第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2025安庆期末)若幂函数f(x)＝(2m2＋m)xm为增函数，则f(4)的值为(　　)
A. B. C. 2 D. 4
2 (2024张家口期末)函数f(x)＝x(ex－e－x)的图象大致为(　　)
A B C D
3 (2025郴州期末)函数y＝|lg (x＋1)|的单调增区间是(　　)
A. (－1，0] B. [1，＋∞)
C. (－1，＋∞) D. [0，＋∞)
4 (2025重庆期末)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx为偶函数，则实数k的值为(　　)
A. － B.
C. －1 D. 1
5 (2025安庆期末)设a＝log 35，b＝log 57，c＝e，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. bC. b6 (2025洛阳期末)已知函数f(x)＝当x∈(0，e]时，f(x－2a)＋f(x＋ln x2)≤2，则实数a的最小值为(　　)
A. 0 B. 1 C. e D. e＋1
二、 多项选择题
7 已知正实数x，y满足log2x＋y<－，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. < B. x3C. ln (y－x＋1)>0 D. 2x－y<
8 (2025合肥期末)已知函数f(x)＝lg (x2－2x＋t)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当t＝2时，f(x)的值域为[0，＋∞)
B. 当t＝－3时，f(x)的单调减区间为(－∞，1)
C. 当t取任意实数时，均有f(x)的图象关于直线x＝1对称
D. 若f(x)的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是(1，＋∞)
三、 填空题
9 (2024湖北期末)若函数y＝ln (x2－2＋a)的图象恒过点(0，0)，则实数a＝________．
10 (2024芜湖期末)已知函数y＝a＋为奇函数，则实数a＝________．
11 (2025深圳期末)若α＋2α-1＝5，β＋log 2β＝4，则α＋β＝________．
四、 解答题
12 (2025福州期末)已知函数f(x)＝log 2.
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3) 若f(m)－f(－m)<2，求实数m的取值范围．
13 (2025湖北阳新实验高级中学期末)已知函数f(x)＝a－是定义在R上的奇函数．
(1) 求实数a，b的值；
(2) 判断函数f(x)的单调性并证明；
(3) 当x∈[1，2]时，不等式f(x2－4)＋f(t2＋2tx)≥0恒成立，求实数t的取值范围．
第6章　幂函数、指数函数和对数函数
本 章 复 习
1. C　由题意，得2m2＋m＝1，解得m＝或m＝－1.因为f(x)为增函数，所以f(x)＝x，所以f(4)＝2.
2. D　由题意，得f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称．观察可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，增长方式上应与指数函数相似．故D正确．
3. D　由题意，得函数y＝|lg (x＋1)|＝的图象如图所示，显然y＝|lg (x＋1)|的单调增区间为[0，＋∞).
4. A　因为f(x)＝log4(4x＋1)＋kx为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝[log4(4x＋1)＋kx]－[log4(4－x＋1)－kx]＝log4＋2kx＝log4＋2kx＝(2k＋1)x＝0，又x不恒为0，所以2k＋1＝0，解得k＝－.
5. A　因为对数函数y＝log3x在区间(0，＋∞)上单调递增，且31＝3，3＝>5，所以1＝log337，所以1＝log550，所以log35>log57.又c2＝e>＝，所以e>.综上可得log576. D　当x>0时，f(x)＝ex在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>f(0)＝1；当x≤0时，f(x)＝2－e－x在区间(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤f(0)＝1，所以f(x)在R上单调递增．令g(x)＝f(x)＋f(－x)，当x>0时，g(x)＝f(x)＋f(－x)＝ex＋2－ex＝2；当x<0时，g(x)＝f(x)＋f(－x)＝e－x＋2－e－x＝2；当x＝0时，g(0)＝2，所以g(x)＝2恒成立．因为f(x－2a)＋f(x＋ln x2)≤2，所以f(x－2a)＋f(x＋ln x2)≤g(x)，即f(x＋ln x2)≤g(x)－f(x－2a)＝g(x－2a)－f(x－2a)＝f(2a－x)，所以x＋ln x2≤2a－x，即2a≥2x＋ln x2.令h(x)＝2x＋ln x2＝2x＋2ln x，x∈(0，e]，则h(x)在区间(0，e]上单调递增，所以h(x)max＝2＋2e，则2a≥2＋2e，解得a≥1＋e，所以实数a的最小值为e＋1.
