第5章 函数概念与性质 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第5章　函数概念与性质 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 函数y＝的定义域为(　　)
A. ∪
B. ∪
C. ∪
D. ∪
2 (2024海安高级中学月考)设f(x)＝则f(9)的值为(　　)
A. 9 B. 11
C. 28 D. 14
3 (2024杭州S9联盟期中)函数f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能是(　　)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
4 (2024无锡成化高级中学期中)若函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，3] B. [2，＋∞)
C. (0，＋∞) D. [2，3]
5 (2025湖北新高考联考协作体期末)已知定义在区间[－1，1]上的增函数f(x)，且y＝f(x)－2为奇函数，则不等式f(3－2x2)＋f(3x－4)<4的解集为(　　)
A. (－∞，1)∪[，＋∞)
B. (1，]
C. (－∞，1]∪(，＋∞)
D. [1，)
6 (2024北师大附属实验中学月考)已知函数f(x)＝在区间[m，n]上的值域为[0，1]，则n－m的取值范围是(　　)
A. [1，2] B. [－1，2]
C. [1，2] D. [－1，2]
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)是减函数
B. a∈R，f(a2)>f(a－1)
C. 若f(a－4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(－2，＋∞)
D. f(x)在区间[1，2]上的最大值为0
8 (2025九江期末)已知连续函数f(x)满足：① x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1；②当x>0时，f(x)<1；③f(1)＝－2，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(0)＝1
B. f(3x)＝3f(x)－2
C. f(x)在区间[－2，2]上的最大值是6
D. 不等式f(3x2)>f(5x)＋6的解集为
三、 填空题
9 (2025南通期末)若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－1，则f(－1)＝________．
10 函数f(x)＝x＋1＋2的最大值为________．
11 (2025六安期末)已知f(x＋1)是偶函数，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，若f(kx＋2)≤f(3－x)在x∈上恒成立，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024哈尔滨期中)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x2＋2x＋3.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求f(x)的值域．
13 (2024高邮期中)已知函数f(x)＝为区间[－b－1，2b]上的偶函数．
(1) 求实数a，b的值；
(2) 判断f(x)在区间[0，2]上的单调性，并用定义证明；
(3) 若f(1－2m)>，求实数m的取值范围．
第5章　函数概念与性质
本 章 复 习
1. C　要使函数y＝有意义，则需满足解得－2≤x<或2. B　因为9<10，所以f(9)＝f(f(14)).因为14>10，所以f(14)＝2×14－15＝13.又13>10，所以f(9)＝f(13)＝2×13－15＝11.
3. B　由图象，得函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)＝其图象与题图一致，故B正确；对于C，函数f(x)的定义域为，故C错误；对于D，函数f(x)的定义域为R，故D错误．
4. D　因为对任意实数x1≠x2，都有<0成立，所以函数f(x)在R上为减函数，所以解得2≤m≤3，所以实数m的取值范围是[2，3].
5. B　因为y＝f(x)－2为奇函数，所以f(－x)－2＝－[f(x)－2]，即f(－x)＋f(x)＝4，所以不等式f(3－2x2)＋f(3x－4)<4可转化为f(3－2x2)<4－f(3x－4)＝f(4－3x).因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，所以－1≤3－2x2<4－3x≤1，解得16. D　因为f(x)＝＝，所以f(x)min＝0.作出函数f(x)的图象如图，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x2＝1，x3＝3；令x2－4x＋2＝0，解得x1＝2－，x4＝2＋.因为f(x)＝在区间[m，n]上的值域是[0，1]，所以当m＝2－，n＝2＋时，此时(n－m)max＝2；当m＝2－，n＝1时，此时(n－m)min＝－1.综上，n－m的取值范围是[－1，2].
7. ACD　由题意，可作出f(x)的图象如图，由图象知f(x)在定义域上单调递减，故A正确；因为a2－(a－1)＝a2－a＋1＝＋>0，所以a2>a－1.又因为函数f(x)是减函数，所以f(a2)－2，故C正确；由图象可知D正确．故选ACD.
8. ABD　对于A，由①，当x＝y＝0时，有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，即f(0)＝1，故A正确；对于B，由①，令y＝x，则f(2x)＝f(x)＋f(x)－1＝2f(x)－1，再取y＝2x，则f(3x)＝f(2x)＋f(x)－1＝2f(x)－1＋f(x)－1＝3f(x)－2，故B正确；对于C，任取x1，x2∈R且x10，由②得f(x2－x1)<1.由①，取y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，即f(x)＋f(－x)＝2.由①，再取y＝－x1，x＝x2，得f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)＋2－f(x1)－1，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1<0，即f(x2)f(5x)＋6，f(－2)＝7，所以f(3x2)>f(5x)＋f(－2)－1，即f(3x2)>f(5x－2).因为f(x)在R上单调递减，所以3x2<5x－2，解得9. 0　由奇函数，得f(－1)＝－f(1).又f(1)＝13－1＝0，所以f(－1)＝0.
10. 3　令t＝，则t≥0，x＝1－t2，令g(t)＝1－t2＋1＋2t＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3，所以当t＝1时，g(t)max＝3，即f(x)max＝3.
11. [－2，0]　因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，1]上单调递减．因为f(kx＋2)≤f(3－x)在x∈上恒成立，所以≤在区间上恒成立，所以(k2－1)x2＋(2k＋4)x－3≤0在区间上恒成立，当k＝1时，(k2－1)x2＋(2k＋4)x－3＝6x－3∈[0，3]，不符合题意；当k＝－1时，(k2－1)x2＋(2k＋4)x－3＝2x－3∈[－2，－1]，符合题意；当k2－1≠0，即k≠±1时，解得－2≤k<－1或－112. (1) 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
当x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x＋3)＝－x2＋2x－3，
所以f(x)＝
(2) 当x∈[－1，0)时，因为f(x)＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2在区间[－1，0)上单调递增，
所以f(x)∈[－6，－3)；
当x∈(0，1]时，因为f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2在区间(0，1]上单调递增，
所以f(x)∈(3，6].
又因为f(0)＝0，
所以f(x)的值域为[－6，－3)∪∪(3，6].
13. (1) 因为函数f(x)为区间[－b－1，2b]上的偶函数，
所以－b－1＋2b＝0，
解得b＝1，所以f(x)＝.
由f(x)为区间[－2，2]上的偶函数，得f(－2)＝f(2)，
即＝，解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，则f(－x)＝＝f(x)，符合题意，
所以a＝0，b＝1.
(2) f(x)在区间[0，2]上单调递增，证明如下：
由(1)，得当x∈[0，2]时，f(x)＝，
任取0≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝
＝，
因为0≤x1所以x2－x1>0，x1x2－4<0，(x＋4)>0，(x＋4)>0，
则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间[0，2]上单调递增．
(3) 令＝，得x2－5|x|＋4＝0，
当x≥0时，x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4；
当x<0时，x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，
又x∈[－2，2]，则x＝±1.
由f(1－2m)>，得f(1－2m)>f(±1).
又f(x)是区间[－2，2]上的偶函数，
即求f()>f(1).
由(2)知f(x)在区间[0，2]上单调递增，
所以
解得－≤m<0或1故实数m的取值范围为[－，0)∪(1，].