6.3　对数函数 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

6．3　对 数 函 数
6.3.1　对数函数(1)
一、 单项选择题
1 (2024湖北期末)函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
2 (2024济宁期末)“ln (a－b)<0”是“aA. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024抚州期末)若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[a，4a2]上的最大值比最小值多2，则实数a的值为(　　)
A. 4或 B. 4或
C. 2或 D. 2或
4 (2025北京延庆期末)不等式log 3x≥(x－1)的解集是(　　)
A. [1，3] B. [1，4]
C. [1，＋∞) D. [0，1]∪[3，＋∞)
5 (2025重庆江北期末)若函数f(x)＝lg (x2＋ax＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－2，2]
B. [－2，0)
C. (－∞，－2]∪[2，＋∞)
D. (－∞，－2]
6 (2024佛山期末)已知2a＝5，3b＝10，4c＝17，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. aC. c二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题中正确的有(　　)
A. 函数f(x)为增函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 若x＞1，则f(x)>0
D. 若08 (2025南昌期末)已知f(x)＝log 2x＋log x2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
B. |f(x)|≥2
C. f(x)在区间(1，2)，上单调递减
D. 不等式f(x)≥的解集为[4，＋∞)
三、 填空题
9 方程lg (x－1)＋lg (x－2)＝lg (x＋2)的解是________．
10 (2024太原期末)已知函数f(x)＝log3x与y＝g(x)互为反函数，则g(2)＝________．
11 设函数f(x)＝若 f(－1)＝f()，则a＝________；若函数f(x)有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12(2025重庆九龙坡期末)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间上的最大值为1.
(1) 求实数a的值；
(2) 当f(x)在定义域上是减函数时，令g(x)＝f＋f，求g(x)的定义域和值域．
13 (2025湘潭期末)已知f(x)是偶函数，f(－4)＝2，且f(x)在区间(－∞，0]上单调递增．
(1) 比较f(3)与2的大小；
(2) 求不等式f(x)>f(2x－1)的解集；
(3) 若函数g(x)＝log ax(a>0，且a≠1)，且不等式f(x)>g(x)在区间(0，4)上恒成立，求实数a的取值范围．
6．3.2　对数函数(2)
一、 单项选择题
1 若log(a－1)(2x－1)>log(a－1)(x－1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 11
C. a>2，x>0 D. a>2，x>1
2 (2025泉州期末)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则必有(　　)
A. a>1，1B. 0C. a>1，－2D. 03 (2025杭州十四中期末)设a是不等于1的正数，则“a>2”是“log a2<1”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2024保定月考)如图，曲线C1是函数y＝ax(0A. y＝a－x，y＝－log ax，y＝log ax
B. y＝log ax，y＝a－x，y＝－log ax
C. y＝log ax，y＝－log ax，y＝a－x
D. y＝－log ax，y＝a－x，y＝log ax
5 (2025山西NT20名校联合体期末)某企业在2024年12月对产品的生产线进行了技术改造，采用新技术后力争每个月的产量比上个月增长10%，要使月产量提高到原来的2倍，至少需要n(n∈N*)个月，则n的值为(结果精确到整数，参考数据：lg 2≈0.3，lg 11≈1.04)(　　)
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
6 (2025温州期末)已知函数f(x)＝ln (ex＋e－x＋t)有最小值，则实数t的取值范围是(　　)
A. [－1，＋∞) B. (－1，＋∞)
C. [－2，＋∞) D. (－2，＋∞)
二、 多项选择题
7 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　)
A B C D
8 (2024苏州苏苑高级中学月考)已知函数f(x)＝lg (x2＋1)－lg |x|(x≠0，x∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小值是lg 2
B. f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增
C. f(x)没有最大值
D. 不等式f(x)三、 填空题
9 (2024济宁期末)函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0，且a≠1)恒过的定点坐标是________．
10 设函数f(x)＝则f(f(0))＝________；若f(m)>1，则实数m的取值范围是____________．
11 (2025南宁期末)如图，平行于y轴的直线分别与函数y1＝log 2x及y2＝log 2x＋2的图象交于B，C两点，A(m，n)为函数y2的图象上一点. 若△ABC为正三角形，则2n＝________．
四、 解答题
12 (2025西安期末)已知函数f(x)＝log a(x＋3)＋log a(3－x)(a>0，且a≠1).
