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专题11.4 整式的除法
基础知识夯实
知识点01 单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式
2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
注意：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除
2.单项式除以单项式的结果还是单项式,
3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果
知识点02 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用字母表示为 ．
2．多项式除以单项式的一般步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
注意：
1.商的项数与多项式的项数相同,
2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号,
典型案例探究
知识点01 单项式除以单项式
例1.（24-25八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·吉林·期中）若 则□内应填的是 ．
【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ．
知识点02 多项式除以单项式
例1.（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ．
【变式1】（24-25八年级上·重庆万州·期末）若一个多项式与单项式的积是，则这个多项式是 ．
【变式2】（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ．
【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）计算： ．
课后作业
A
一、单选题
1．下列各式中计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．当时，代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若与一个多项式的积为，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．计算： ．
6．若一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为 ．
7．若规定，则 ．
8．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则 ．
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)；
(2)．
10．先化简，再求值：，其中．
11．一个面积为的长方形木板，若把它锯成个小长方形木板，则每个小长方形木板的面积是多少？
12．观察下列式子：
；
；
；
；
(1)猜想：
___________；
___________；
(2)根据（1）猜想的结论计算：．
B
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（ ）
①当多项式乘积不含时，则；②当M能被整除时，；③；
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
5．计算：
6．一个矩形的面积是，宽为a，则矩形的长为 ．
7．如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ．
8．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ．
账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
10．先化简，再求值：，其中．
11．小丽在复习“整式的乘法”的相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，求“”代表的代数式．
12．请根据小明同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务：
先化简，再求值：，其中． 解：原式……① …………………② …………………………③ ．………………………………………………④ 当时，原式．………………………⑤
任务一：以上解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是________________________________；
任务二：请写出正确的解题过程；
任务三：以上解题过程中，除了开始出现的错误外，还有哪些易错之处值得注意．
C
1．已知，且，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．对于一个四位正整数，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和等于5，则称为“九五数”．则最大的“九五数”是 ；若将“九五数”的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的四位数，则称为“九五数”的“九五新佳数”，记，设“九五数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整除，则满足条件的“九五数”的最小值是 ．
3．提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积．
阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决：
如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是．
【初中生解法】利用设未知数解决：
如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是．
完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法）
任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积．
任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积．
任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________．中小学教育资源及组卷应用平台
专题11.4 整式的除法
基础知识夯实
知识点01 单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式
2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
注意：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除
2.单项式除以单项式的结果还是单项式,
3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果
知识点02 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用字母表示为 ．
2．多项式除以单项式的一般步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
注意：
1.商的项数与多项式的项数相同,
2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号,
典型案例探究
知识点01 单项式除以单项式
例1.（24-25八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】A．，不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项正确；
故选：D．
【变式1】（24-25八年级上·吉林·期中）若 则□内应填的是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
利用同底数幂的乘法的运算法则可判断A选项；利用幂的乘方的运算法则可判断B选项；利用单项式除以单项式的运算法则可判断C选项；利用单项式的除法的运算法则可判断D选项．
【详解】解：对于A选项，，故原选项不符合题意；
对于B选项，，故原选项不符合题意；
对于C选项，，故C选项符合题意；
对于D选项，，故D选项不符合题意．
故选：C．
【变式4】（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知其运算法则．根据整式的除法运算即可求解．
【详解】
故答案为：．
知识点02 多项式除以单项式
例1.（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
故答案为：．
【变式1】（24-25八年级上·重庆万州·期末）若一个多项式与单项式的积是，则这个多项式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式与单项式的积是，，把等式的两边同时除以可得多项式．
【详解】解：多项式与单项式的积是，
，
，
．
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ．
【答案】/
【分析】此题考查整式的除法，原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：
故答案为：．
【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
课后作业
A
一、单选题
1．下列各式中计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可．
本题考查了单项式的乘法，积的乘方，合并同类项，单项式的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
【详解】解：根据题意，
A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的除法运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 根据多项式除以单项式的法则进行计算．
【详解】解：
．
故选：C．
3．当时，代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查求代数式的值，多项式除以单项式，属于基础题，注意先化简再代入求值．首先进行除法运算将代数式化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
故选：B．
4．若与一个多项式的积为，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多项式除以单项式，单项式乘多项式，根据题意进行列式，结合多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可作答．
【详解】解：∵与一个多项式的积为
∴这个多项式
，
故选：C．
二、填空题
5．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
6．若一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除法是解题关键．用长方形的面积除以长计算即可．
【详解】解：若一个长方形的面积为，它的长为，
则它的宽为，
故答案为：．
7．若规定，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义、整式的混合运算，根据题干的新定义，结合整式的混合运算法则计算即可得解，理解新定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
8．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式除以单项式、整式的加减，由题意可知，，结合多项式除以单项式的运算法则即可得出，再根据整式的减法法则计算即可得解，理解题意，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，多项式除以单项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘多项式，最后运算多项式除以单项式，即可作答．
（2）先运算多项式除以单项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查整式的乘法及化简求值，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式及完全平方公式进行化简，然后再代值求解即可
【详解】解：
．
当时，原式．
11．一个面积为的长方形木板，若把它锯成个小长方形木板，则每个小长方形木板的面积是多少？
【答案】每个小长方形木板的面积是
【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，根据题意列式，再计算即可.
