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专题03 因式分解的七大题型
题型一：因式分解的判断
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解的定义逐一判断可得答案．
【详解】解：A．是整式乘法，不属于因式分解，不合题意；
B．，等号右侧没有写成几个整式积的形式，不属于因式分解，不合题意；
C．，属于因式分解，符合题意；
D．，等号左侧不是多项式，不属于因式分解，不合题意；
故选：C．
2．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键．
【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意；
选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意；
选项C，，是因式分解，故该选项符合题意；
选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意．
故选：C．
3．下列多项式能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了因式分解的意义，如果多项式能够变形为几个因式的乘积的形式，则该多项式可以进行因式分解，逐项判断即可．
【详解】解：A、不能写成几个因式的乘积形式，故该式不能因式分解；
B、不能写成几个因式的乘积形式，故该式不能因式分解；
C、，因此该式能因式分解；
D、不能写成几个因式的乘积形式，故该式不能因式分解．
故选：C．
4．下面是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意，
B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意，
C、，分解错误，故此选项不符合题意，
D、，分解错误，故此选项不符合题意，
故选：A．
5．观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（ ）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都是整式乘法
C．①是整式乘法，②是因式分解
D．①是因式分解，②是整式乘法
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的意义，整式，熟练掌握其定义是解题的关键．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【详解】解：是因式分解，是乘法运算，
即①是因式分解，②是整式乘法，
故选：D．
6．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ．
【答案】④
【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解；
②是乘法运算，它不是因式分解；
③中等号左边是单项式，它不是因式分解；
④符合因式分解的定义，它是因式分解．
故答案为：④．
题型二：含参的因式分解问题
7．多项式可分解因式为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∴M为：，
故选：D．
8．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值．
【详解】解：∵把多项式分解因式，得，
∴，
∴，，
故选：．
9．已知多项式可因式分解为，则的值为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可．
【详解】解：
，
多项式可因式分解为，
，，
，
故选：A．
10．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式；
把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案．
【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为，
所以，
所以，．
11．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”．
【解决问题】
(1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______；
(2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值；
(3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键．
（1）将代入即可；
（2）由题意得，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：由题意可知，
∴，
∴，，
∴，；
（3）解：当时，，
∴多项式有因式，
设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
12．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
(3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果．
【答案】(1)
(2)的值为，的值为
(3)
【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．
（1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案；
（2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案；
（3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可．
【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式，
∴当时，得，
解得：；
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴可有，整理可得，
解得，
即的值为，的值为；
（3）解：由（2）可知，的值为，的值为，
∴多项式为，
∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1，
∴设，
右边展开式的常数项为，左边的常数项为，
∴，
解得：，
∴．
13．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
，
解得：，．
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
(2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值．
【答案】(1)，
(2)另一个因式是，a的值是2
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
（1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值．
（2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：设另一个因式是，则有：
，
则，
解得：，
则另一个因式是：，；
（2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则
，
则，
解得，或（舍去，不符合题意），
另一个因式是，
故另一个因式是，．
14．已知可以因式分解为，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值．
根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可.
【详解】解：因为可以因式分解为，
所以，
所以，
所以，
所以．
题型三：提取公因式法进行因式分解
15．把分解因式，提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，原式提取公因式即可．
【详解】解：，
则提取的公因式是．
故选：C．
16．若，则的和为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先分组，再提取公因式，最后代入即可．
【详解】解：
．
故答案为：0 ．
17．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握用提取公因式法分解因式．
对原式变形，提取公因式即可．
【详解】解：
故答案为：.
18．若，，用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【分析】此题考查因式分解，由已知等式变形得，再变形，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
19．若，则 ．
【答案】2026
【分析】根据已知条件，求出，然后把所求代数式中的拆成的形式，然后先把分解因式，然后再整体代入求值即可．
本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是利用拆项和分解因式的方法，使所求代数式出现的形式．
【详解】，
，
，
故答案为：
20．和的公因式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键．
先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案．
【详解】解：，，
∴和的公因式为，
故答案为：．
21．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是解题的关键；
（1）提取公因式m，即可分解因式；
（2）提取公因式x，即可分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．（1）若，求的值；
（2）分解因式：．
【答案】（1）8；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值，
对于（1），先提出公因式，再整体代入求值；
对于（2），先提出公因式，再根据完全平方公式分解.