(1) 求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性；
(2) 若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为2，求实数a的值．
13 (2025金华期末)已知函数f(x)＝
(1) 当a＝4时，若f(x)＝2，求x的值；
(2) 若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
6．3.3　对数函数(3)
一、 单项选择题
1 函数y＝log2(2x＋1)的值域是(　　)
A. [1，＋∞) B. (0，1)
C. (－∞，0) D. (0，＋∞)
2 设函数f(x)＝lg (1－x)，则函数f(f(x))的定义域为(　　)
A. (－9，＋∞) B. (－9，1)
C. [－9，＋∞) D. [－9，1)
3 (2025洛阳期末)已知f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f(3)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. cC. c4 (2025河南南阳期末)已知f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. (1，2) D. (1，2]
5 (2025昆明期末)若函数f(x)＝x，函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，则g(9－x2)的单调减区间是(　　)
A. [0，＋∞) B. (－∞，0]
C. [0，3) D. (－3，0]
6 (2024威海期末)已知函数f(x)＝|lg x－1|，若f(a)＝f(b)，且aA. －3 B. － C. － D. －
二、 多项选择题
7 (2024廉江月考)已知函数f(x)＝log 2(ax2＋3x＋2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(0)＝1
B. 若a＝0，则f(x)是增函数
C. 存在实数a，使得f(x)为偶函数
D. 若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围为
8 (2025滁州月考)已知函数f(x)＝log a|x＋1|(a>0，且a≠1)在区间(－1，0)上单调递减，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减且无最小值
B. f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增且无最大值
C. f(x)在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数
D. f(x)的图象关于直线x＝－1对称
三、 填空题
9 函数y＝2loga|1－x|＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
10 (2024武汉期末)已知函数f(x)的定义域为(－5，4)，则函数g(x)＝3f(2x＋1)＋log2的定义域为________．
11 (2025荆州期末)设函数f(x)＝(ex－m)ln (x＋n)，若f(x)≥0恒成立，则en＋m的最小值为________．
四、 解答题
12 (2025衢州期末)已知函数f(x)＝log a(－x2＋ax－3)(a>0，且a≠1).
(1) 若a＝4，求函数f(x)的定义域及值域；
(2) 若函数f(x)在区间(1，3)上单调递增，求实数a的取值范围．
13 (2024新海高级中学月考)已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx为偶函数．
(1) 求实数k的值；
(2) 求函数f(x)的值域；
(3) 若函数g(x)＝ef(x)＋kx＋t·ex，x∈[0，ln 2]，则是否存在实数t，使得g(x)的最小值为1，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
6．3　对 数 函 数
6.3.1　对数函数(1)
1. B　由题意，得log0.5(4x－5)≥0，所以0<4x－5≤1，解得2. A　若ln (a－b)<0＝ln 1，则03. A　由题意，得a<4a2，解得a>或a<0(舍去).当a>1时，函数f(x)＝logax为定义域上的增函数，则loga(4a2)－logaa＝2，所以loga4a＝2，即a2＝4a，解得a＝4或a＝0(舍去)；当4. A　如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log3x，y＝(x－1)的图象，观察图象知，当且仅当1≤x≤3时，函数y＝log3x的图象不在直线y＝(x－1)的下方，所以不等式log3x≥(x－1)的解集是[1，3].
