8.1.2 用二分法求方程的近似解 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8．1.2　用二分法求方程的近似解
一、 单项选择题
1 (2025深圳期末)用二分法求方程－3－x＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　)
A. B.
C. D.
2 (2025吉安期末)已知函数f(x)＝log3(x＋1)－，用二分法求f(x)的零点近似值，零点所在的大致区间为(　　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
3 (2025闵行期末)小明同学在用二分法研究函数y＝f(x)在区间(0，1)上的零点时，发现f(0)>0，f(1)<0，f(0.5)<0，那么他下一步应计算(　　)
A. f(0.75) B. f(0.625)
C. f(0.25) D. f(0.125)
4 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　)
A. 4，4
B. 3，4
C. 4，3
D. 5，4
5 (2025成都期末)用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点时，当精确度ε＝0.002时，结束计算的条件是(　　)
A. |a－b|≤0.002 B. |a－b|<0.002
C. |a－b|>0.002 D. |a－b|＝0.002
6 (2025漳州期末)用二分法求函数f(x)＝ln x＋x－2在区间[1，2]上的零点近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
二、 多项选择题
7 (2024孝感期末)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法中正确的有(　　)
A. 若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则x0是函数f(x)的一个零点
B. 若x0是函数f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C. 函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，方程f(x)＝0的根也是函数f(x)的零点
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
8 (2024广州期末)教材中用二分法求方程2x＋3x－7＝0的近似解时，设函数f(x)＝2x＋3x－7来研究，通过计算列出了它的对应值表：
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) －0.87 －0.28 h －0.05 0.02 0.33
分析表中数据，下列说法中正确的是(　　)
A. h>0
B. 方程2x＋3x－7＝0有实数解
C. 若精确度为0.1，则近似解可取为1.375
D. 若精确度为0.01，则近似解可取为1.437 5
三、 填空题
9 用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上的近似解，先取区间中点c＝，则含根的区间是________．
10 (2025上海奉贤期末)某同学利用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，利用计算器分别计算了x＝2，x＝2.5，x＝3三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算x的值为________．
11 若函数f(x)＝ln x－＋a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝x＋－.
(1) 用单调性的定义求证：f(x)在定义域上是单调函数；
(2) 求证：f(x)有零点；
(3) 设f(x)的零点x0落在区间(，)上，求正整数n的值．
13 (2024青岛月考)已知f(x)＝ln x＋x－2，g(x)＝ex＋x.
(1) 通过二分法且满足精确度为0.5，求方程f(x)＝0的近似解(精确度为0.1)；
(2) 设f(x1)＝0，g(x2)＝0，求证：x1·x2>－e.
8．1.2　用二分法求方程的近似解
1. B　令f(x)＝－3－x，则f(0)＝0－1＝－1<0，f＝－3－＝－<0，f＝－3－＝－>0，f＝－3－＝－>0，f(1)＝－3-1＝1－>0，故所取的第一个区间可以是.
2. B　由题意，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且函数f(x)单调递增．因为f(0)＝－<0，f(1)＝log32－＝log32－log33＝log3>log31＝0，f(2)＝1－＝>0，f(3)＝log34－>1－＝>0，由函数零点存在定理，得函数的零点在区间(0，1)上．
3. C　因为零点在区间(0，0.5)上，所以应计算f(0.25).
4. C　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3.
5. B　由二分法的步骤知当区间长度|a－b|小于精确度时，便可结束计算，故当|a－b|<0.002时，便可结束计算．
6. C　区间[1，2]的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为.因为用二分法求函数f(x)＝ln x＋x－2在区间[1，2]上的零点近似值，要求精确度为0.01，所以<0.01.因为＝>0.01，＝<0.01，所以n≥7，即所需二分区间的次数最少为7.
7. AC　对于A，若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，故A正确；对于B，对于二次函数y＝x2，在区间[－1，1]上存在零点，但不可以用二分法求x0的近似值，故B错误；对于C，函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，方程 f(x)＝0的根也是函数f(x)的零点，故C正确；对于D，用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误．故选AC.
8. BC　因为y＝2x与y＝3x－7都是R上的增函数，所以f(x)＝2x＋3x－7是R上的增函数，所以f(x)在R上至多有一个零点．由表格中的数据可知，f(1.422)<0，f(1.437 5)>0，所以f(x)在R上有唯一零点，且零点所在的区间为(1.422，1.437 5)，所以h<0，故A错误；方程2x＋3x－7＝0有实数解，故B正确；f(1.375)＝－0.28<0，f(1.437 5)＝0.02>0，1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以若精确度到0.1，则近似解可取为1.375，故C正确；f(1.422)＝－0.05<0，f(1.437 5)＝0.02>0，1.437 5－1.422＝0.015 5>0.01，所以若精确度为0.01，则近似解不可取为1.437 5，故D错误．故选BC.
9. 　令f(x)＝ln x－2＋x.因为f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，f＝ln －<0，所以含根的区间是.
10. 2.75　因为f(2)＝ln 2－2<0，f(2.5)＝ln 2.5－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在定理知，区间(2.5，3)内存在零点，下一步需计算x的值为＝2.75.
11. 　因为函数y＝ln x，y＝－＋a在区间(1，e)上单调递增，所以函数f(x) ＝ln x－＋a在区间(1，e)上单调递增，所以f(1)＝ln 1－1＋a<0，f(e)＝ln e－＋a>0，解得－112. (1) 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞).
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1则x2－x1>0，x1x2>0，
所以－＝>0，x1>x2，即x1－x2>0，
所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调减函数．
(2) 因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0.
又因为f(x)在区间上是连续的，
所以f(x)有零点．
(3) f＝＋－＝log211－3>log28－3＝0，
f＝＋5－＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，
所以f·f<0，
所以f(x)的零点x0落在区间上．
故n＝10.
13. (1) 由题意，得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
设方程f(x)＝0的解为x0，
因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，
取中间值x1＝＝，则f＝ln ＋－2＝ln －＝ln ＝ln <0，
所以x0∈；
取中间值x2＝＝，则f＝ln ＋－2＝ln －＝ln ＝ln >0，
所以x0∈.
又－＝<0.5，
所以可取方程f(x)＝0的近似解为1.5.
(2) 由题意，得即
所以ln x1＋ln (－x2)＝ln (－x1x2)＝2－x1＋x2，且x2<0.
要证x1·x2>－e，只需证2－x1＋x2<1，即x2由(1)知，x1∈，显然x2综上，x1·x2>－e.