8.2.2 函数的实际应用 课堂作业（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8．2.2　函数的实际应用
一、 单项选择题
1 (2025内江期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt(其中P0，k是正常数)，若在前5 h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为(参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105)(　　)
A. 6 h B. 10 h C. 11 h D. 33 h
2 (2025邯郸期末)某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如下：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1 200元的部分 5%
超过1 200元的部分 15%
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为(　　)
A. 1 600元 B. 1 540元
C. 1 400元 D. 1 340元
3 (2025安庆期末)从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，在下列四个函数模型中，你认为最符合实际的函数模型是(　　)
A. Q＝＋b B. Q＝av3＋bv2＋cv
C. Q＝0.5v＋a D. Q＝klogav＋b
4 茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y(单位：℃)和泡茶时间t(单位：min)满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60℃，则需要等待的时间为(　　)
A. 1.5min B. 2min C. 3min D. 4min
5 (2025广州期末)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么几分钟后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2 min以后物体的温度降为50℃.若将68℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32℃所需要的冷却时间为(　　)
A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min
6 (2025张家口期末)某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长5%，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据lg 1.05≈0.021 2，lg 5≈0.699 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A. 2028年 B. 2029年
C. 2030年 D. 2031年
二、 多项选择题
7 成人心率的正常范围为60～100次/min，超过100次/min为心率过速，观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后的心率，其随时间的变化如图所示，则该患者(　　)
A. 服了药物后心率会马上恢复正常
B. 服药后初期药物起效速度会加快
C. 所服药物约15 h后失效(服药后心率下降期间为有效期)
D. 要控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次
8 (2025佛山期末)某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010～2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率f(x)与时间x(单位：年，规定x＝0表示2010年初)的函数关系为f(x)＝(0≤x≤30)，则下列结论中正确的是(参考数据：ln 3≈1.1)(　　)
A. f(x)的图象关于点中心对称
B. f(x)的图象关于直线x＝15对称
C. 2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足25%
D. 预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过90%
三、 填空题
9 (2025沧州期末)已知某小区对外来车辆实行计时收费，收费标准为前两小时5元(不到 2h，按2h计费)，以后每小时2元(不满1h，按1h计费)，同一车号每天最高收费20元．小华上午9点开车进入该小区办事，直到下午3点 30分离开该小区，则需付停车费________元．
10 (2025周口期末)已知某种食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足的关系式为y＝2ax＋b，a，b∈R，若该食品在0℃时的保鲜时间是128h，在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，则该食品在20℃时的保鲜时间是________h.
11 (2024上海建平中学期末)某公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略，已知某客户购买x(x∈N)件该公司的促销商品，所支付的总金额为y万元，其中y＝则正数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2025汕头期末)某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1 h细菌的数量变为12个，再经过2 h细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量y(单位：个)与经过时间x(x∈N，单位：h)的关系有以下两个函数模型可供选择：①y＝kax(k>0，a>1)；②y＝p＋q(p>0).
(1) 试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2) 求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
13 (2025黄石阳新实验高级中学期初)湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践. 通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位： kg)与施用肥料x(单位： kg)满足如下关系：W(x)＝肥料成本投入为5x元，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为10x元，且W(2)＝16，W(5)＝.
(1) 求实数a，b的值；
(2) 已知这种水果的市场售价大约为30元/kg，且销路畅通供不应求. 记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元).当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
8．2.2　函数的实际应用
1. D　由题意，得当t＝0时，P＝P0，为最开始的污染物含量．又当t＝5时，废气的污染物含量为P0·e-5k＝0.9P0.所以e-5k＝0.9，所以当污染物减少50%时，有P0·e－kt＝0.5P0，即e－kt＝0.5，即(e-5k)＝0.5，则0.9＝0.5，所以ln 0.9＝ln 0.5，解得t＝5×≈5×＝33(h).
2. D　设李女士在商场购物的总金额为x元．因为(1 200－600)×0.05＝30<60，所以x>1 200，则(1 200－600)×0.05＋(x－1 200)×0.15＝60，解得x＝1 400，则她实际所付金额为1 400－60＝1 340(元).
