5.4 函数的奇偶性 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

5．4　函数的奇偶性
5.4.1　函数的奇偶性(1)
一、 单项选择题
1 (2024大连期末)下列函数中，是偶函数的是(　　)
A. y＝ B. y＝x＋1
C. y＝x3 D. y＝x2
2 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(－)＝2，则f()＋f(0)等于(　　)
A. B. － C. 2 D. －2
3 (2024庆安高级中学期中)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3，且f(－7)＝m，f(7)＝n，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. m＋n＝0 B. m－n＝0
C. m＋n＝6 D. m－n＝6
4 若函数f(x)＝x2＋ax＋1是定义在区间(－b，2b－2)上的偶函数，则f等于(　　)
A. B. C. D. 2
5 (2025上海控江中学期末)已知函数y＝f(x)的定义域为R，则“函数y＝f(x)的图象关于原点对称”是“对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x2)＝－f(x1)成立”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2024西安期末)已知y＝f(x－2)＋1是定义在R上的奇函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(0)＝0 B. f(2)＝0
C. f(0)＝－1 D. f(－2)＝－1
二、 多项选择题
7 (2024广东八校联盟期中)已知函数f(x)＝，x≠0，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数
C. f＝－f(x) D. f＝
8 (2024唐山十县一中联盟期中)若f(x)是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是(　　)
A. B. f(|x|)
C. D. f(x)f(－x)
三、 填空题
9 若奇函数f(x)＝x3＋ax2＋x，则f(1)＝________．
10 设f(x)＝ax2＋bx＋2是定义在区间[1＋a，3]上的偶函数，则a＋2b的值为________．
11 (2024成都期末)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋1)是偶函数．若f(1)＝2，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值是________．
四、 解答题
12 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4＋2x2；
(2) f(x)＝x3＋3x；
(3) f(x)＝x＋.
13 (2024无锡辅仁高级中学期中)有同学发现：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. 运用该结论解决以下问题：
(1) 直接写出函数f(x)＝图象的对称中心；
(2) 求证：函数g(x)＝x3＋3x2图象的对称中心为(－1，2).
5．4.2　函数的奇偶性(2)
一、 单项选择题
1 (2024淮安涟水一中月考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值为(　　)
A. 2 B. 6 C. －6 D. 0
2 已知奇函数f(x)在区间[2，8]上单调递减，最小值为－5，则函数f(x)在区间[－8，－2]上(　　)
A. 单调递增，最大值是5
B. 单调递增，最小值是5
C. 单调递减，最大值是5
D. 单调递减，最小值是5
3 下列函数中，既是奇函数又在R上是减函数的为(　　)
A. y＝x B. y＝－x2
C. y＝ D. y＝－x|x|
4 (2025吉林农安实验中学期末)已知图 1对应的函数为 y＝f(x)，则图 2对应的函数是(　　)
图1 图2
A. y＝f(－|x|) B. y＝f(－x)
C. y＝f(|x|) D. y＝－f(－x)
5 (2025重庆七校期末联考)已知函数f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递增，y＝f(x－2)的图象关于y轴对称．若关于m的不等式f(m－1)－f(2m＋1)<0成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2)∪(0，＋∞)
B. (－2，0)
C.
D. (－∞，－2)∪
6 (2025南昌期末)在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球. 下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心. 右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(　　)
　
A. y＝|x| B. y＝x
C. y＝ D. y＝
二、 多项选择题
7 (2024南京一中期中)已知函数f(x)为定义在区间[a－6，a＋2]上的偶函数，当x∈[a－6，0]时，f(x)＝x＋2，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝2
B. f＝
C. f(x)在区间[0，a＋2]上单调递减
D. f(x)的值域为
8 (2024三明期末)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于y轴对称
B. f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减
C. f(x)的值域为
D. 若f(t)三、 填空题
9 (2024上海奉贤中学月考)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则定义域为R的该函数的解析式为____________．
10 已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x＋3)＝0的所有实根之和是________．
11 (2025海淀期末)已知f(x)是定义在区间[－4，4]上的奇函数，当x∈(0，4]时，f(x)的图象如图所示，则不等式xf(x)≤0的解集为________．
四、 解答题
12 (2024新乡期末)已知函数f(x)＝＋ax为偶函数．
(1) 求实数a的值；
(2) 判断f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
13 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－2.