5. C　由题意，得y＝x2＋ax＋1要取遍一切正数，则Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2.
6. D　由题意，得a＝log25＝log2＝2＋log2，b＝log310＝log3＝2＋log3，c＝log417＝log4＝2＋log4.因为>，所以log2>log2.因为0<2<3，所以>，即log2>log3，所以log2>log3，即a>b.同理可得>>1，则log3>log3>log4，即b>c.故c7. ACD　由题意，得2＝loga4，则a＝2，故f(x)＝log2x.对于A，函数f(x)为增函数，故A正确；对于B，f(x)＝log2x不是偶函数，故B错误；对于C，当x>1时， f(x)＝log2x>log21＝0，故C正确；对于D，因为f(x)＝log2x的图象往上凸，所以若08. BC　对于A，由题意，得x>0，且x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故A错误；对于B，当01时，log2x>0，则f(x)＝log2x＋≥2，当且仅当log2x＝，即x＝2时，等号成立，综上|f(x)|≥2，故B正确；对于C，令t＝log2x，则t＝log2x在区间(1，2)上单调递增，且00时，解得t≥2或09. x＝4　由题意，得lg (x－1)＋lg (x－2)＝lg [(x－1)(x－2)]＝lg (x＋2)，所以解得x＝4.
10. 9　由对数函数的反函数为相应的指数函数，得g(x)＝3x，所以g(2)＝32＝9.
11. －　　因为f(－1)＝f，所以1＋a＝，即1＋a＝，解得a＝－.当－2≤x<时，－＋a<－x＋a≤2＋a；当12. (1) 当a>1时，f(x)在区间上单调递增，
所以f(x)max＝f(4)＝loga4＝1，解得a＝4；
当0所以f(x)max＝f＝loga＝1，解得a＝.
综上，实数a的值为4或.
(2) 当f(x)在定义域上是减函数时，a＝，
所以g(x)＝f＋f＝＋，
所以g(x)的定义域满足解得－所以g(x)的定义域为.
易得g(x)＝＋
＝＝.
因为－所以∈[4，＋∞).
故g(x)的值域为[4，＋∞).
13. (1) 因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝2.
又f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
则f(3)>f(4)，即f(3)>2.
(2) 由f(x)>f(2x－1)，得|x|<，
得3x2－4x＋1>0，解得x<或x>1，
所以不等式f(x)>f(2x－1)的解集为∪(1，＋∞).
(3) 当0所以不等式f(x)>g(x)不恒成立；
当a>1时，g(x)在区间(0，4)上单调递增，f(x)在区间(0，4)上单调递减，
要使不等式f(x)>g(x)在区间(0，4)上恒成立，则f(4)≥g(4)，即loga4≤2，得4≤a2，所以a≥2.
综上，实数a的取值范围为[2，＋∞).
6．3.2　对数函数(2)
1. D　当a>2时，a－1>1，则解得x>1；当12，x>1.
2. A　由图可知f(x)在定义域上单调递增．因为y＝x＋b是增函数，由复合函数的单调性可知a>1，f(0)＝logab∈(0，1)，所以13. A　若loga2<1，即loga21时，a>2，则a>2，所以若loga2<1，则02，所以“a>2”是“loga2<1”的充分且不必要条件．
4. A　由图可知曲线C2与曲线C1关于y轴对称，且曲线C1是函数y＝ax(05. C　由题意可得(1＋10%)n≥2，即1.1n≥2，两边取对数，得lg 1.1n≥lg 2，即n lg 1.1≥lg 2.因为lg 1.1>0，所以n≥＝≈＝7.5.又n∈N*，所以n＝8，所以至少要经过8个月，才能使月产量提高到原来的2倍．
6. D　当t>－2时，ex＋e－x＋t≥2＋t>0，当且仅当x＝0时，等号成立，则(ex＋e－x＋t)min＝2＋t，所以f(x)＝ln (ex＋e－x＋t)有最小值ln (2＋t)；当t≤－2时，令ex＋e－x＋t>0，则e2x＋tex＋1>0，解得xln ，所以函数f(x)的定义域为(－∞，ln )∪，在定义域的条件下，此时y＝e2x＋tex＋1无最小值，所以t≤－2舍去．综上，实数t的取值范围是(－2，＋∞).