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）原式.
题型四：运用公式法进行因式分解
23．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案．
【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意．
B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意．
C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意．
D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意．
故选：B．
24．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可．
【详解】
①不能用公式法分解因式；
②不能用公式法分解因式；
③可以用公式法分解因式；
④可以用公式法分解因式；
⑤可以用公式法分解因式；
综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个，
故选：C．
25．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意．
B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意．
C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意．
D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意．
故选：D．
26．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，将各式因式分解后进行判断即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、不能进行因式分解，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
27．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可．
【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式；
B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式；
C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式；
D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式；
故选：B．
28．运用因式分解简便计算： ．
【答案】25
【分析】此题考查了运用因式分解简便计算，将分母中的变形为，再利用平方差公式计算，然后去括号求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：25．
29．如果，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了因式分解，把直接代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：10.
30．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．
（1）原式先运用平方差公式分解，再运用完全平方公式分解即可；
（2）原式先提取公因式分解，再运用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
31．【阅读材料】
可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：
．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)因式分解（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)2025
(3)12
【分析】本题主要考查配方法的应用，平方差公式，因式分解；
（1）根据题意利用配方法进行因式分解即可；
（2）先根据题意将多项式因式分解，再求出最小值即可；
（3）先根据题意将多项式因式分解，得到，求出的值，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：，
多项式的最小值为2025．
（3）解：，
，
，
，
，，，
，，．
∵，
∴，，可以作为三角形的三条边．
，
的周长为12．
32．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，，求的值．
【答案】(1)；；
(2)①；②5
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键．
（1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积图2的面积列式即可；
（2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积是，
图2中阴影部分的面积是，
可以得到的乘法公式是；
故答案为：；；；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
33．【阅读材料】因式分解：．
解：将“”看成整体，令，
则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可；
（2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可．
【详解】（1）解：设，
则原式，
将“”还原，原式．
（2）证明：原式．
设，则原式．
将“”还原，原式．
为正整数，
为正整数，
的值一定是某个整数的平方．
34．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式计算即可，熟练掌握计算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
题型五：运用分组分解法进行因式分解
35．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键．
（1）先提公因式，再用公式法因式分解即可；
（2）先去括号，再利用分组分解法即可解答．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
36．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：
(2)已知的三边长分别为、、，且满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式，提公因式，完全平方公式，三角形的三边关系，等腰三角形等知识．
（1）按照分组分解法分解因式即可．
（2）按照分组分解法分解因式可得出，得到或（不符合题意，舍去），即可解答．【详解】（1）解：原式
．
（2）解：由三角形的三边关系，得，
∵，
∴，
即，
∴或，
即或（不符合题意，舍去），
∴是等腰三角形．
37．将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：．
(1)利用上述方法解决下列问题：
分解因式：①
②．
(2)类比应用：若，满足，求与的值．
(3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
（1）①根据“”分法分解因式，即可求解；①根据“”分法即可得出答案；
（2）把原式变形为，则可因式分解得到，再由非负数的性质求解即可；
（3）把原式可因式分解为，根据构成三角形的条件可推出，据此可得结论．
【详解】（1）解：解：①
；
②
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形。
38．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：
解：原式
（ ）（ ）
___________
②因式分解：
(2)已知，且，求的值．
【答案】(1)①，，，②；
(2)
【分析】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组．
（1）①根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；
②先分组，然后 完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解；
（2）将两多项式相减得到，，的关系，代入等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
解：①原式
；
故答案为：，，．
②原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴；
39．阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解；
