中小学教育资源及组卷应用平台
专题11.5 因式分解
基础知识夯实
知识点01 因式分解
1.定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
2.整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互逆的变形
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性
注意：
1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积
2.因式分解是恒等变形
3.因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止.
知识点02 公因式
1．定义 多项式 中的每一项都含有一个相同的因式 ，我们称之为公因式．
2．公因式的确定
（1）确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数．
（2）确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中的最低指数．
（3）若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式．如 的公因式是
注意：
1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.
2.公因式可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式.
3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
知识点03 提公因式法
1．定义 把公因式提出来，多项式 就可以分解成两个因式 和 的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．
用字母表示为 ．
2．提公因式法的一般步骤
（1）找出公因式，就是找出各项都含有的因式；
（2）确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
（3）写成积的形式．
注意：
1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律
2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商
知识点04 用平方差公式分解因式
1．平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即： ．
2．平方差公式的特点
（1）等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
（2）等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差．
3.运用平方差公式分解因式的步骤
一判:根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面;
二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或单独一个字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套:套用平方差公式进行分解；
四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简的形式.
注意：
1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式
2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与这两数差的积的条件后，结果写成乎方差形式:而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差
知识点05 用完全平方公式分解因式
1．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
即： ．
2．完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和（或差）的平方．
3.因式分解的一般步骤
(1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式
(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了
注意：
1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用
2.结果是和的乎方还是差的平方由乘积项的符号确定，也可以是“_”，但两个平方项乘积项的符号可以是“+”的符号必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解。
典型案例探究
知识点01 因式分解
例1.（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解的定义，
根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式．
【详解】解：A． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解．
B． 左边为，正确因式分解应为，但选项B写为，分解不完整，错误．
C． 左边二次三项式被正确分解为，符合因式分解的定义．
D． 右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不属于因式分解．
综上，只有选项C属于因式分解．
故选：C．
【变式1】下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，即可求解．
【详解】解：A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意．
B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意．
C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意．
D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意．
故选：A．
【变式2】若二次三项式可分解为，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系．
先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值．
【详解】解：，
∵二次三项式可分解为，
∴，
解得，
故答案为：1．
【变式3】若是多项式因式分解的结果，则的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键．
先计算，由得到即可求得的值．
【详解】解：∵，
由题意得，，
，
．
故选：C．
知识点02 公因式
例1.与的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定方法：公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积．
根据公因式的定义求解即可．
【详解】解：与的公因式是．
故答案为：．
【变式1】写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了公因式．根据公因式的定义求解即可．
【详解】解：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式2】多项式和的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
故多项式和的公因式是，
故答案为：．
知识点03 提公因式法
例1.分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键．
（1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
知识点04 用平方差公式分解因式
例1.（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式．根据平方差公式的特征，即可求解．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
C 、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可.
【详解】解：，
故答案为：
【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式3】（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知能被到之间的两个整数整除，则这两个整数的和是 ．
【答案】
【分析】此题考查因式分解的应用，利用分解因式的知识进行分解，再结合题目能被至之间的两个整数整除即可得出答案．
【详解】解：
∵能被20 到 30 之间的两个整数整除，则这两个整数的和是
知识点05 用完全平方公式分解因式
例1.分解因式： ．
【答案】
【分析】此题考查了公式法分解因式，涉及完全平方公式，熟练掌握相关知识是解题的关键；整理后用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级上·福建厦门·期末）分解因式： ，计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，零次幂，负指数幂的运算，熟练掌握完全平方公式，实数的混合运算法则是解本题的关键．
第一个利用完全平方公式分解即可；第二个利用零指数、负指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