(1) 求f(0)的值并判断f(x)的奇偶性；
(2) 判断函数单调性，并求f(x)在区间[－3，3]上的最大值；
(3) 若f(x)5．4　函数的奇偶性
5.4.1　函数的奇偶性(1)
1. D　对于A，y＝的定义域为[0，＋∞)，它不关于原点对称，故A不符合题意；对于B，对于函数y＝f(x)＝x＋1，f(1)＝2≠0＝f(－1)，故B不符合题意；对于C，对于函数y＝f(x)＝x3，f(1)＝1≠－1＝f(－1)，故C不符合题意；对于D，对于函数y＝f(x)＝x2，其定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故D符合题意．
2. D　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f()＝－f(－)＝－2，所以 f(0)＋f()＝－2.
3. C　由题意，得f(x)＋f(－x)＝ax3－bx＋3＋a(－x)3＋bx＋3＝6.因为f(－7)＝m，f(7)＝n，所以m＋n＝6.
4. D　因为函数f(x)＝x2＋ax＋1是定义在区间(－b，2b－2)上的偶函数，所以－b＋2b－2＝0且f(－x)＝x2－ax＋1＝x2＋ax＋1＝f(x)，则所以f(x)＝x2＋1，则f＝f(1)＝12＋1＝2.
5. A　因为函数y＝f(x)的定义域为R，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则函数y＝f(x)为奇函数，故对任意x1∈R，都存在x2∈R且x2＝－x1，使得f(x2)＝f(－x1)＝－f(x1)，即充分性成立；若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x2)＝－f(x1)，不妨取f(x)＝(x－1)3，则f(2－x)＝(2－x－1)3＝(1－x)3＝－f(x)，即f(2－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)＝(x－1)3的图象关于点(1，0)对称，即对任意的x1∈R，存在x2＝2－x1，使得f(x2)＝f(2－x1)＝－f(x1)，但函数f(x)＝(x－1)3不是奇函数，即必要性不成立，综上，“函数y＝f(x)的图象关于原点对称”是“对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x2)＝－f(x1)成立”的充分且不必要条件．
6. D　由题意知y＝f(x－2)＋1的图象关于点(0，0)中心对称，将y＝f(x－2)＋1的图象向下平移1个单位长度，得y＝f(x－2)的图象关于点(0，－1)中心对称，再向左平移2个单位长度，得 y＝f(x)的图象关于点(－2，－1)中心对称，所以f(－2)＝－1.
7．AC　由题意，得函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确，B错误；f＝＝＝＝－f(x)，故C正确，D错误．故选AC.
8. BD　因为f(x)的奇偶性不确定，所以f(x)和f(－x)的关系不确定，所以与的关系不确定，所以函数不一定是偶函数，故A错误；由f(|x|)＝f(|－x|)，得函数f(|x|)是偶函数，故B正确；因为与的关系不确定，所以函数不一定是偶函数，故C错误；因为f(x)f(－x)＝f(－x)f(x)，所以函数f(x)f(－x)是偶函数，故D正确．故选BD.
9. 2　由f(x)＝x3＋ax2＋x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a(－x)2－x＝－x3－ax2－x，解得a＝0，故f(x)＝x3＋x，所以f(1)＝1＋1＝2.
10. －4　因为f(x)＝ax2＋bx＋2是定义在区间[1＋a，3]上的偶函数，所以1＋a＋3＝0，即a＝－4，所以f(x)＝－4x2＋bx＋2是定义在区间[－3，3]上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－4(－x)2＋b(－x)＋2＝－4x2＋bx＋2，整理，得2bx＝0.因为x不恒为0，所以b＝0，所以a＋2b＝－4.
11. －2　因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝－2.由f(x＋1)是偶函数，得f(－x＋1)＝f(x＋1)，令x＝1，则f(－1＋1)＝f(1＋1)，即f(2)＝f(0)＝0；令x＝2，则f(－2＋1)＝f(2＋1)，即 f(3)＝f(－1)＝－2，故f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2＋0＋2＋0－2＝－2.
12. (1) 易知函数f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝x4＋2x2＝f(x)，
所以f(x)＝x4＋2x2是偶函数．
(2) 易知函数f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，
所以f(x)＝x3＋3x是奇函数．
(3) 易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(－x)＝－x－＝－f(x)，
所以f(x)＝x＋是奇函数．
13. (1) 函数f(x)＝图象的对称中心为(1，1).