7. BD　当a>1时，y＝ax在R上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在区间(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当08. ACD　由题意，得函数f(x)的定义域为，且f(－x)＝lg [(－x)2＋1]－lg |－x|＝lg (x2＋1)－lg |x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝lg (x2＋1)－lg x＝lg ＝lg ，因为内层函数u＝x＋在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，外层函数y＝lg u为增函数，所以由复合函数的单调性可知函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．对于B，由函数f(x)为偶函数，得函数f(x)的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)，(0，1)，故B错误；对于A，由B可知f(x)min＝f(－1)＝f(1)＝lg 2，故A正确；对于C，由B可知函数f(x)无最大值，故C正确；对于D，由f(x)9. (1，0)　令2x－1＝1，解得x＝1，此时f(1)＝loga1＝0，所以函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0，且a≠1)恒过的定点坐标是(1，0).
10. 0　(－∞，0)∪(e，＋∞)　由题意，得f(0)＝1－0＝1≥1，所以f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.若m≥1，则解得m>e；若m<1，则解得m<0，所以实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞).
11. 4　由题意，得BC＝2.作AG⊥BC于点G，若△ABC为正三角形，则BG＝1，AG＝，故点B(m＋，n－1).因为A(m，n)为函数y2的图象上一点，所以log2m＋2＝n，所以m＝2n-2.又点B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以log2(m＋)＝n－1，所以m＝2n-1－，则2n-2＝2n-1－，解得2n＝4.
12. (1) 要使函数f(x)的解析式有意义，
则
解得－3所以函数f(x)的定义域为(－3，3).
又f(－x)＝loga(3－x)＋loga(3＋x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2) 由题意，得f(x)＝loga(x＋3)＋loga(3－x)＝loga(9－x2)，
当x∈[1，2]时，5≤9－x2≤8.
当0则此时f(x)max＝loga5，
所以loga5＝2＝logaa2，即5＝a2，解得a＝±(舍去)；
当a>1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递增，
则此时f(x)max＝loga8，
所以loga8＝2＝logaa2，即8＝a2，解得a＝2或a＝－2(舍去).
综上，实数a的值为2.
13. (1) 当x≥0时，令ln (x＋1)＝2，得x＝e2－1，符合题意；
当x<0时，令－x2＋4x－1＝2，则x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，不符合题意，舍去．
故x的值为e2－1.
(2) 当x≥0时，f(x)＝ln (x＋1)单调递增，可得f(x)≥f(0)＝0，
所以要使f(x)的值域为R，只需当x<0时，f(x)＝－x2＋ax－1的最大值大于等于0，
则解得a≤－2，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2].
6．3.3　对数函数(3)
1. D　设t＝2x＋1，则t＝2x＋1>1，所以log2(2x＋1)>0.故y＝log2(2x＋1)的值域为(0，＋∞).
2. B　由题意，得函数f(x)＝lg (1－x)的定义域为(－∞，1)，则lg (1－x)<1＝lg 10，解得－93. B　由题意，得f＝＝|－ln 2|＝ln 2，f(3)＝|ln 3|＝ln 3，f＝＝|－ln 4|＝ln 4.又y＝ln x在定义域上单调递增，且2<3<4，所以ln 24. B　因为a>0，所以u＝2－ax在区间(0，4)上单调递减，又f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，所以解得05. D　因为函数f(x)＝x与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝x，所以g(9－x2)＝(9－x2).由9－x2>0，解得－36. B　由题意，得f(x)＝|lg x－1|＝作出f(x)的图象如图所示．由a7. ABD　对于A，f(0)＝log22＝1，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝log2(3x＋2)，定义域是(－，＋∞).因为y＝log2t是增函数，t＝3x＋2也是增函数，所以f(x)在定义域内是增函数，故B正确；对于C，若存在实数a，使得f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，即log2(ax2－3x＋2)＝log2(ax2＋3x＋2)，所以ax2－3x＋2＝ax2＋3x＋2，得x＝0.又f(x)的定义域不是，所以f(x)不可能是偶函数，故C错误；对于D，若f(x)的定义域为R，则ax2＋3x＋2>0在R上恒成立，则解得a>，故D正确．故选ABD.
