第8章 函数应用 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第8章　函数应用 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024湖北期末)下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A B C D
2 (2025广州期末)函数f(x)＝ln x＋3x－5的零点所在的一个区间是(　　)
A. B.
C. D.
3 某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数R(x)＝其中x(单位：件)是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为(总收益＝成本＋利润)(　　)
A. 2万元 B. 2.5万元
C. 3万元 D. 4万元
4 (2025三明期末)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，经过t min后的温度T满足T－Ta＝·(T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度. 若Ta＝30 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至70 ℃用时2 min，则水温从70 ℃降至50 ℃，用时为(参考数据：lg 2≈0.30)(　　)
A. 3 min B. 4 min
C. 5 min D. 6 min
5 (2024湖北新高考联考协作体月考)用二分法求方程ln (x＋1)＋x－1＝0在区间(0，1)上的近似解，当要求精确度为0.1时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次
6 (2025龙岩期末)若函数f(x)＝则函数g(x)＝x2f(x)－1的零点有(　　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
二、 多项选择题
7 (2025绍兴期末)设函数f(x)＝若x1A. 0C. x1x2>1 D. x1＋x2>2
8 已知函数f(x)＝令函数g(x)＝f(x)－m，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当m＝1时，函数g(x)有2个零点
B. 函数g(x)不可能有1个零点
C. 若函数g(x)有3个零点a，b，c(aD. 方程[f(x)]2－f(x)＋1＝0有5个实数根
三、 填空题
9 (2025上海顾村中学期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上的零点近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________．
10 国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过t天后气球体积变为V＝ae－kt. 若经过15天后，气球体积变为原来的，则至少经过________天后，气球体积不超过原来的.(参考数据：lg 3≈0.48，lg 2≈0.3，结果保留整数)
11 若函数y＝ax－－2a＋3在区间(0，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1) 若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2) 若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围．
13 (2025运城期末)为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题. 为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表：
建立平台年数x 1 2 3
会员人数y/千人 14 20 29
为了描述建立平台年数x(x∈N*)与该平台会员人数y(单位：千人)的关系，现有以下三种函数模型供选择：①y＝＋b(a>0)；②y＝dlogcx＋e(d>0，c>1)；③y＝kax＋m(k>0，a>1).
(1) 根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；
(2) 根据第(1)问选择的函数模型，预计平台建立t(t∈N*)年的会员人数将超过2 002千人，求t的最小值．
(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609.)
第8章　函 数 应 用
本 章 复 习
1. C　根据零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间(a，b)上满足 f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点．根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)<0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点．
2. D　因为y＝ln x与y＝3x－5在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x＋3x－5在区间(0，＋∞)上单调递增．又f＝ln ＋3×－5＝ln －<0，f(2)＝ln 2＋3×2－5＝ln 2＋1>0，所以f(x)＝ln x＋3x－5的零点有且只有一个，且所在的一个区间是.
3. C　设总利润为f(x).由题意，得f(x)＝R(x)－100x－15 000，即f(x)＝当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－15 000＝－(x－300)2＋30 000，当x＝300时，f(x)max＝f(300)＝30 000；当x>400时，f(x)＝65 000－100x，在区间(400，＋∞)上单调递减，所以f(x)4. D　因为Ta＝30 ℃，初始温度T0＝80 ℃，当热水降至70 ℃用时2 min，所以70－30＝(80－30)，即40＝×50，化简可得＝，等式两边取对数，得lg ＝lg ，即lg ＝lg ，2lg 2－(1－lg 2)＝lg ，则3×0.3－1＝×(－0.3)，解得h＝6.设水温从70 ℃降至50 ℃用时t1 min，则此时Ta＝30 ℃，T0＝70 ℃，T＝50 ℃，h＝6，代入，得50－30＝(70－30)，即20＝×40，化简可得＝，解得t1＝6.
5. B　开区间(0，1)的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n(n∈N*)次操作后，区间长度为.因为用二分法求方程ln (x＋1)＋x－1＝0在区间(0，1)上的近似解，要求精确度为0.1，所以<0.1，所以正整数n的最小值为4，即所需二分区间次数最少为4次．
6. B　由f(x)＝得f(x)在区间(n，n＋1]，n∈N*上的函数值都是区间(n－1，n]上相应函数值的一半．又当0.作出y＝f(x)和h(x)＝在区间(0，＋∞)上的图象，由图象可知，当x>4时，f(x)的图象与h(x)的图象没有交点，所以在区间(0，＋∞)上，它们只有3个交点，所以g(x)的零点个数为3.
7. BCD　作出函数f(x)的图象，如图，0，故A错误，B正确；由2x1x2＝x1＋x2，得x1x2＝>，所以x1x2>1，故C正确；易知x1＋x2＝2x1x2>2，故D正确．故选BCD.
8. ACD　因为f(x)＝所以f＝f(e)＝1，画出f(x)的图象如图．易知函数g(x)＝f(x)－m的零点个数，即函数y＝f(x)与直线y＝m的交点个数．当m＝1时，由图象可知直线y＝m与y＝f(x)的图象有2个交点，则函数g(x)有2个零点，故A正确；当m＝0时，y＝m与y＝f(x)的图象有1个交点，即函数g(x)有1个零点，故B错误；若函数g(x)有3个零点a，b，c(a9. 　因为f(1)＝1>0，f(3)＝3－4log23<3－4<0，且f(2)＝2－4log22<0，所以零点位于区间(1，2)上，所以x2＝.
10. 40　由题意，得经过t天后气球体积变为V＝ae－kt.因为经过15天后，气球体积变为原来的，所以ae-15k＝a，即e-15k＝，则－15k＝ln ①.设t1天后体积变为原来的，即ae－kt1＝a，即e－kt1＝，则－kt1＝ln ②，由①②两式相除，得＝，即＝＝＝≈＝0.375，所以t1≈40天，则至少经过40天后，气球体积不超过原来的.
11. [－1，＋∞)∪　因为函数y＝ax－－2a＋3在区间(0，3)上有且仅有一个零点，即y＝在区间(0，3)上有且仅有一个零点，所以ax＋3＝0在区间(0，3)上没有解或恰有一解x＝2.当a≥0时，ax＋3＝0在区间(0，3)上无解，符合题意；当a<0且a≠－时，需满足3a＋3≥0，即－1≤a<0；当a＝－时，ax＋3＝0在区间(0，3)上恰有一解x＝2，满足题意．综上，实数a的取值范围是a≥－1或a＝－.
12. (1) 因为f(0)＝f(4)，即3＝16－4b＋3，解得 b＝4，
所以 f(x)＝x2－4x＋3.
令 f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，
所以函数 f(x)的零点是1和3.
(2) 因为 f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，
所以f(1)<0，即1－b＋3<0，解得b>4.
故实数b的取值范围为(4，＋∞).
13. (1) 由表中数据可知所选函数为增函数，且增长速度越来越快．
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③.
将数据代入y＝kax＋m(k>0，a>1)，得解得
所以该函数的解析式为y＝8·x＋2，x∈N*.
(2) 由(1)，得f(x)＝8·x＋2，x∈N*，
则8t＋2>2 002，即t>250，
则t>250＝＝≈≈13.60，t∈N*.
故t的最小值为14.