7.3.1 三角函数的周期性
一、 单项选择题
1 函数y=的最小正周期为( )
A. B. π
C. D. 2π
2 若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)的值为( )
A. 1 B. -1
C. 3 D. -3
3 (2025连云港期末)设k为正数,若函数f(x)=sin 的最小正周期为,则k等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,)时,f(x)=sin x;当x∈时,f(x)=cos x,则f的值为( )
A. - B.
C. D. -
5 设f(n)=cos ,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)等于( )
A. B. -
C. 0 D.
6 (2025浙江学军中学期末)已知定义在R上的非常数函数f(x)满足:对于任意实数x,都有f=1+,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. π D.
二、 多项选择题
7 若定义在R上的函数 f(x)分别满足下列条件,其中可以得出f(x)的周期为2的有( )
A. f(x)=f(x-2)
B. f(x+2)=f(x-2)
C. f(-x)=f(x+2)
D. f(x-1)=f(x+1)
8 下列函数中,是奇函数且最小正周期是π的函数是( )
A. y=sin 2x B. y=sin |x|
C. y=cos D. y=sin
三、 填空题
9 已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 020)=________.
10 已知定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当 x∈时,f(x)=sin x,则f=________.
11 (2024信阳高级中学期初)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+π)-f(x)=sin x,且f=-,则f=________.
四、 解答题
12 若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化而呈现周期性变化,如图所示,请回答下列问题:
(1) 单摆运动的周期是多少?
(2) 从点O算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?若从点A算起呢?
(3) 当t=11 s时,单摆小球相对于静止位置的位移是多少?
13 (1) 若函数f(x)满足f(x-2)=f(x),求f(x)的周期;
(2) 若函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),求f(x)的周期;
(3) 若函数f(x)满足f(x+2)+f(x+1)+f(x)=0,求f(x)的周期.
7.3.1 三角函数的周期性
1. A 因为函数y=sin 的最小正周期T==π,所以函数y=的最小正周期为.
2. B 由题意,得f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),所以f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(3)-f(4)=-2+1=-1.
3. C 由f(x)=sin ,且k为正数,得T==,解得k=3.
4. A 因为T=π,且当x∈时,f(x)=cos x,所以f=f=f=cos =-.
5. B 因为f(n)=cos 的最小正周期T=4,且f(1)=cos =cos =-,f(2)=cos =-,f(3)=cos =,f(4)=cos (2π+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=-.
6. B 因为f=1+,所以[f-1]2=2f(x)-f2(x)=-[f(x)-1]2+1,即[f-1]2+[f(x)-1]2=1①对任意x∈R成立,由①,得[f-1]2+[f(x+)-1]2=1②.由②-①,得[f-1]2=[f(x)-1]2.因为f(x+)=1+,所以f(x+)≥1对任意x∈R成立,所以f(x)≥1对任意x∈R成立,所以f(x+)-1=f(x)-1,即f=f(x)对任意x∈R成立,则为f(x)的一个周期.若为f(x)的一个周期,即f=f(x),则f(x)=1+,整理,得[f(x)-1]2=.又因为f(x)≥1,所以f(x)=1+,这与f(x)为定义在R上的非常数函数矛盾,所以不是函数f(x)的周期.故f(x)的最小正周期为.
7. AD 对于A,由f(x)=f(x-2)可知f(x)的周期为2,故A正确;对于B,由f(x+2)=f(x-2),得f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4,故B错误;对于C,由f(-x)=f(x+2),得f(x)的图象关于直线x=1对称,故C错误;对于D,由f(x-1)=f(x+1),得f(x)=f(x+2),所以f(x)的周期为2,故D正确.故选AD.
8. AC 对于A,函数y=f(x)=sin 2x满足f(-x)=sin (-2x)=-sin 2x=-f(x),且y=f(x)=sin 2x的定义域为R,关于原点对称,则y=f(x)=sin 2x是奇函数,且最小正周期为T==π,故A正确;对于B,函数y=f(x)=sin |x|满足f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),且y=f(x)=sin |x|的定义域为R,关于原点对称,则y=f(x)=sin |x|是偶函数,不是奇函数,故B错误;对于C,y=cos =cos (2x+)=-sin 2x,由A易知y=-sin 2x 是奇函数,同时也是最小正周期是π的周期函数,故C正确;对于D,函数y=f(x)=sin (2x+)=cos 2x满足f(-x)=cos (-2x)=cos 2x=f(x),且y=f(x)=cos 2x的定义域为R,关于原点对称,则y=f(x)=cos 2x是偶函数,不是奇函数,故D错误.故选AC.
9. 2 因为f(x+3)=,所以f(x+6)==f(x),所以f(x)的周期T=6,所以f(2 020)=f(336×6+4)=f(4).又f(4)=f(1+3)==2,所以f(2 020)=2.
10. 因为f(x)的最小正周期是π,且为偶函数,所以f=f=f=f.又当x∈时,f(x)=sin x,所以f=f=sin =.
11. - 因为f(x+π)-f(x)=sin x,所以f(x+π+π)=f(x+π)+sin (x+π)=f(x+π)-sin x=f(x),即f(x+2π)=f(x),所以函数f(x)是以2π为周期的函数,所以f=f=f.令x=,得f-f=sin =.又f=-,所以f=f()-=-,所以f=f=-.
12. (1) 由图象,得单摆运动的周期是 0.4 s.
(2) 若从点O算起,则到曲线上的点D表示完成了一次往复运动;若从点A算起,则到曲线上的点E 表示完成了一次往复运动.
(3) 因为11=0.2+0.4×27,所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
13. (1) 由题意,得f(x-2+2)=f(x+2),即f(x)=f(x+2),
所以f(x)的周期为2(或2的非零整数倍).
(2) 由题意,得f(x-4)=-f(x-2)=-[-f(x)]=f(x),
所以f(x)的周期为4(或4的非零整数倍).
(3) 由题意,得f(x+3)+f(x+2)+f(x+1)=0.
因为f(x+2)+f(x+1)+f(x)=0,
两式作差,得f(x+3)=f(x),
所以f(x)的周期为3(或3的非零整数倍).