（2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解；
（3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式；
（2）解：，前两项为一组，后一项为一组，
∴原式，
，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组，
∴原式，
故答案为：，．
（3）解：
．
40．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
【答案】(1)①；②
(2)，，
【分析】本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可；
（2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，，
，，．
题型六：十字相乘法进行因式分解
41．分解因式： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
设，原式化为，然后整理得到，然后利用十字相乘法化简即可．
【详解】解：设
∴
．
故答案为：．
42． ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握正体换元法是解题的关键；可先提取公因式，然后再根据换元法进行因式分解即可
【详解】解：原式，
令，故，
原式
；
故答案为:．
43．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键．
将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
44．因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中十字相乘的方法是解本题的关键．
利用十字相乘法进行求解即可；
【详解】解：
，
故答案为：．
45．已知：，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的值及因式分解，熟练掌握分式的值及因式分解是解题的关键；由题意易得，然后代值进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
46．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查用十字相乘法分解因式：
（1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式；
（2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式．
【详解】（1）解：如图①
由答图①知．
（2）解：如图②．
由答图②可知．
47．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．
（1）提取公因式，分解因式即可得；
（2）提取公因式，分解因式即可得；
（3）先利用十字相乘法分解因式可得，再利用十字相乘法分解因式即可得；
（4）利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式．
48．因式分解：
【答案】
【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法．
利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
.
49．等式是数学学习中常见的代数模型．
(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式；
(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）；
(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例如：分解因式2．．
《十字相乘法分解因式》
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图）
这样，我们也可以得到．
请根据上述方法，将多项式分解因式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解．
（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；
（2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可；
（3）仿照题中给出的方法分解因式即可．
【详解】（1）解：根据多项式的乘法：；
（2）解：如图所示为所画的图形，
大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽，
另一种是四块小长方形面积之和：，
即；
（3）解：如图，
∴．
50．【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材121页“阅读与思考”，
根据多项式的乘法法则，可知
那么，反过来，也有．
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如：因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，
符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
于是有：．
(1)填空：因式分解；
(2)化简：
【答案】(1)3；2
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式以及分式的混合计算．
（1）根据题意利用十字相乘法分解因式即可；
（2）先把小括号内的两个分式的分子和分母都分解因式，然后化简，再计算分式除法即可得到答案．
【详解】（1）解：（1），，
；
故答案为：3；2；
（2）解：原式
．
题型七：因式分解的综合应用
51．将代数式分别标记在4个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱后一一摸出，并将摸出的卡片上的代数式分别标记为，记（其中），则下列说法正确的个数为（ ）
①至少存在一种组合，使得；
②当时，的最大值为；
③化简之后一共有2种不同的结果．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，并考查了分类讨论思想，根据题意分不同的情况，依次化简并做判断即可．．通过分析四个代数式在时的大小关系及不同组合下的绝对差之和，逐一验证各说法．
【详解】若将四个代数式分为两对：，和，x，
，
，
当时，结果恒为2，存在组合使，故①正确；
又在时取得最大值，
当时，的最大值为，故②正确；
若将四个代数式分为两对：，和，x，则，
若将四个代数式分为两对：，和，x，则，
若将四个代数式分为两对：，和，，则，
因此，A仅有两种不同结果，故③正确；
综上，三个说法均正确，
故选：D．
52．设a，b，c为整数，且．则可能值是（ ）
A．133 B．1599 C．2916 D．3603
【答案】C
【分析】本题主要考查因式分解的应用，本题将式子 变形，尽量凑出来这三个式子，最后发现结果是一个数的平方，因此可以判断最后的值肯定是一个完全平方数，根据四个选项进行二次根式计算即可．
【详解】解：将 两边同时加上，得到，
同理，将 两边同时加上，可以得到，
将 两边同时加上，可以得到，
因此 ，因此值只能是完全平方数．
观察四个选项，选项A，133不是完全平方数，错误；
选项B，1599不是完全平方数，错误；
选项C，2916是完全平方数，即，正确；
选项D，3603不是完全平方数，错误．
故答案为：C．
53．已知 ，，，则多项式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解的应用，先求出，，，再将所求代数式变形为，再代入计算可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
54．已知是的因式，则
【答案】
【分析】本题主要考查了因式定理，熟练掌握因式定理，能根据因式确定方程的根并列出方程组是解题的关键。根据题意可得，当时，，进而列出方程，解得，即可求得代数式的值．
【详解】解：∵是的因式，
∴时，，时，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
55．已知正数满足，则
【答案】8
【分析】此题考查的知识点是因式分解的应用．首先把三个方程相加，运用完全平方公式得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
三式相加，得：，
，
，
解得或，
∵都是正实数，
，
∴，
故答案为：8．
56．计算： ．
【答案】2019
【分析】观察分子分母的式子特点．对于和，尝试对式子进行变形化简；对于和也通过变形构造出可以约分的形式，从而简化计算．本题主要考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，包括平方差公式和完全平方公式的应用．熟练掌握这些公式的变形和灵活运用是解题的关键．
【详解】解：.
