第7章 三角函数 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第7章　三角函数 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边关于(　　)
A. x轴对称 B. y轴对称
C. 直线y＝x对称 D. 原点对称
2 (2024苏州月考)函数y＝的定义域为(　　)
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
3 若tan α＝，则1－sin αcos α等于(　　)
A. 或 B. 或 C. D.
4 已知a＝cos 1，b＝sin 2，c＝tan 4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. c>b>a B. a>b>c
C. b>a>c D. b>c>a
5 (2025镇江期末)如图，摩天轮的半径为40 m，摩天轮的中心点O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，则在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过70 m的时长为(　　)
A. 10 min
B. 12 min
C. 14 min
D. 16 min
6 (2025邯郸期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)，ω>0的最小正周期T>，若函数f(x)在区间上单调，且图象关于直线x＝对称，则符合要求的ω的所有值的和是(　　)
A. B. 2 C. 5 D.
二、 多项选择题
7 (2025石家庄期末)如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. 将f(x)图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝2sin 2x的图象
C. f(x)在区间上单调递增
D. 直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
8 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深f(t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～24时的关系可近似地用函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)来表示，函数f(t)的图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(t)＝3sin ＋5(0≤t≤24)
B. 函数f(t)的图象关于点(12，0)中心对称
C. 当t＝5时，水深达到6.5 m
D. 已知函数g(t)的定义域为[0，6]，g(2t)＝f(2t)－n有两个零点t1，t2，则tan ＝
三、 填空题
9 一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车以30 km/h的速度通过，10 s内转过________rad.
10 已知f(x)＝sin (＋)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝________．
11 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上有且仅有两条对称轴，则ω＝________．
四、 解答题
12 (2025景德镇期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示．
(1) 求函数f(x)的对称中心和单调增区间；
(2) 先将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象．若|g(x)－t|≤1对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围．
13 (2024青岛期末)如图，正方形ABCD的边长为a(a>1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM∥AB，WF∥BC，EM与WF交于点N，EF＝1，记∠FEC＝x(0(1) 记四边形ECFN的面积为x的函数 f(x)，周长为x的函数g(x).
①求证：－1＝2f(x)；
②求g(x)的最大值；
(2) 求四边形AMNW面积的最小值．
第7章　三 角 函 数
本 章 复 习
1. A　因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以角α与β的终边关于x轴对称．
2. C　由1－tan ≥0，得tan ≤1，所以kπ－3. D　由题意，得1－sin αcos α＝sin2α＋cos2α－sinαcos α＝＝＝＝.
4．A　a＝sin ，b＝sin (π－2)，因为0<－1<π－2<，所以a1.综上，c>b>a.
5. B　如图，以点O在地面的投影A为坐标原点，AO所在直线为y轴，地面所在直线为t轴，建立平面直角坐标系，设t min时点P距离底面的高度为y＝A sin (ωt＋φ)＋b.由题意，得当t＝0时，y＝10，A＝40，b＝50，周期T＝36＝，所以ω＝，所以40sin (ω×0＋φ)＋50＝10，即sin φ＝－1，则φ＝－＋2k1π，k∈Z.令k1＝0，则φ＝－，所以y＝40sin ＋50，令y＝40sin (－)＋50>70，即sin >，所以＋2kπ<－<＋2kπ，解得12＋36k6. D　函数f(x)＝sin 的最小正周期T＝>且ω>0，得0<ω<4.因为f(x)在区间上单调，所以该区间长度小于等于半个周期，即≤＝，得ω≤6.综上，0<ω<4.又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以＋＝kπ＋，解得ω＝＋，k∈Z，在0<ω<4的范围内，满足条件的ω为，和，验证可知，这三个值均满足函数在区间上单调，所以符合要求的ω所有值的和为＋＋＝.
7. ACD　由函数图象，得A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝，解得ω＝2.由f＝2，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，f(x)＝2sin (2x＋).对于A，f(x)的最小正周期为π，故A正确；对于B，f＝2sin ＝2sin (2x－π)＝－2sin 2x，故B错误；对于C，当x∈时，2x＋∈，又正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，所以f(x)在区间上单调递增，故C正确；对于D，f＝2sin ＝2，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，故D正确．故选ACD.
