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专题11.3 乘法公式
基础知识夯实
知识点01 两数和乘以这两数差
1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。
用字母表示为 ．
2.平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式
注意：
1.公式的特征:等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数:等号右边是乘式中两项的平方差
2.字母的意义:平方差公式中的既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。
知识点02 两数和(差)的平方
1．两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍．用字母表示为 ．
2.两数和(差)的平方公式的几种常见变形
注意：
1.公式的特征:公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和和这两项的乘积的2 倍
2.字母的意义:公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式，
知识点03 单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式
2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
注意：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除
2.单项式除以单项式的结果还是单项式,
3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果
知识点04 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用字母表示为 ．
2．多项式除以单项式的一般步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
注意：
1.商的项数与多项式的项数相同,
2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号,
典型案例探究
知识点01 两数和乘以这两数差
例1.（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式．根据平方差公式、完全平方公式的进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
故答案为：．
【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式展开，再合并同类项化简，然后将的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式：，根据平方差公式即可判断．
【详解】解：A.，故A能用平方差公式，不符合题意；
B. ，故B能用平方差公式，不符合题意；
C. ，故C能用平方差公式，不符合题意；
D. ，故D不能用平方差公式，符合题意；
故选：D．
知识点02 两数和(差)的平方
例1.（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，观察可知，所求式子的前三项刚好是一个完全平方式，据此求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式．根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）计算： ．
【答案】4
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键
根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：4
【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的乘除运算及乘法公式的运用，
（1）先算乘方，再根据单项式的乘除运算法则即可求解；
（2）根据乘法公式及多项式乘以多项式法则、单项式乘以多项式计算后再合并即可求解；
【详解】（1）解：
（2）
课后作业
A
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记公式是解题的关键．先将看作是一个整体，再利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：
．
故选：A ．
2．若用简便方法计算，可以转化为计算（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用完全平方公式，将1999构造成整千数即可简化计算，故，然后利用完全平方公式展开即可．
【详解】解：，
故选：A．
3．已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，根据公式的特点逐个进行判断，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
是完全平方式，满足条件；
不是完全平方式，不满足条件；
是完全平方式，满足条件；
是完全平方式，满足条件，
所以满足题意的条件有个．
故选：．
4．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图②能得到的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积．
根据图形可得左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积，即可解答．
【详解】解：左上角正方形的面积，
还可以表示
故图②能得到的数学公式是
故选：B
二、填空题
5．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键．
先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可．
【详解】解：设，
则，
则，
，
，
则，
，
，
．
故答案为：．
6．若是完全平方式，则常数m的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方式得出，即可求出答案．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
故答案为：4．
7．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用，
根据平方差公式得，再结合代入可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
则．
故答案为：．
8．方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ．
【答案】8.75
【分析】将代入，得的值，再将x，y代入求出p的值，将x，y，p的值代入即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题关键．
【详解】解：将代入，得，
将代入，得，
∴，
故答案为：8.75．
三、解答题
9．运算能力计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式运算法则，平方差公式进行计算即可；
（2）根据单项式乘单项式运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
10．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键．先根据求出，然后代入计算即可．
【详解】解：，，
，
∴原式．
11．如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形．
(1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用：
（1）根据题意可得图①中阴影部分的面积为长为，宽为的长方形的面积，图②中阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即可解答；
（2）根据，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：，
（2）解：根据题意得：，
∴．
12．若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”．
(1)判断58是否是“完美数”，并说明理由；
(2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值；
(3)已知 ，求的值．
【答案】(1)58是“完美数”，理由见解析
(2)
(3)2
【分析】本题考查了新定义，完全平方式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）整理得，结合“完美数”的定义，进行作答即可．
（2）先整理得，因为要使W为“完美数”，所以需要是完全平方式，即可作答．
（3）因为，得出，得，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，58是“完美数”，理由如下：
依题意，，
∴58是“完美数”，
（2）解：
∵要使W为“完美数”，
∴需要是完全平方式，
即，
∴．
（3）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴．
B
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．21 B．9 C．81 D．41
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
2．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出的值．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
3．已知，则代数式的值为（ ）
A．12 B．13 C．18 D．27
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，将展开得到，即代入求解的式子即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知，，
代入到代数式中可得，
．
故选：．
4．设，若，则（ ）
A．1014 B．1013 C．1012 D．1011
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，利用换元思想进行代数式求值是解题的关键．
写出a、b、c的关系式代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴，
解得：．
故选：D．
二、填空题
5．计算： ．
【答案】
【分析】本题可利用平方差公式来进行简便计算，需要将和进行适当变形，构造出平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式的实际应用，通过将带分数变形构造出平方差公式的形式来进行简便运算．熟练掌握平方差公式的结构特征以及带分数的变形方法是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：．
6．当整数m为 时，多项式恰好为另一个多项式的平方．
【答案】或
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
根据完全平方公式的特点解题即可．
【详解】解：当时，，
当时，．
故答案为：或 ．
7．若计算的结果不含字母x的一次项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，平方差公式．
先由多项式乘多项式法则得，再根据结果不含字母x的一次项，得，即可得，再代入，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：，
∵的结果不含字母x的一次项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为a的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了长方体容积公式以及完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握长方体容积公式，准确确定纸盒的长、宽、高是解题的关键．先确定折成的无盖长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体容积公式（容积长宽高）计算．
【详解】解：由题意可知，无盖长方体纸盒的长和宽均为，高为．
纸盒容积为
故答案为：．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键．
(1)根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，逐一计算，最后合并同类项即可；
(2) 根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，逐一计算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，0