8. ACD　对于A，B，因为函数y＝|x＋1|在区间(－1，＋∞)上单调递增，又函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，且a≠1)在区间(－1，0)上单调递减，所以09. (0，1)，(2，1)　令|1－x|＝1，得x＝0或x＝2，此时y＝1，所以函数的图象恒过定点(0，1)，(2，1).
10. 　由题意，得函数f(x)的定义域为(－5，4)，所以要使函数g(x)有意义，则解得－211. 2　由题意，得f(x)的定义域为(－n，＋∞).设f1(x)＝ex－m，f2(x)＝ln (x＋n)，显然它们在定义域内都是增函数，所以若f(x)≥0恒成立，则f1(x)与f2(x)在定义域内同正同负或为0，作出f1(x)，f2(x)的大致图象如图所示，要求f1(x)f2(x)≥0恒成立，只要它们的图象与x轴的交点重合．由f1(x)＝0，得x＝ln m，由f2(x)＝0，得x＝1－n，所以ln m＝1－n，则m＝e1-n，所以en＋m＝en＋e1-n≥2＝2，当且仅当en＝e1-n，即n＝时，等号成立，所以en＋m的最小值为2.
12. (1) 当a＝4时，f(x)＝log4(－x2＋4x－3).
由－x2＋4x－3>0，解得1所以函数f(x)＝log4(－x2＋4x－3)的定义域为(1，3).
因为－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，所以0<－x2＋4x－3≤1.
又函数y＝log4x为增函数，所以f(x)＝log4(－x2＋4x－3)∈(－∞，0].
故当a＝4时，函数f(x)的定义域为(1，3)，值域为(－∞，0].
(2) 当0因为函数f(x)在区间(1，3)上单调递增，
所以函数t(x)＝－x2＋ax－3在区间(1，3)上单调递减，且－x2＋ax－3>0在区间(1，3)上恒成立，
所以该不等式组无解；
当a>1时，函数y＝logax为增函数．
因为函数f(x)在区间(1，3)上单调递增，
所以函数t(x)＝－x2＋ax－3在区间(1，3)上单调递增，且－x2＋ax－3>0在区间(1，3)上恒成立，
所以解得a≥6.
综上，实数a的取值范围是[6，＋∞).
13. (1) 由题意，得函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx的定义域为R，
且f(－x)＝ln (e-2x＋1)＋kx＝ln (e2x＋1)－ln e2x＋kx＝ln (e2x＋1)＋(k－2)x.
因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即ln (e2x＋1)＋(k－2)x＝ln (e2x＋1)－kx
所以k－2＝－k，解得k＝1.
(2) 由(1)，得f(x)＝ln (e2x＋1)－x＝ln (e2x＋1)－ln ex＝ln .
设t＝ex，则ln ＝ln ＝ln ，t∈(0，＋∞).
因为t>0，所以t＋≥2，所以ln ≥ln 2，当且仅当t＝，即t＝1，即ex＝1，x＝0时，等号成立，
所以函数f(x)的值域为[ln 2，＋∞).
(3) 由题意，得g(x)＝eln (e2x＋1)＋t·ex＝e2x＋t·ex＋1，x∈[0，ln 2].
令ex＝m，则h(m)＝m2＋tm＋1，m∈[1，2]，函数h(m)的对称轴为直线m＝－，
当－≤1，即t≥－2时，h(m)在区间[1，2]上单调递增，
则h(m)min＝h(1)＝2＋t＝1，解得t＝－1，符合题意；
当－≥2，即t≤－4时，h(m)在区间[1，2]上单调递减，
所以h(m)min＝h(2)＝5＋2t＝1，解得t＝－2，不符合题意，舍去；
当1<－<2，即－4所以1－＝1，解得t＝0，不符合题意，舍去．
综上，t的值为－1.