【详解】解：由题意可得：每个小长方形木板的面积是：
.
12．观察下列式子：
；
；
；
；
(1)猜想：
___________；
___________；
(2)根据（1）猜想的结论计算：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题干所示的式子猜想即可得解；
（2）根据（1）猜想的结论计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：．
B
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式除以单项式即可得．
【详解】解：
，
故选：D．
2．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：．
3．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案．
【详解】解：由与一个多项式之积是，得
，
即这个多项式是．
故选：C．
4．关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（ ）
①当多项式乘积不含时，则；②当M能被整除时，；③；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查多项式的乘法，多项式除以单项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得；②由题意可知，则，即可求得；③由题意可得，从而得到，分别求出c、d、e的值即可判定．
【详解】解：①
多项式乘积不含，
，则，
故①符合题意；
②，
，
即，
故②符合题意；
③，
，
，
解得：，
，
故③符合题意；
故选：D．
二、填空题
5．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，理解多项式除以单项式就是多项式的每一项与单项式商的和成为解题的关键．
直接运用多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
6．一个矩形的面积是，宽为a，则矩形的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用，根据矩形的长=矩形的面积÷宽，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵一个矩形的面积是，宽为a，
∴矩形的长，
故答案为：．
7．如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为：．
8．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ．
账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键．
【详解】解：，，
∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字，
∴，
∴密码是．
故答案为：．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘除法、多项式的乘法和多项式除以单项式等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算单项式的乘法和积的乘方，再计算单项式的除法即可；
（2）先计算积的乘方，然后按照从左到右的顺序进行乘除运算；
（3）先计算多项式的乘法和多项式除以单项式，再计算整式的加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
．
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式去小括号，再合并同类项，再计算除法，最后代入计算求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
11．小丽在复习“整式的乘法”的相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，求“”代表的代数式．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，可知，然后即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
．
12．请根据小明同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务：
先化简，再求值：，其中． 解：原式……① …………………② …………………………③ ．………………………………………………④ 当时，原式．………………………⑤
任务一：以上解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是________________________________；
任务二：请写出正确的解题过程；
任务三：以上解题过程中，除了开始出现的错误外，还有哪些易错之处值得注意．
【答案】任务一：②；在去括号时，常数项未乘数字系数
任务二：见解析
任务三：见解析
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和正确的运算法则是解题的关键．任务一需找出解题过程中的错误步骤及原因；任务二需写出准确的化简求值过程；任务三需指出错误外的其他易错之处．
【详解】任务一：从第②步开始出现错误，错误的原因是：在去括号时，常数项未乘数字系数，
故答案为：②；在去括号时，常数项未乘数字系数；
任务二：原式
．
当时，原式．
任务三：乘法公式要记牢，并正确应用；去括号时注意符号变化．
C
1．已知，且，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
2．对于一个四位正整数，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和等于5，则称为“九五数”．则最大的“九五数”是 ；若将“九五数”的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的四位数，则称为“九五数”的“九五新佳数”，记，设“九五数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整除，则满足条件的“九五数”的最小值是 ．
【答案】 8141 1823
【分析】本题考查了新定义下的整数性质、数的表示以及整除的性质等知识，解题关键是根据“九五数”及“九五新佳数”的定义准确表示出数m、和，并结合整除条件通过合理取值来确定满足要求的数．
根据“九五数”定义，要使数最大，千位数字应尽量大，结合千位与百位数字和为9、十位与个位数字和为5，确定各数位数字得到最大数；设“九五数”m各数位数字，根据定义表m、，进而得出，计算，根据能被整除设等式，化简， 要使最小，尽量小，从开始试，结合的取值范围，找到符合整除条件的、，进而确定、，得到的最小值．
【详解】∵九五数”是四位正整数，各个数位上的数字均不为，且千位数字与百位数字之和等于，十位数字与个位数字之和等于．
∴要使“九五数”最大，则千位数字要尽可能大．
∵千位数字与百位数字之和为且数字不为，
∴千位数字最大为，此时百位数字为不符合要求，
∴千位数字取，百位数字为；
∵十位数字与个位数字之和为，要使数大，
∴十位数字取，个位数字为．
所以最大的“九五数”是8141．
由题意得，，且，，，，，为的“九五新佳数”，则．
∵：
．
∴．
∵，，将其代入得：．
．
∵能被整除，
设（为整数），则，
化简得．
要使“九五数”最小，千位数字要尽可能小．
当时：则，．
因为，从开始试：
当时，，，不是整数，不符合．
当时，，，，符合．
此时，，，．
∴“九五数”的最小值是1823．
故答案为：8141，1823．
3．提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积．
阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决：
如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是．
【初中生解法】利用设未知数解决：
如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是．
完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法）
任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积．
任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积．
任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________．
【答案】任务一：56，见解析；任务二：51，见解析；任务三：正方形的边长；距离A下面的单位长度；距离左面的单位长度；无关；无关
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，整式的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键．
任务一：仿照题干解法求解即可；
任务二：仿照题干解法求解即可；
任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线，设，再仿照题干解法求解．
【详解】解：任务一：
如图，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为4、3，其面积为12，所以四边形的面积是；
任务二：
如图，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是；
任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线，
设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是，
∴四边形的面积由正方形的边长、距离A下面的单位长度、距离左面的单位长度确定，它与的长度无关，与的倾斜程度无关．
