8.2.1 几个函数模型的比较 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8.2.1　几个函数模型的比较
一、 单项选择题
1 (2024深圳期末)下列选项中分别是四种生意预期的获利y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是(　　)
A. y＝10×1.05x B. y＝20＋x2
C. y＝30＋lg (x＋1) D. y＝50x
2 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　)
A. 一次函数 B. 二次函数
C. 指数型函数 D. 对数型函数
3 能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是 (　　)
A. 0＜x＜2 B. x＞2
C. x＜2 D. x＞0
4 下列关于函数f(x)＝x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况的说法中，正确的是(　　)
A. f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B. f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C. f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D. f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
5 下列说法中，正确的是(　　)
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意x>0，都有xa>logax
C. 对任意x>0，都有ax>logax
D. 不一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax
6 (2024福州期末)某工厂产生的废气经过过滤后排放．已知过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝kat(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)，其图象如下，则污染物减少60%至少需要的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A. 23 h B. 25 h C. 42 h D. 44 h
二、 多项选择题
7 甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当x＞1时，甲走在最前面
B. 当0＜x＜1时，丁走在最前面；当x＞1时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面和最后面
D. 如果他们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
8 (2024开封五县期中联考)在同一平面直角坐标系中，对于函数f(x)＝x2与g(x)＝2x的图象，下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)与g(x)有两个交点
B. f(x)与g(x)有三个交点
C. x0>0，当x>x0时，f(x)的图象恒在g(x)的图象上方
D. x0>0，当x>x0时，g(x)的图象恒在f(x)的图象上方
三、 填空题
9 (2024天津滨海新区期中)若x∈(0，＋∞)，在函数y＝log 2x，y＝2x，y＝2x中，增长速度较快的一个是________，则使log 2x<2x<2x成立的实数x的取值范围是________.
10 现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
11 (2024太湖高中月考)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
x 2 2.99 4 5
y 4 8.02 15.99 32
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log 2x；④y＝2x，其中最接近的一个是________．(只填序号)
四、 解答题
12 (2025聊城期末)已知某车厘子收购市场在过去的30天内对车厘子的日收购量P(x)(单位：百斤)与第x天之间的函数关系为①P(x)＝a(x－8)2＋b；②P(x)＝m|x－20|＋n；③P(x)＝p＋q ln x，这三种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
x/天 6 10 22 28
P(x)/百斤 46 50 58 52
(1) 请确定P(x)的解析式，并说明理由；
(2) 若第x天平均每斤车厘子的收购价格为Q(x)(单位：元)，且Q(x)＝20＋(1≤x≤30，且x∈N*)，记过去30天内第x天该市场收购车厘子的资金总额为f(x)(单位：百元)，求f(x)的最小值．
13 (2025无锡期末)某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为km2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)，另一个是同学乙提出的y＝px＋k(p>0，k>0)，记2024年元旦最初测量时间x的值为0.
(1) 根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2) 池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
8.2.1　几个函数模型的比较
1. A　因为指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数 y＝x2，对数函数y＝lg (x＋1)，一次函数y＝50x增长的速度快，所以从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是y＝10×1.05x.
2. D　由“直线上升，对数增长，指数爆炸”，得只有D选项对数型函数符合题设条件．
3. A　由函数图象可知，当04. C　观察函数f(x)＝x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．
5. D　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于B，C，当01时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax，故D正确．
6. D　由题意，得当t＝0时，P＝P0＝k，当t＝10时，P＝0.81P0＝ka10，解得k＝P0，a＝0.81＝0.9，令(1－60%)P0＝P0at＝P0(0.9)，解得t＝5log0.90.4＝5×＝5×≈5×≈43.45，结合选项可知污染物减少60%至少需要的时间约为44 h.
7. BCD　因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)＜f2(2)，所以当x＝2时，乙在甲的前面，故A错误；当0＜x＜1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，当x>1时，f4(x)的图象在最下面，故B正确；当0＜x＜1时，丙在甲、乙前面，在丁后面，当x＞1时，丙在丁前面，在甲、乙后面，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱，故C正确；指数函数增长速度越来越快，当x充分大时，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)的图象的上方，所以最终走在最前面的是甲，故D正确．故选BCD.
8. BD　在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与g(x)的图象如下图，显然两函数有三个交点A，B，C，故A错误，B正确；因为指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当x>4时，g(x)的图象恒在f(x)的图象上方，故C错误，D正确．故选BD.
9. y＝2x　(1，2)　作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝2x的图象y＝2x如图所示，从增长速度看，y＝log2x是速度由快变慢，y＝2x是均匀增长，y＝2x是速度由慢变快，故增长速度较快的一个是函数是y＝2x.由图象可得使log2x<2x<2x成立的实数x的取值范围是(1，2).
10. 甲　将x＝1，x＝2，x＝3分别代入甲、乙两个函数模型中，经比较发现模型甲较好．
11. ④　将数据分别代入①②③④，得到数值如下表：
x 2 2.99 4 5
y 4 8.02 15.99 32
①y＝2x 4 5.98 8 10
②y＝(x2－1) 1.5 3.97 7.5 12
③y＝log2x 1 1.58 2 2.32
④y＝2x 4 7.94 16 32
由表格数据可知其中最接近的一个模型是④y＝2x.
12. (1) 将表格中数据(6，46)，(10，50)代入关系①P(x)＝a(x－8)2＋b中，得此方程无解，舍去；
将表格中数据(6，46)，(10，50)代入关系②P(x)＝m＋n中，得解得则方程为P(x)＝－＋60.
经验证，(22，58)，(28，52)也符合上式，
故函数解析式为P(x)＝－＋60；
由表格数据知，函数应该先增后减，不满足③.
综上，P(x)＝－＋60.
(2) 因为P(x)＝－＋60，Q(x)＝20＋，
所以f(x)＝Q(x)·P(x).
当1≤x≤20时，f(x)＝Q(x)·P(x)＝·(x＋40)＝20x＋＋808.
因为20x＋≥2＝160，当且仅当x＝4时，等号成立，
所以f(x)min＝f(4)＝968；
当20易知f(x)在区间(20，30]上单调递减，则f(x)min＝f(30)＝.
因为>968，所以f(x)min＝f(4)＝968.
13. (1) 因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，
所以选择同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)比较合适．
由题意，得解得
所以y＝·.
综上，同学甲提出的函数模型更适合，该函数模型的解析式为y＝·.
(2) 由(1)可知一月底时水生植物的面积为×＝.
假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即·x>10×，
所以x>，所以x lg >1＋lg .
因为lg >0，所以x>1＋＝1＋≈5.5.
故水生植物面积从6月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上．