8. ACD　对于A，由题意可知f(t)max＝8，f(t)min＝2，所以A＝＝3，b＝＝5.因为f(t)的最小正周期T＝12，所以ω＝＝.因为f(3)＝3sin (＋φ)＋5＝8，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z).又|φ|<，所以φ＝0，所以f(t)＝3sin ＋5(0≤t≤24)，故A正确；对于B，令＝kπ(k∈Z)，解得t＝6k(k∈Z)，当k＝2时，t＝12，则f(12)＝3sin 2π＋5＝5，则函数f(t)的图象关于点(12，5)中心对称，故B错误；对于C，f(5)＝3sin ＋5＝6.5，故C正确；对于D，2t∈[0，6]，则t∈[0，3]，令g(2t)＝f(2t)－n＝0，则f(2t)＝n，令2t＝m，则根据三角函数图象知两零点m1，m2关于直线t＝3，则m1＋m2＝6，即2t1＋2t2＝6，则t1＋t2＝3，则tan ＝tan ＝，故D正确．故选ACD.
9. 　10 s内列车转过的弧长为×30＝(km)，转过的角α＝＝(rad).
10. 0　函数f(x)＝sin 的最小正周期为T＝＝6，当k∈Z时，f(6k)＝sin ＝，f(6k＋1)＝sin ＝1，f(6k＋2)＝sin ＝，f(6k＋3)＝sin ＝－，f(6k＋4)＝sin ＝－1，f(6k＋5)＝sin ＝－，所以f(6k)＋f(6k＋1)＋f(6k＋2)＋f(6k＋3)＋f(6k＋4)＋f(6k＋5)＝0.因为2 022＝337×6，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝0×337＝0.
11. 8　因为函数f(x)＝sin (ω>0)的图象关于点中心对称，所以＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－1＋3k，k∈Z.要使函数在区间上有且只有两条对称轴，则<－≤T.因为ω>0，所以<≤，所以4<ω≤12，所以ω＝5或ω＝8或ω＝11.当ω＝5时，x∈，则5x＋∈，函数图象只有一个对称轴，不符合题意；当ω＝8时，x∈，则8x＋∈，函数图象有且仅有两条对称轴，符合题意；当ω＝11时，x∈，则11x＋∈(3π＋，5π＋)，函数图象有三条对称轴，不符合题意，所以ω＝8.
12. (1) 由图象，得＝－＝，则T＝，所以ω＝＝4，f(x)＝sin (4x＋φ).
又f＝sin ＝，则＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
故f(x)＝sin ＝sin .
令4x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－，k∈Z，
所以f(x)的对称中心为，k∈Z.
令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2) 由题意，得g(x)＝sin ＝sin .
当x∈时，2x＋∈，g(x)∈[0，1].
因为|g(x)－t|≤1对任意的x∈恒成立，
所以
解得t∈[0，1].
13. (1) ①由题意可知f(x)＝sin x cos x，g(x)＝2(sin x＋cos x)，
所以－1＝(sin x＋cos x)2－1＝sin2x＋cos2x＋2sinx cos x－1＝2sin x cos x＝2f(x).
②由①知(sin x＋cos x)2－1＝2sin x cos x≤sin2x＋cos2x＝1，
当且仅当sinx＝cos x，即x＝时，等号成立，
所以(sin x＋cos x)2≤2，sin x＋cos x≤，
故当x＝时，g(x)取得最大值2.
(2) 因为S四边形AMNW＝BE·DF＝(a－cos x)(a－sin x)＝a2－a(sin x＋cos x)＋sin x cos x，
令t＝sin x＋cos x，t∈(1，]，
所以sin x cos x＝＝，
令S四边形AMNW＝h(t)＝a2－at＋＝－at＋a2－，
由二次函数的性质知，若1所以h(t)≥h(a)＝；
若a≥，则h(t)在区间(1，]上单调递减，
所以h(t)≥h()＝a2－a＋.
综上，当1