7．2.2　同角三角函数关系 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7．2.2　同角三角函数关系(1)
一、 单项选择题
1 已知sin α＝，tan α＝－，则cos α等于(　　)
A. － B.
C. － D.
2 (2024娄底期末)若cos α＝，且α为第一象限角，则tan α的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
3 已知cos ＝，0<α<，则sin (α＋)等于(　　)
A. － B. －
C. D.
4 (2025常德期末)已知θ是第三象限角，tan θ，cos θ是方程2x2＋ax－＝0的两根，则实数a的值为(　　)
A. 2－1 B. 1－2
C. －2 D. 2－
5 (2025内江期末)已知＝3，则sin αcos α的值为(　　)
A. B.
C. ± D. ±
6 (2024河北期末)设－<α<0，若＝，则sin α等于(　　)
A. － B. －
C. － D. －
二、 多项选择题
7 (2025南宁期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若sin αcos α＝，则tan α＋＝2
B. 若tan α＝，则＝2
C. 若sin α＝，则tan α＝2
D. 若α为第二象限角，则＋＝0
8(2024扬州红桥高级中学月考)已知sin α－cos α＝，且α为锐角，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin αcos α＝ B. sin α＋cos α＝
C. α∈ D. tan α＝
三、 填空题
9 (2025茂名期末)已知cos α＝，α为第四象限角，则tan α＝__________．
10 (2024湖北期末)已知tan θ＝3，则3cos2θ＋2sinθcos θ的值为________．
11 (2024盐城期末)若sin α＝，cos α＝，则tan α的值为________．
四、 解答题
12 (2024苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的终边经过点P(3a，－4a)，其中a≠0.
(1) 求cos θ的值；
(2) 若θ为第二象限角，求cos θ＋sin θ的值．
13 (2025佛山期末)已知3sin2θ－5sinθcos θ－2cos2θ＝0.
(1)求tan θ的值；
(2) 若θ是第一象限角，求＋的值．
7．2.2　同角三角函数关系(2)
一、 单项选择题
1 化简(1＋tan2α)·cos2α的结果为(　　)
A．1 B. 1＋sin2α
C．tan2α D. 1＋cos2α
2若α∈，则－等于(　　)
A. － B. －
C. D.
3 若0＜α＜，则＋等于(　　)
A. 2sin B. －2sin
C. 2cos D. －2cos
4 (2025淮安期末)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0的两根为sin α，cos α，则实数m的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
5 (2025吕梁期末)已知α∈，则sin α·＋cos2α等于(　　)
A. －1 B. －2cos α－1
C. 1 D. 2cos α＋1
6 (2025湖北部分市州期末)当θ∈时，若存在实数k，使得2k sin2θcos2θ＝sin2θ＋9cos2θ成立，则实数k的最小值为(　　)
A．5 B. 8
C. 12 D. 16
二、 多项选择题
7 (2025盐城期末)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. sin θcos θ＝－
B. sin θ－cos θ＝－
C. tan θ＝－
D. sin4θ＋cos4θ＝
8已知＝3，－<α<，则下列结论中正确的是(　　)
A. tan α＝2
B. sin α－cos α＝－
C. sin4α－cos4α＝
D．＝
三、填空题
9 (2024长沙期末)若sin αcos α＝－，则 tan α的值为________．
10 已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则＝________．
11 (2025邵阳二中期初)化简：＝________．
四、解答题
12 (2025南京期末)已知f(α)＝.
(1) 若sin α＋cos α＝，且0<α<π，求f(α)的值；
(2) 若f(α)＝，求sin2α－3sinαcos α的值．
13 (2024南京期末)如图，有一条宽为30 m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)种植荷花用于观赏，C，B两点分别在两岸l1，l2上，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，设∠ABD＝α.
(1) 若α＝，求荷花种植面积(单位：m2)的最大值；
(2) 若h2＝4h1，且荷花的种植面积为150 m2，求sin α的值．
7．2.2　同角三角函数关系(1)
1. A　因为sin α＝，tan α＝－，所以cos α＝＝－.
2. C　因为cos α＝，且α为第一象限角，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝×＝.
3. D　因为0<α<，所以<α＋<，所以sin ＝＝＝.
4．B　因为tan θ，cos θ是方程2x2＋ax－＝0的两根，所以又θ是第三象限角，所以θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以tan θ＋cos θ＝－＝－，解得a＝1－2.
5. B　由＝3，得＝3，解得tan α＝2，所以sin αcos α＝＝＝.
6. C　由题意，得＝.因为－<α<0，所以sin α≠0，所以＝，解得cos α＝，所以sin α＝－＝－.
7．ABD　若sin αcos α＝，则tan α＋＝＋＝＝＝2，故A正确；若tan α＝，则＝＝＝2，故B正确；若sin α＝，则cos α＝±＝±，所以tan α＝±2，故C错误；若α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，所以＋＝＋＝－1＋1＝0，故D正确．故选ABD.
8. ABD　由题意，得sin α－cos α＝，两边同时平方，得sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝，即1－2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝，故A正确；易得(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝.因为α为锐角，则sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α＝，故B正确；由sin α－cos α＝，sin α＋cos α＝，得sin α＝，cos α＝，则tan α＝.又tan α＝>1＝tan ，所以α∈，故C错误，D正确．故选ABD.
