第4章 指数与对数 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第4章　指数与对数 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 将×化成分数指数幂的形式是(　　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 2
2 计算3log34－27－log100.01＋log223的结果是(　　)
A. 14 B. 0
C. 1 D. 6
3 (2024咸阳期末)某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡. 假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍，则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
A. 40年 B. 30年
C. 20年 D. 10年
4 (2024天津河东区期末)若2x＝6，y＝log4，则x＋2y的值是(　　)
A. 3 B. log23
C. 8 D. －3
5 (2024重庆十八中月考)已知2m＝5n＝7，则4等于(　　)
A. 4 B. 6
C. 9 D. 25
6 (2025豫东名校期末)已知ag糖水中含有bg糖，若再添加mg糖溶解在其中，则糖水变得更甜(即糖水的含糖浓度更大)，对应的不等式为>(a>b>0，m>0).若x1＝log 32，x2＝log 2114，x3＝log 6328，则x1，x2，x3的大小关系为 (　　)
A. x1C. x3二、 多项选择题
7 (2024广州期中)下列运算中，正确的是(　　)
A. 210＋0.25＝2
B. log427·log258·log95＝
C. lg 2＋lg 50＝2
D. 9＋ln e＝4
8 已知2a＝3，b＝log32，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＋b>2
B. ab＝1
C. 3b＋3－b＝
D. ＝log912
三、 填空题
9 (2024南昌期中)计算：－－(π－3)0＋＝________．
10 (2024上海曹杨二中期中)若2a＝5b＝m，且＋＝2，则实数m＝________．
11 设a>0，b>0，若4a＋b＝ab－4，则log2(a－1)·log2(b－4)的最大值为________．
四、 解答题
12 化简求值．
(1) 3log32＋－lg 5＋lg；
(2) (log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＋log 3－2log25；
(3) 已知a>0，若a＋a－＝，求a2＋a-2的值．
13 (2024包头期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量P(单位：mg/L)与过滤开始后的时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0为过滤开始时废气的污染物数量，k为常数．如果过滤开始后经过5 h消除了10%的污染物，试求：
(1) 过滤开始后经过10 h还剩百分之几的污染物？
(2) 求污染物减少50%所需要的时间. (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)
本 章 复 习
1. A　×＝4×2＝(22)×2＝2＋＝2.
2. B　由题意，得3log34－27－log100.01＋log223＝3log34－(33)－log1010-2＋log223＝4－32－(－2)＋3＝9－9＝0.
3. D　设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要x年，则由题意得10×2x＝10 000，即x＝log21 000，所以x＝＝≈≈10，即该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要10年．
4．A　由2x＝6，得x＝log26.又y＝log4，所以x＋2y＝log26＋2log4＝log26＋＝log26＋log2＝log28＝3.
5. D　因为2m＝5n＝7，所以m＝log27，n＝log57, 则＝＝×＝＝log25，所以 4＝4log25＝(2log25)2＝52＝25.
6. A　由题意，得x1＝log32＝＝<＝＝log6328＝x3，又x3＝log6328＝＝<＝＝＝log2114＝x2，所以x17．BCD　对于A，210＋0.25＝100＋0.25＝25＝log5－152＝－2，故A错误；对于B，log427·log258·log95＝××＝log23×log52×log35＝×××＝，故B正确；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，故C正确；对于D，9＋ln e＝3＋1＝4，故D正确．故选BCD.
8. ABD　由2a＝3，得a＝log23，ab＝log23×log32＝1，故B正确；由a>0，b>0，且a≠b，得a＋b>2＝2，故A正确；3b＋3－b＝3log32＋3－log32＝3log32＋3log3＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝log912，故D正确．故选ABD.
9. 　－－(π－3)0＋＝－[3]－1＋[2]＝－－1＋＝.
10. 　由题意，得2a＝5b＝m>0，则a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，即m2＝10(m>0)，解得m＝.
11. 　由4a＋b＝ab－4，得(b－4)a＝b＋4.又 a>0，b>0，所以b－4>0，同理可得a－1>0.因为4a＋b＝ab－4，所以ab－4a－b＝4，所以(a－1)(b－4)＝8.又log2(a－1)＋log2(b－4)＝log2[(a－1)·(b－4)]＝log28＝3.当a－1>1，且b－4>1时，log2(a－1)>0，log2(b－4)>0.由基本不等式可得log2(a－1)·log2(b－4)≤＝，当且仅当log2(a－1)＝log2(b－4)，即即a＝1＋2，b＝4＋2时，等号成立；当01，此时 log2(a－1)·log2(b－4)<0；当01，此时log2(a－1)·log2(b－4)<0.综上，log2(a－1)·log2(b－4)的最大值为.
12. (1) 3log32＋－lg 5＋lg ＝2＋－lg 5－lg 2＝2＋－(lg 5＋lg 2)＝2＋－1＝.
(2) 原式＝×(log32＋log32)＋log33－2log25＝log23×＋－5＝××＋－5＝＋－5＝－3.
(3) 由a＋a－＝，得a＋a-1＋2＝5，
即a＋a-1＝3，
则a2＋a-2＋2＝9，
故a2＋a-2＝7.
13. (1) 由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝(1－10%)P0，
所以(1－10%)P0＝P0e-5k，解得k＝－ln 0.9，
则P＝P0et，
所以当t＝10时，P＝P0e×10＝P0eln 0.81＝81%P0，
所以过滤开始后经过10h还剩81%的污染物．
(2) 当P＝50%P0时，50%P0＝P0et，
解得t＝＝＝5×＝5×≈35，
所以污染物减少50%所需要的时间约为35h.