(2) 记G(x)＝g(x－1)－2＝(x－1)3＋3(x－1)2－2＝x3－3x，
定义域为R，关于原点对称，
又G(－x)＋G(x)＝(－x)3－3(－x)＋x3－3x＝0，
所以G(x)为奇函数，
所以函数g(x)＝x3＋3x2图象的对称中心为(－1，2).
5．4.2　函数的奇偶性(2)
1. C　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－2×(1＋2)＝－6.
2. C　因为奇函数f(x)在区间[2，8]上单调递减，最小值为－5，所以由奇函数的图象关于原点对称可知，函数f(x)在区间[－8，－2]上单调递减，最大值是5.
3. D　对于A，易知y＝x是奇函数，且在R上单调递增，故A错误；对于B，易知y＝－x2是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，易知y＝是奇函数，且在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上分别单调递减，故C错误；对于D，作出函数y＝－x|x|的图象，由图可知，该函数是定义域为R的奇函数，且在R上是减函数，符合题意，故D正确．
4. A　在题图2中，当x≤0时，图象与题图1中x≤0时的图象相同；当x>0时，图象与x<0时的图象关于y轴对称，即题图2对应的函数为偶函数且x≤0时的图象与y＝f(x)的图象相同，故B，D错误；当x≤0时，y＝f(－|x|)＝f(x)，y＝f(|x|)＝f(－x)，故A正确，C错误．
5. D　因为y＝f(x－2)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称．又函数f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，－2]上单调递减．由f(m－1)－f(2m＋1)<0，得f(m－1)0，解得m>－或m<－2，则实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－，＋∞).
6. C　由图象，得“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，则函数y＝x和y＝都不满足，故排除B，D；函数y＝|x|的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且当07. ABD　对于A，因为函数f(x)是定义在区间[a－6，a＋2]上的偶函数，所以a－6＋a＋2＝0，解得a＝2，故A正确；对于B，因为x∈[－4，0]，f(x)＝x＋2，所以f＝f＝－＋2＝，故B正确；对于C，因为f(0)＝2，f(1)＝f(－1)＝2－1，则f(0)8. AD　对于A，因为函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；对于B，因为函数的定义域为{x|x≠±3}，所以f(x)在区间[0，＋∞)上不具备单调性，故B错误；对于C，当x∈[0，3)∪(3，＋∞)时，f(x)＝＝∈∪，又因为f(x)为偶函数，所以 f(x)∈∪，故C错误；对于D，当x∈[0，3)∪(3，＋∞)时，f(x)＝，所以f(x)在区间[0，3)，(3，＋∞)上单调递减．又f(x)为偶函数，若f(t)|2t－1|，且|t|≠3，|2t－1|≠3，解得9. f(x)＝　当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.由奇函数的性质，得f(0)＝0，所以f(x)＝
10. －12　因为偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，函数y＝f(x＋3)的图象与x轴的交点也关于直线x＝－3对称，所以四个交点中，有两个在直线x＝－3的左侧，另外两个在直线x＝－3的右侧，所以四个实根的和为－12.
11. [－1，1]　由图象，得奇函数f(x)在区间(0，4]上单调递增，则在区间[－4，0)上单调递增，且f(－1)＝－f(1)＝0.不等式xf(x)≤0，当x＝0时，不等式成立；当x>0时，f(x)≤0＝f(1)，解得012. (1) 由题意，得f(x)＝f(－x)，
则＋ax＝－ax，
解得a＝0.
(2) f(x)＝在区间[0，＋∞)上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈[0，＋∞)且x10，
所以f(x1)－f(x2)＝－＝>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
13. (1) 令x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
f(x)为奇函数，证明如下：
令y＝－x，
则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
所以f(x)＝－f(－x)对任意x∈R恒成立，
所以函数f(x)为奇函数．
(2) f(x)在R上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R且x10，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)在R上为减函数．
当x∈[－3，3]时，f(x)单调递减，
所以当x＝－3时，f(x)有最大值f(－3).
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－2×3＝－6，
所以f(－3)＝－f(3)＝6.
故f(x)在区间[－3，3]上的最大值为6.
(3) 由(2)知f(x)在区间[－1，1]上单调递减，
所以f(x)≤f(－1)＝－f(1)＝2.
因为f(x)即m2－2am>0对任意a∈[－1，1]恒成立，
令g(a)＝－2am＋m2，则
即
解得m>2或m<－2，
故实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2＋∞).