【分析】本题考查了完全平方公式，先用完全平方公式展开，然后去括号合并同类项即可化简，代入a，b的值即可得到答案．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
11．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______；
(2)若，，求；
(3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形的面积求法，完全平方公式的灵活应用是解题的关键．
（1）利用两个图形分别求出个长方形的面积，从而建立等量关系；
（2）利用（1）的关系代入求值即可；
（3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可．
【详解】（1）解：第一图个长方形的面积为，
第二个图个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得；
（3）解：一个长方形的周长为，面积为，
，，
．
12．阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
(1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）；
(2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）．
【答案】(1)8.25
(2)
【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键．
（1）仿照提供的解法进行解答即可；
（2）根据题目中提供的方法用含有、的代数式表示即可．
【详解】（1）解：∵，
设，
，
，解得，
，
故答案为：8.25；
（2）解：∵，
设，
，
，
．
C
1．有下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________；
(2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
【分析】本题是一个规律型题目，考查因式分解的应用，根据题干中的信息找出规律是解题的关键．
（1）根据规律，写出等式即可；
（2）将原式重新分组转化为，然后进行多项式乘法转化为，将看作一个整体，利用完全平方公式即可证明．
【详解】（1）解：根据规律可得，
故答案为：；；
（2）解：猜想：．
证明如下：
，
即．
2．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
【答案】(1)，4
(2)
【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键．
（1）由新定义即可求解；
（2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，4；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
满足条件的负整数为，
故答案为：．
3．【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？
【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1．
【解决问题】
(1)实践操作：填写下表．
x … 1 2 3 …
… …
(2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____；
(3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想；
(4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值．
【答案】(1)，，2，，
(2)1，小，2
(3)有最小值，是2
(4)有最小值，是3，此时
【分析】本题主要考查了配方法的应用，解决此题的关键是正确的计算；
（1）把x的值代入得到答案即可；
（2）根据表格数据观察可知当时，式子取得最大值；
（3）根据完全平方公式配方即可；
（4）把当作一个整体，再运用完全平方公式配方即可；
【详解】（1）解：填表如下：
x … 1 2 3 …
… 2 …
（2）解：当时，有最小值，是2；
故答案为：1 小 2
（3）解∶．
，
∴当时，有最小值，是2．
（4）解：
．
，
有最小值，是3，此时，即，
有最小值，是3，此时．
4．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
(1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
(2)若，求代数式的值．
(3)观察图，
①从图中得到 ．
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②．
【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．
（1），将数据代入求出，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积底高，即，代入数据计算即可；
（2）设，，由可得，，所以，代入数据计算即可；
（3）①根据图形可得；
②由，得，，因为，代入求出的结果．
【详解】（1）因为，，
，
图中阴影部分的面积为：；
故答案为：．
（2）因为，
设，，
所以，，
所以，
．
（3），
故答案为：；
因为，，，
所以
，
因为，，
，
所以
．中小学教育资源及组卷应用平台
专题11.3 乘法公式
基础知识夯实
知识点01 两数和乘以这两数差
1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。
用字母表示为 ．
2.平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式
注意：
1.公式的特征:等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数:等号右边是乘式中两项的平方差
2.字母的意义:平方差公式中的既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。
知识点02 两数和(差)的平方
1．两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍．用字母表示为 ．
2.两数和(差)的平方公式的几种常见变形
注意：
1.公式的特征:公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和和这两项的乘积的2 倍
2.字母的意义:公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式，
知识点03 单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式
2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
注意：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除
2.单项式除以单项式的结果还是单项式,
3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果
知识点04 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用字母表示为 ．
2．多项式除以单项式的一般步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
注意：
1.商的项数与多项式的项数相同,
2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号,
典型案例探究
知识点01 两数和乘以这两数差
例1.（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ．
【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【变式3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 两数和(差)的平方
例1.（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ．
【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）计算： ．
【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算．
(1)
(2)
课后作业
A
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．若用简便方法计算，可以转化为计算（ ）
A． B．
C． D．
3．已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图②能得到的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．已知，，则 ．
6．若是完全平方式，则常数m的值为 ．
7．若，，则 ．
8．方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ．
三、解答题
9．运算能力计算：
(1)；
(2)．
10．已知，求的值．
11．如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形．
(1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
12．若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”．
(1)判断58是否是“完美数”，并说明理由；
(2)已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值；
(3)已知 ，求的值．
B
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．21 B．9 C．81 D．41
2．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．已知，则代数式的值为（ ）
A．12 B．13 C．18 D．27
4．设，若，则（ ）
A．1014 B．1013 C．1012 D．1011
二、填空题
5．计算： ．
6．当整数m为 时，多项式恰好为另一个多项式的平方．
7．若计算的结果不含字母x的一次项，则 ．
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为a的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积为 ．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
10．先化简，再求值：，其中．
11．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______；
(2)若，，求；
(3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
12．阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
(1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）；
(2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）．
C
1．有下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________；
(2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明．
2．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
3．【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？
【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1．
【解决问题】
(1)实践操作：填写下表．
x … 1 2 3 …
… …
(2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____；
(3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想；
(4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值．
4．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
(1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
(2)若，求代数式的值．
(3)观察图，
①从图中得到 ．
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值．