9. －2　因为cos α＝，α为第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝＝－2.
10. 　3cos2θ＋2sinθcos θ＝＝＝.
11．0或　因为sin2α＋cos2α＝1，所以()2＋＝＝1，整理可得m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，sinα＝0，cos α＝－1，则tan α＝＝0；当m＝3时，sin α＝，cos α＝，则tan α＝＝.综上所述，tan α＝0或tan α＝.
12. (1) 因为点P(3a，－4a)，a≠0，
所以OP＝＝5|a|，
当a>0时，cos θ＝＝＝；
当a<0时，cos θ＝＝＝－.
综上，当a>0时，cos θ＝；当a<0时，cos θ＝－.
(2) 因为θ为第二象限角，
所以a<0，cos θ＝－，
则sin θ＝＝＝，
所以cosθ＋sin θ＝×＋×＝－×3＋×＝－.
13. (1) 由题意，得3sin2θ－5sinθcos θ－2cos2θ＝＝＝0，
所以3tan2θ－5tanθ－2＝(3tan θ＋1)(tan θ－2)＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝2.
(2) ＋＝＋＝＋＝＋.
因为θ是第一象限角，所以sin θ>0，tan θ>0.
由(1)，得tan θ＝2.
由得sin θ＝，
所以＋＝＋＝＝＝.
7．2.2　同角三角函数关系(2)
1. A　原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
2．B　由题意，得－13. C　原式＝＋＝|cos －sin |＋|cos ＋sin |.因为α∈(0，)，所以∈，所以cos －sin ＞0，cos ＋sin ＞0，所以原式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos .
4. C　由题意，得Δ＝－4m>0，解得m＜.由根与系数的关系，得sin α＋cos α＝，sin αcos α＝m，所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，解得sin αcos α＝－，所以m＝－.
5. A　原式＝sin α＋cos2α＝＋cos2α.因为α∈(－，0)，则sin α<0，cos α>0，所以原式＝－(1＋cos α)＋cos α＝－1.
6. B　 由题意，得 θ∈，则cos θ∈(0，1)，sin θ∈(0，1).因为2k sin2θcos2θ＝sin2θ＋9cos2θ，所以k＝＝＝(cos2θ＋sin2θ)·＝≥(10＋2)＝8，当且仅当＝，即θ＝时，等号成立，所以实数k的最小值为8.
7．AD　由题意，得解得或又θ∈(0，π)，则sin θ>0，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以sin θcos θ＝－，sin θ－cos θ＝，tan θ＝＝－3，sin4θ＋cos4θ＝，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
8．ACD　对于A，因为＝3，所以sin α＋cos α＝3sin α－3cos α，所以sin α＝2cos α，所以tan α＝＝2，故A正确；对于B，因为sin α＝2cos α，－<α<，所以0<α<.又sin2α＋cos2α＝1，所以4cos2α＋cos2α＝1，即5cos2α＝1，所以cosα＝，sin α＝，所以sin α－cos α＝，故B错误；对于C，由B，得cos α＝，sin α＝，所以sin 4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝，故C正确；对于D，＝＝＝＝，故D正确．故选ACD.
9. －2或－　由sin αcos α＝－，得＝－，即＝－，整理，得2tan2α＋5tanα＋2＝0，解得tan α＝－2或tan α＝－.
10. 　因为cos α－sin α＝－①，所以1－2sin αcos α＝，解得2sin αcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.又0<α<，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝②.由①②，解得sin α＝，cos α＝，所以 tan α＝2，所以＝.
11. 　原式＝＝
＝
＝
＝＝.
12．(1) 方法一：因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，
解得2sin αcos α＝－，
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
因为0<α<π，所以sin α>0.
又sin αcos α<0，则cos α<0，所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝，
所以f(α)＝＝.
方法二：联立
解得或
因为0<α<π，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin α－cos α＝，
所以f(α)＝＝.
(2) 方法一：因为f(α)＝＝，
所以3(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，整理，得sin α＝－2cos α.
若cos α＝0，则sin α＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，
所以cosα≠0，则tan α＝－2，
所以sin2α－3sinαcos α＝＝＝2.
方法二：因为f(α)＝＝，
所以3(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，整理，得sin α＝－2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，即cos2α＝，
所以sin2α－3sinαcos α＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α＝2.
13．(1) 由题意，得AB＝，AC＝.
当α＝时，AB＝2h2，AC＝h1，
所以S△ABC＝AB·AC＝h1h2.
又因为h1＋h2＝30，h1≥0，h2≥0，
所以S△ABC＝h1h2≤＝150，当且仅当h1＝h2＝15时，等号成立，
所以荷花种植面积的最大值为150 m2.
(2) 因为h1＋h2＝30，h2＝4h1，
所以h1＝6，h2＝24，
故AB＝，AC＝，α∈，
所以S△ABC＝AB·AC＝＝150，
所以sin αcos α＝.
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以(sinα＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.
又因为α∈(0，)，所以sin α＋cos α＝，
解得或
故sin α的值为或.