6．1　幂函数 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

6．1　幂　函　数
一、 单项选择题
1 (2025天津西青期末)已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象为(　　)
A B C D
2 (2024台州期末)若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则f(3)的值为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025深圳期末)已知m是常数，幂函数f(x)＝(m2－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则m的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4 (2025菏泽期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则函数y＝f(x)＋f(2－x)的定义域为(　　)
A. (－2，2) B. (0，2)
C. (0，2] D. [0，2]
5 (2024安徽高河中学月考)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.150.1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. b>c>a
6 (2025扬州期末)若幂函数f(x)的图象经过点，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)为偶函数
B. 方程f(x)＝27的实数根为
C. f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增
D. f(x)的值域为R
二、 多项选择题
7 (2024德阳期末)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. a>b>1 B. a>1>b
C. 0>c>d D. 0>d>c
8 (2024滨州期末)已知幂函数f(x)的图象经过点，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)为偶函数
B. f(x)为增函数
C. 若f(x)≤2，则该不等式的解集为(－∞，4]
D. 若 0三、 填空题
9 (2025郴州期末)已知幂函数f(x)＝(3m2－m－1)xm为偶函数，则m＝__________．
10 (2025上海格致中学期末)已知(a－2)－<(3a＋1)－，则实数a的取值范围是________.
11 (2025九江期末)已知函数f(x)＝x3＋x，若f(a)＋f(2a－3)≤0，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024湖北期末)已知幂函数f(x)＝(2k－1)xm2－2m－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减．
(1) 求m和k的值；
(2) 求满足(2a＋1)－m<(3－2a)－m的实数a的取值范围．
13 (2025信阳期末)已知幂函数f(x)＝(m2－m＋1)xm－满足f(2) (1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若函数g(x)＝nf(2x－1)＋2x－5，x∈，是否存在实数n，使得g(x)的最小值为－13，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由．
6.1　幂　函　数
1. B　设幂函数的解析式为y＝xα.因为该幂函数的图象经过点P，所以2α＝，解得α＝－2，所以该幂函数的解析式为y＝x-2＝，其定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞).又y＝为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，在区间(－∞，0)上单调递增，故B正确．
2. D　由题意，得 f(4)＝4α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，所以 f(3)＝3＝.
3. A　由幂函数f(x)＝(m2－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，得所以m＝－2.
4. D　因为函数f(x)为幂函数，所以可设f(x)＝xα.又函数f(x)的图象经过点(2，)，所以2α＝，解得α＝，所以y＝f(x)＋f(2－x)＝＋.由y＝f(x)＋f(2－x)＝＋有意义可得解得0≤x≤2，所以函数y＝f(x)＋f(2－x)的定义域为[0，2].
5. A　因为y＝x0.2在R上单调递增，所以20.2>0.40.2，即a>b.又0.40.2＝(0.42)0.1＝0.160.1，且y＝x0.1在区间[0，＋∞)上单调递增，所以0.160.1>0.150.1，即b>c，所以a>b>c.
6. B　设f(x)＝xa，代入点可得4a＝，解得a＝－，所以f(x)＝x－＝.易得x3>0，则x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞).对于A，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是偶函数也不是奇函数，故A错误；对于B，令f(x)＝27，则＝27，解得x＝，故B正确；对于C，因为f(x)＝x－，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，故C错误；对于D，因为f(x)＝x－＝，则x3>0，所以f(x)>0，所以f(x)的值域为(0，
＋∞)，故D错误．
7. BC　由幂函数的图象与性质知，在第一象限内，在直线x＝1右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得a>1>b>0>c>d.故选BC.
8. BD　设幂函数f(x)＝xα.由图象经过点，得＝，解得α＝，所以f(x)＝x，所以f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递增，故B正确；f(x)即不是奇函数也不是偶函数，故A错误；由f(x)＝≤2，解得0≤x≤4，故C错误；当09．－　由题意，得3m2－m－1＝1，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，f(x)＝x为奇函数，不符合题意；当m＝－时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝
(－x)－＝x－＝f(x)，即f(x)为偶函数，符合题意．综上，m＝－.
10. ∪　因为函数f(x)＝x－的定义域为，且为偶函数，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，区间(－∞，0)上单调递增，所以(a－2)－<(3a＋1)－等价于
－<－，所以>>0，则解得即－11. (－∞，1]　由题意，得f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又函数y＝x3，y＝x均为R上的增函数，所以f(x)为R上的增函数．由题意，得f(a)≤－f(2a－3)＝f(3－2a)，则a≤3－2a，解得a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1].
12. (1) 由函数f(x)＝(2k－1)xm2－2m－3为幂函数，得2k－1＝1，解得k＝1.
由f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递减，得m2－2m－3<0，解得－1又m∈N*，所以m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x-4，定义域为{x|x≠0}，且f(x)为偶函数，符合题意；
当m＝2时，f(x)＝x-3，定义域为{x|x≠0}，f(x)为奇函数，不符合题意．
综上，m＝1，k＝1.
(2) 由(1)，得m＝1，则(2a＋1)-1<(3－2a)-1，即<，
所以2a＋1>3－2a>0或0>2a＋1>3－2a或2a＋1<0<3－2a，
解得故实数a的取值范围为(－∞，－)∪(，).
13. (1) 由题意，得m2－m＋1＝1，解得m＝0或m＝1.
当m＝0时，函数f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上单调递减，不满足f(2)当m＝1时，函数f(x)＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，满足f(2)所以f(x)＝x，x≥0.
(2) 假设存在实数n，使得g(x)的最小值为－13.
由(1)，得g(x)＝n＋2x－5，
由≤x≤13，得2≤≤5.
令t＝，则h(t)＝nt＋t2＋1－5＝t2＋nt－4，t∈[2，5]，
所以h(t)的最小值为－13.
当－≤2，即n≥－4时，h(t)在区间[2，5]上单调递增，
所以h(t)min＝h(2)＝2n＝－13，解得n＝－<－4，矛盾；
当2<－<5，即－10当－≥5，即n≤－10时，h(t)在区间[2，5]上单调递减，
所以h(t)min＝h(5)＝5n＋21＝－13，解得n＝－>－10，矛盾．
故存在n＝－6，使得g(x)的最小值为－13.