7. BC　由题意，得log2x－，故A错误；x31，则ln (y－x＋1)>ln 1＝0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC.
8. ACD　对于A，当t＝2时，函数f(x)＝lg (x2－2x＋2)＝lg [(x－1)2＋1].由(x－1)2＋1≥1，得f(x)≥0，故A正确；对于B，当t＝－3时，函数f(x)＝lg (x2－2x－3)，令x2－2x－3>0，则(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).因为函数y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1，所以该函数在区间(－∞，－1)上单调递减．由函数y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，故B错误；对于C，由f(1－x)＝lg [(1－x)2－2(1－x)＋t]＝lg (x2＋t－1)，f(1＋x)＝lg [(1＋x)2－2(1＋x)＋t]＝lg (x2＋t－1)，得f(1－x)－f(1＋x)＝lg ＝lg 1＝0，即f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；对于D，由f(x)的定义域为全体实数，得x2－2x＋t>0在R上恒成立，则t>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以t>1，故D正确．故选ACD.
9. 3　当x＝0时，y＝ln (0－2＋a)＝ln (a－2)＝0，解得a＝3.
10. 2　设f(x)＝a＋，则2x－1≠0，可得 x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又 f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，所以 2a＋＋＝2a＋＝2a－4＝0，解得a＝2.
11. 5　由题意，得α－1＋2α-1＝4，log2β＋2log2β＝4.设函数f(x)＝x＋2x，易得f(x)是增函数，所以方程f(x)＝4有唯一解．又f(α－1)＝f(log2β)＝4，所以α－1＝log2β，所以α＋β＝1＋log2β＋β＝5.
12. (1) 由题意，得>0，
则(1－x)(x＋1)>0，解得－1所以f(x)的定义域为(－1，1).
(2) 函数f(x)为奇函数．理由如下：
因为f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3) 由(2)，得f(x)为奇函数，所以f(m)－f(－m)<2，
即f(m)＋f(m)<2，得f(m)<1，
则log2<1，所以<2.
因为m∈(－1，1)，则1＋m>0，所以1－m<2(1＋m)，
解得m>－，
故实数m的取值范围为(－，1).
13. (1) 因为函数f(x)＝a－是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即a－＝0①.
又f(－1)＝－f(1)，所以a－＝－，即a＝＋②，
联立①②，可得＝＋，解得b＝0，
代入①可得a＝1，
经检验，当a＝1，b＝0时，f(－x)＝1－＝1－＝＝＝－1＝－f(x)，满足题意．
(2) 函数f(x)在R上单调递增．理由如下：
由(1)可得f(x)＝1－， x1，x2∈R，当x1因为x1则2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增．
(3) 由题意，得当x∈[1，2]时，不等式f(x2－4)≥－f(t2＋2tx)＝f(－t2－2tx)恒成立．
由(2)可得函数f(x)在R上单调递增，
所以当x∈[1，2]时，x2－4≥－t2－2tx，即x2＋2tx＋t2－4≥0恒成立．
令g(x)＝x2＋2tx＋t2－4＝(x＋t)2－4，x∈[1，2]，
则当－t≤1，即t≥－1时，函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝2t＋t2－3，所以2t＋t2－3≥0，
解得t≥1或t≤－3，所以t≥1；
当1<－t<2，即－2所以g(x)min＝g(－t)＝－4，不符合题意；
当－t≥2，即t≤－2时，函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝t2＋4t，
所以t2＋4t≥0，解得t≥0或t≤－4，所以t≤－4.
综上，实数t的取值范围为(－∞，－4]∪[1，＋∞).