，
故答案为：．
57．代数式的最小值是 ．
【答案】13
【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把原式化为：可求出最小值．
【详解】解：∵
；
∵，
∴
∴的最小值为13．
故答案为：13．
58．如果a，b，c满足，那么 ．
【答案】6069
【分析】本题主要考查完全平方公式，因式分解的应用，把通过拆分重新组合成完全平方式的和的形式，写成非负数之和等于0的形式，即可求解．熟记公式结构，把多项式利用完全平方公式写成平方和的形式是解题的关键．
【详解】解：∵，
即：，
∴，
∴，，，
∴，，，即：，
∴
，
，
故答案为：6069．
59．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
(1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
(3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
60．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可）
(2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
（1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果；
（2）利用（1）中结论求解即可；
（3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
．
61．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：．
解：将“”看成整体，令，则原式；
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求______；
(2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2；
(3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是，理由见详解
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想．
（1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可；
（2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可；
（3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可．
【详解】（1）解：，
将看成整体，令，
则原式，
再将“A”还原，可得原式，
∴；
故答案为：．
（2）证明：∵，．
∴，
∴不论取何值，总有比大2．
（3）解：是，理由如下：
对进行分组：．
分别展开可得．
令，则原式可化为．
展开式子得．
根据完全平方公式，．
再将还原，
可得．
因为为正整数，
所以也是整数，
所以的值是某一个整数的平方．
62．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当时，为定值
【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用、整式的无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答；
（2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图即可；（3）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可．
【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为：，
方法2：图2中四部分的面积和为：，
∴．
故答案为：．
（2）解：由，故如图所示：
；
（3）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为，
∵，
∴
＝，
若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
∴时，即时，为定值．
63．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：．
解：将“”看成整体，令，则原式；
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求______；
(2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
【答案】(1)
(2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想．
（1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可；
（2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可．
【详解】（1）解：将“”看成整体，令，
则原式，
再将“”还原，得：原式，
故答案为：；
（2）证明：式子的值是某一个整数的平方，
理由如下：
，
令，
则上式，
∵为正整数，
∴是整数，
∴式子的值是某一个整数的平方．
64．若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”．
(1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值；
(2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)是，理由见解析
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义．
（1）根据“好分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可；
（2）根据给出的“好分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：分式（m，为常数）是一个“好分式”， 它的“好整式”为，
，
，
∴，
解得：；
（2）解：分式的“好整式”为．
，
；
，
又是整式，
是“好分式”．
65．阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”．
(1)在7和2中是“风月同天数”的是 ；
(2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由；
(3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解．
【答案】(1)7
(2)
(3)或
【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
（1）根据风月同天数的定义进行判断．
（2）由题意可得，结合概念可得，进一步可得答案．
（3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可．
【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下：
设，a，b均为正整数，且 ，
所以，
则，
∴，，
解得，，
则，即7是风月同天数；
设，a，b均为正整数，且，
所以，
则，
∴，，
解得，，
因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”；
（2）解：∵
，
∵M是“风月同天数”，
∴，
解得：．
（3）解：根据题意得：或，
当时，设，a，b均为正整数，且 ，
所以，
则，
∴，，
解得，，
则；
当时，设，a，b均为正整数，且，
所以，
则，
当，，
解得，，
a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在；
当，，
解得，，
a，b是正整数，符合题意，故；
当，，
解得，，
a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在；
综上所述：N的所有平方差分解为：或．中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 因式分解的七大题型
题型一：因式分解的判断
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列多项式能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（ ）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都是整式乘法
C．①是整式乘法，②是因式分解
D．①是因式分解，②是整式乘法
6．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ．
题型二：含参的因式分解问题
7．多项式可分解因式为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
8．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．已知多项式可因式分解为，则的值为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