3. B　由题意，得其定义域为[0，120]且在定义域上单调递增，函数Q＝＋b和Q＝0.5v＋a在定义域上单调递减，不符合题意，故A，C错误；由题意，得所求函数图象过原点，函数Q＝klogav＋b的定义域为(0，＋∞)，故D错误；因为所求函数的单位增长率变快，所以函数Q＝av3＋bv2＋cv满足题意，故B正确．
4. B　因为茶水温度y(单位：℃)和泡茶时间t(单位：min)满足y＝且喝茶的最佳口感水温大约是60℃，所以当0≤t≤5时，由y＝－5t＋70＝60，得t＝2，符合题意；当55. C　由题意，得θ1＝75，θ0＝25，当t＝2时，θ＝50，所以50＝25＋(75－25)e-2k，整理，得e-2k＝，当θ＝32，θ1＝68，θ0＝20时，有32＝20＋(68－20)e－kt，所以48e－kt＝12，所以(e-2k)＝，将e-2k＝代入，得＝＝，解得t＝4.故物体温度降为32℃所需要的冷却时间为4min.
6. D　设第x(x∈N*)年投入y万元(2020年为第1年)，则y＝120(1＋0.05)x-1.令120(1＋0.05)x-1>200，即(1＋0.05)x-1>，所以x－1>log1.05＝＝≈
≈10.467 0，则x>11.467 0，则第12年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元，即2031年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元．
7. BCD　对于A，由图可知服药2 h后心率会恢复正常，故A错误；对于B，服药后初期心率下降速度增大，即药物起效速度会加快，故B正确；对于C，当t∈[0，15]时，图象是下降的，所以所服药物约15 h后失效，故C正确；对于D，因为心率在正常范围内的时长约为20 h，所以要控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次，故D正确．故选BCD.
8. ACD　对于A，因为f(x)＋f(30－x)＝＋＝＋＝1，所以f(x)的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，f(x)－f(30－x)＝－＝－＝，所以f(x)的图象不关于直线x＝15对称，故B错误；对于C，f(12)＝＝.因为ln 3≈1.1，所以e1.1≈3，所以e1.5>3，所以f(12)＝<＝＝25%，故C正确；对于D，因为f(20)＝＝，e2.5>32，所以e-2.5<，所以f(20)＝>＝＝90%，故D正确．故选ACD.
9. 15　由题意，得小华停车时间为6.5 h，则需付停车费5＋(7－2)×2＝15(元).
10. 64　由该食品在0℃时的保鲜时间是128 h，得2b＝128，解得b＝7.因为在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，所以＝2-20a＝2，解得a＝－，所以该食品在20℃时的保鲜时间是2－×20+7＝64(h).
11. [3－，1)　由题意，得当购买0件促销商品时，所支付的总金额为0万元，即当x＝0时，y＝0＋b＝0，得b＝0，所以y＝因为公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略，所以随着购买件数x的增大，单件产品的平均价格逐渐减小，记单件产品的平均价格为f(x)，则f(x)＝＝所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则解得3－≤a<1.
12. (1) 由指数函数和幂函数的函数图象，得y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝p＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
则选函数y＝kax(k>0，a>1)更适合，
则解得即y＝8·，x∈N.
(2) 令x＝0，则y＝8，即开始时放入的细菌的数量为8个，
令y＝8·>8×100 000，
所以x>100 000＝≈≈28.39.
因为x∈N，所以至少经过29h该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍．
13. (1) 因为W(2)＝16，W(5)＝，
所以W(2)＝log2＋15＝16，且＝，
所以a＝4，b＝17.
(2) 由题意，得f(x)＝30W(x)－10x－5x
＝
＝
当x∈[0，2]时，f(x)＝450＋15log2－15x
＝450＋15log2＝450＋15log2.
令2x＝t，t∈[1，4]，g(t)＝在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，4)上单调递增，g(1)＝1，g(4)＝1，
所以g(t)max＝1.
又由对数函数单调性的性质，
得当x＝0或x＝2时，所以f(x)max＝450＋15log21＝450.
当x∈(2，5]时，f(x)＝－15x＝30(25－)－15x＝750－－15x＝750－－15(x＋1)＋15＝765－15≤765－15×2＝645，
当且仅当＝x＋1，即x＝3时，等号成立．
综上，当施用肥料为3 kg时，该水果树的单株利润最大，最大利润是645元．