，
故答案为：；
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则代数式的值的平方根为 ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分解，代入x的值计算得到的值，再根据平方根定义求出答案．
【详解】∵
∴，
∴代数式的值的平方根为，
故答案为．
【变式3】观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（ ）
B．C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．从个体分析图形的面积：，从整体分析图形的面积：，两种方法均表示大长方形的面积，据此解题．
【详解】解：图形面积可表示为，
也可表示为，
根据题意得出可以得到一个用来分解因式的公式，
，
故选：D．
课后作业
A
一、单选题
1．下列多项式能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．对各选项逐一判断即可．
【详解】A． ，无法因式分解，不符合题意；
B． ，无法因式分解，不符合题意；
C． ，无法因式分解，不符合题意；
D． ，能够因式分解，符合题意；
故选：D．
2．已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（ ）
A．可能是0 B．一定是负数
C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形三边关系及因式分解，熟练掌握三角形三边关系及因式分解是解题的关键；由三角形三边关系可知，由可进行判断式子的正负性，进而问题可求解．
【详解】解：由三角形三边关系可知，
∴，
∴，
∴的值一定是负数；
故选：B．
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提取公因式法进行分解因式是解题的关键．运用提公因式法分解因式即可解答．
【详解】解：
，
，
故选：C．
4．如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【详解】解：，
．
故选：D ．
二、填空题
5．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．
先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】
故答案为：．
6．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．
先提公因式将原式化为，再利用平方差公式计算即可．
【详解】
故答案为：．
7．若可以因式分解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了公式法因式分解的逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
根据公式法分解因式的逆运算，把完全平方公式展开再利用对应项系数相等即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为．
8．已知实数a、b满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了求代数式的值，提公因式法分解因式，完全平方公式等知识，准确变形是关键．
首先提取公因式，再利用完全平方公式变形，将已知整体代入求出答案即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
三、解答题
9．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据多项式乘多项式法则进行展开，合并同类项，然后运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．如果，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，以及提取公因式，使用平方差公式化简是解决本题的关键．
根据平方差公式化简，再提取公因式即可求解．
【详解】解：，且，即，
，
即，
整理可得
，
，
．
11．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键．
先提取公因式，再将代入求解即可．
【详解】解：，
∴
．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可）
(2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
（1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果；
（2）利用（1）中结论求解即可；
（3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
．
B
一、单选题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解，根据因式分解的方法（提公因式法和公式法）一一分解因式即可；
【详解】解：A． ，故错误；
B． ，故错误；
C． 无法在整式范围内分解因式，故错误；
D． ，故正确；
故选：D．
2．若，则的值为（ ）
A．14 B．21 C．49 D．56
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式，幂的乘方和积的乘方，先利用幂的乘方与积的乘方得到原式，再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
3．若是的一个因式，则的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合平方差的形式是解题的关键．
根据多项式结构特点整理，判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解．
【详解】解：，它的一个因式
分解时是利用平方差公式，
．
故选：C．
4．多项式可分解因式为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∴M为：，
故选：D．
二、填空题
5．已知，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入计算．
【详解】解：
，
把，代入得：
原式 ，
故答案为：．
6．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
7．若x、y满足的，则m的最小值 ．
【答案】66
【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解．
本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键．
【详解】解：由题意得，
，，
的最小值为66；
故答案为：66．
8．已知，，则 ．
【答案】7
【分析】先根据立方和公式求出的值，再求出的值，最后根据完全平方公式求出的值．本题主要考查了立方和公式、完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键．
【详解】解：∵，且，，
∴，即．
又∵，
∴．
将代入，得，
解得．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题
9．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）提公因式即可；
（2）提公因式即可；
（3）把看成整体，利用完全平方公式即可分解；
（4）利用完全平方公式即可分解．
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
（4）解：原式．
10．应用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，提公因式的应用，准确计算为解题关键．
（1）通过提取公因式简化计算；
（2）先对前两项提取公因式，再对结果提取公因式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
11．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查因式分解和代数式求值，先对进行因式分解，再整体带入求值．
【详解】解：，
原式．
故答案为：．
12．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知，则的值为______；
（2）计算：；
【拓展】计算：．
【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式；
【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式．
故答案为：
【应用】（1）∵，
∴．
，且，
．
故答案为：3
（2）
．
【拓展】原式
．
C
1．整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉——伯克霍夫
请解答下列整数问题：
(1)写出满足的一对正整数m和n的值：________．
(2)是否存在正整数m和n，使得，若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
(3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为l，所有各面的面积值之和为s，体积的值为v，已知，则所有可能的v的值是________．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)存在，，，
(3)40，76，80，84，140