10．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值．
11．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”．
【解决问题】
(1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______；
(2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值；
(3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解．
12．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
(3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果．
13．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
，
解得：，．
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
(2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值．
14．已知可以因式分解为，求的值．
题型三：提取公因式法进行因式分解
15．把分解因式，提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
16．若，则的和为 ．
17．因式分解： ．
18．若，，用含的代数式表示，则 ．
19．若，则 ．
20．和的公因式为 ．
21．分解因式：
(1)；
(2)．
22．（1）若，求的值；
（2）分解因式：．
题型四：运用公式法进行因式分解
23．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
24．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
26．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
28．运用因式分解简便计算： ．
29．如果，则 ．
30．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
31．【阅读材料】
可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：
．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)因式分解（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
32．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，，求的值．
33．【阅读材料】因式分解：．
解：将“”看成整体，令，
则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方．
34．计算：．
题型五：运用分组分解法进行因式分解
35．分解因式：
(1)；
(2)．
36．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：
(2)已知的三边长分别为、、，且满足，判断的形状．
37．将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：．
(1)利用上述方法解决下列问题：
分解因式：①
②．
(2)类比应用：若，满足，求与的值．
(3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由．
38．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：
解：原式
（ ）（ ）
___________
②因式分解：
(2)已知，且，求的值．
39．阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
40．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
题型六：十字相乘法进行因式分解
41．分解因式： ．
42． ．
43．分解因式： ．
44．因式分解： ．
45．已知：，则的值是 ．
46．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1)；
(2)．
47．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
48．因式分解：
49．等式是数学学习中常见的代数模型．
(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式；
(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）；
(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例如：分解因式2．．
《十字相乘法分解因式》
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图）
这样，我们也可以得到．
请根据上述方法，将多项式分解因式．
50．【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材121页“阅读与思考”，
根据多项式的乘法法则，可知
那么，反过来，也有．
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如：因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，
符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
于是有：．
(1)填空：因式分解；
(2)化简：
题型七：因式分解的综合应用
51．将代数式分别标记在4个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱后一一摸出，并将摸出的卡片上的代数式分别标记为，记（其中），则下列说法正确的个数为（ ）
①至少存在一种组合，使得；
②当时，的最大值为；
③化简之后一共有2种不同的结果．
A．0 B．1 C．2 D．3
52．设a，b，c为整数，且．则可能值是（ ）
A．133 B．1599 C．2916 D．3603
53．已知 ，，，则多项式的值为 ．
54．已知是的因式，则
55．已知正数满足，则
56．计算： ．
57．代数式的最小值是 ．
58．如果a，b，c满足，那么 ．
59．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
(1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
(3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值．
60．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可）
(2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可）
61．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：．
解：将“”看成整体，令，则原式；
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求______；
(2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2；
(3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
62．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）．
63．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：．
解：将“”看成整体，令，则原式；
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求______；
(2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
64．若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”．
(1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值；
(2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由．
65．阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”．
(1)在7和2中是“风月同天数”的是 ；
(2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由；
(3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解．
