2，即m2＋(a－x)2＝(x－m)2，得m＝a－，则S△ADP＝(a－)(a－x)＝－≤，当x＝时，取得最大值，故C正确；对于D，由C知PC＝x＋－a，由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋－a在区间(0，)上单调递减，在区间上单调递增，所以若x∈，则当x＝时函数有最小值，即线段PC的长有最小值，故D正确．故选BCD.
9. 4　因为f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1，所以f(x)在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，3]上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为4；在x＝3处取得最小值，最小值为0，所以函数f(x)在区间[0，3]上的最大值与最小值的和为4＋0＝4.
10. 　因为函数 y＝，x∈[2，6] 是减函数，所以当x＝6时，函数的最小值是y＝＝.
11. 110　由表格数据可得所有数之和S＝x1x4＋x1x5＋x1x6＋x2x4＋x2x5＋x2x6＋x3x4＋x3x5＋x3x6，所以S＝x1(x4＋x5＋x6)＋x2(x4＋x5＋x6)＋x3(x4＋x5＋x6)，所以S＝(x1＋x2＋x3)(x4＋x5＋x6).又{x1，x2，x3，x4，x5，x6}＝{1，2，3，4，5，6}，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.设t＝x1＋x2＋x3，则6≤t≤15，t∈N*，S＝t(21－t)＝－＋，当t＝10或t＝11时，S＝t(21－t)取最大值，最大值为110.
12. 因为函数f(x)＝x2－2x图象的对称轴为直线x＝1，
所以f(x)在区间[2，4]上单调递增，
所以f(x)min＝f(2)＝0.
因为存在x∈[2，4]，使得不等式f(x)≤a2＋3a成立，
所以a2＋3a≥0，解得a≥0或a≤－3，
即实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞).
13. (1) f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，理由如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－－＝x1－x2＋＝，
因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，x1x2＋4>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2) 由(1)，得 x1∈[1，4]，－3≤f(x1)≤3，即当x∈[1，4]时，f(x)的值域A＝[－3，3].
因为g(x)＝a－3x在区间[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，g(x)的值域B＝[a－12，a－3].
因为 x1∈[1，4]， x2∈[1，4]，使得f(x1)＝g(x2)，
所以A B，所以解得6≤a≤9，
故实数a的取值范围为[6，9].