8.1.1　函数的零点 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8.1.1　函数的零点
一、 单项选择题
1 函数y＝2x－1的零点是(　　)
A. 0 B. (0，－1)
C. D.
2 下列选项中，是函数f(x)＝x2－kx＋1在R上有零点的充分且不必要条件的是(　　)
A. k∈R B. k≥2
C. －2≤k≤2 D. k≥2或k≤－2
3 (2025长寿期末)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　　)
A. x1C. x24 已知函数f(x)＝tan －sin x，则在下列区间中，函数f(x)一定有零点的是(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024枣庄期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，若f(x)在区间[0，]上有两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6 (2025淮安期末)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－f(2－a)＝0至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为(　　)
A. [－8，2]
B. (－∞，－8]∪[2，＋∞)
C. (－8，2)
D. [－2，8]
二、 多项选择题
7 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是　(　　)
A. 若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B. 若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C. 若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则 f(a)f(b)>0
D. 若对任意的实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则 f(a)f(b)<0
8 (2025德州期末)已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)有3个零点
B. 若函数y＝f(x)－t有2个零点，则0C. 关于x的方程f(f(x))＝－有5个不等的实根
D. 若当关于x的方程f(x)＝t有3个不等的实根时，实根之和为m，当f(x)＝t有4个不等的实根时，实根之和为n，则m三、 填空题
9 (2025昭通期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点为________．
10 (2025葫芦岛期末)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为________．
11 (2025岳阳期末)已知x1，x2分别是方程2x＋x－10＝0与log2x＋x－10＝0的实数解，则 x1＋x2的值为________．
四、 解答题
12 若函数f(x)＝ln x＋x2－a有一个零点在区间(1，2)上，求实数a的取值范围．
13 (2025厦门期末)设函数f(x)＝x＋logax，其中a>0，且a≠1.
(1) 当a＝2时，求f(x)的零点个数；
(2) 若f(x)在区间(1，2)和(4，6)上均存在零点，写出一个满足题意的a(结果保留两位小数)，并说明理由(参考数据：1.486≈10.509).
8.1.1　函数的零点
1. C　令y＝2x－1＝0，则x＝，即函数y＝2x－1的零点是.
2. B　因为函数f(x)＝x2－kx＋1在R上有零点的充要条件为Δ＝k2－4≥0，解得k≥2或k≤－2，所以结合选项可知k≥2是函数f(x)＝x2－kx＋1在R上有零点的充分且不必要条件．
3. D　函数f(x)＝3x＋x的零点x1可以看成函数y＝3x与y＝－x的图象交点的横坐标，由函数图象可知x1<0，同理函数g(x)＝ln x＋x的零点x2可以看成函数y＝ln x与y＝－x的图象交点的横坐标．由函数图象可知x2>0，函数h(x)＝x3＋x的零点x3可以看成函数y＝x3与y＝－x的图象交点的横坐标，可得x3＝0，所以x14. D　如图，在同一平面直角坐标系内，作出y＝tan (x＋)，y＝sin x的图象，由图象可排除A，B；又f＝tan －sin ＝－－1<0，f＝tan －sin ＝tan －<－<0，f(π)＝tan －sin π＝tan ＝>0，所以由零点存在定理及图象知，函数f(x)在区间上无零点，在区间上有零点，故C错误，D正确．
5. C　因为0≤x≤，所以≤ωx＋≤＋.因为函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在区间[0，]上有2个零点，所以2π≤＋<3π，解得≤ω<4，即ω的取值范围是[，4).
6. A　由题意，得f(x)＝＝作出函数f(x)的图象如图所示．因为关于x的方程f(x)－f(2－a)＝0至少有两个不等的实根，即关于x的方程f(x)＝f(2－a)至少有两个不同的交点，所以－4≤f(2－a)≤4.当x≤2时，令f(x)＝x2－4x＝4，解得x＝2－2；当x>6时，令f(x)＝16－2x＝－4，解得x＝10，所以2－2≤2－a≤10，解得－8≤a≤2.
7. AC　若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，故A正确；若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，故B错误；若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则f(a)f(b)>0，故C正确；若对任意的实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则f(a)f(b)＝0，故D错误．故选AC.
8. AC　对于A，由函数解析式可画出函数图象如图，显然函数图象与x轴有3个交点，故A正确；对于B，若函数y＝f(x)－t有2个零点，则函数f(x)与函数y＝t有两个交点，得0－1×2＋6＝4.当t＝0时，实根之和为m＝－1×2＋3＝1.当f(x)＝t有4个不等的实根时，可得－n，故D错误．故选AC.
9. 1和4　令f(x)＝0，则或解得x＝1或x＝4，则函数y＝f(x)的零点为1和4.
10. (0，4]　由g(x)＝f(x)－b＝0，得b＝f(x)，则等价于直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有四个交点，作出函数图象如图所示，由图象知，实数b的取值范围为(0，4].
11. 10　由2x＋x－10＝0，得2x＝10－x.由log2x＋x－10＝0，得log2x＝10－x.不妨记f(x)＝2x，g(x)＝log2x，h(x)＝10－x.由题意，得x1为f(x)＝2x与h(x)＝10－x的交点A的横坐标，x2为g(x)＝log2x与h(x)＝10－x的交点B的横坐标，作出函数的图象如图所示．因为函数f(x)＝2x与g(x)＝log2x是一对反函数，所以图象关于直线y＝x对称．又直线h(x)＝10－x与直线y＝x垂直，所以h(x)关于直线y＝x对称，则点A(x1，10－x1)与点B(x2，10－x2)关于直线y＝x对称，所以＝，化简，得2(x1＋x2)＝20，即x1＋x2＝10.
12. 易知函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，2)上单调递增．由题意，得f(1)·f(2)<0，
即(ln 1＋1－a)·(ln 2＋4－a)<0，
解得1故实数a的取值范围为(1，4＋ln 2).
13. (1) 当a＝2时，f(x)＝x＋log2x.
因为f＝log2＋＝－1＋<0，f(1)＝log21＋1＝0＋1>0，
所以ff(1)<0.
由零点存在定理，得f(x)在区间上至少存在一个零点．
因为y＝x和y＝log2x均在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝x＋log2x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)恰有一个零点．
(2) 当a>1时，由(1)可知，f(x)＝x＋logax是增函数，f(x)至多有一个零点，不符合题意；
当0当时，有f(1)f(2)<0，f(4)f(6)<0，符合题意，
此时解得a2>，a6<.
因为0.712>0.7082>2＝，且0.746＝6＝<<，
所以a的值可能为0.71或0.72或0.73或0.74.