【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键是灵活运用因式分解解决问题．
（1）先将原式因式分解为，再根据为正整数，得到，写出符合题意的值即可；
（2）将原式因式分解为，再枚举得到3组二元一次方程组，再分别求解即可；
（3）设长方体的长、宽、高为a，b，c， ，由题意得：，由于，则，而，故得到，再枚举求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为正整数，
∴
∴的值可以为：
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：存在，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴或或，
解得： ，，；
（3）解：设长方体的长、宽、高为a，b，c， ，
由题意得：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴或或或或，
分别解得：或或或或，
∴或76或80或84或140．
2．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数；
材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数．
(1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数．
(2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数．
(3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数．
【答案】(1)是和谐数，平方差为的连续的两个奇数是、；
(2)见解析
(3)，，，，，
【分析】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，理解连续平方差数的特点是解题的关键．
根据和谐数的定义即可判断；
设连续的两个奇数分别为，，利用平方差公式展开，即可得出结论；
设这个三位数为均为小于的自然数，且，根据两个新定义及的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数．
【详解】（1）是和谐数，理由如下：
，
是和谐数．
平方差为的连续的两个奇数是、；
（2）证明：设连续的两个奇数分别为，，
则，
任何一个和谐数一定是的倍数；
（3）设这个三位数为均为小于的自然数，且，
则是整数，且是整数，，
满足条件的，，有：
，，此时三位数为；
，或，此时三位数为或；
，，此时三位数为；
，，，此时三位数为；
，，，此时三位数为．
综上所述，满足条件的所有三位数有，，，，，．
3．定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：．
(1)求的值；
(2)若，则______；
(3)若有理数，满足，且．
①求的值；
②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)①2；②
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．
（1）根据计算即可；
（2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可；
（3）①根据得出，再结合即可求出；
②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解： ；
∵，
∴
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
②由题意可知：，，，围成的图形的面积
，
将，代入可得，．
4．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________．
(2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
(3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)当，时，原式有最小值，最小值为5
(3)当时，原式有最小值，最小值为23．
【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法．
（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，，
∴，
∴当，时，有最小值，最小值为5．
即，时，原式有最小值，最小值为5．
（3）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23．中小学教育资源及组卷应用平台
专题11.5 因式分解
基础知识夯实
知识点01 因式分解
1.定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
2.整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互逆的变形
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性
注意：
1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积
2.因式分解是恒等变形
3.因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止.
知识点02 公因式
1．定义 多项式 中的每一项都含有一个相同的因式 ，我们称之为公因式．
2．公因式的确定
（1）确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数．
（2）确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中的最低指数．
（3）若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式．如 的公因式是
注意：
1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.
2.公因式可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式.
3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
知识点03 提公因式法
1．定义 把公因式提出来，多项式 就可以分解成两个因式 和 的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．
用字母表示为 ．
2．提公因式法的一般步骤
（1）找出公因式，就是找出各项都含有的因式；
（2）确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
（3）写成积的形式．
注意：
1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律
2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商
知识点04 用平方差公式分解因式
1．平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即： ．
2．平方差公式的特点
（1）等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
（2）等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差．
3.运用平方差公式分解因式的步骤
一判:根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面;
二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或单独一个字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套:套用平方差公式进行分解；
四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简的形式.
注意：
1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式
2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与这两数差的积的条件后，结果写成乎方差形式:而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差
知识点05 用完全平方公式分解因式
1．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
即： ．
2．完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和（或差）的平方．
3.因式分解的一般步骤
(1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式
(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了
注意：
1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用
2.结果是和的乎方还是差的平方由乘积项的符号确定，也可以是“_”，但两个平方项乘积项的符号可以是“+”的符号必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解。
典型案例探究
知识点01 因式分解
例1.（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】若二次三项式可分解为，则m的值为 ．
【变式3】若是多项式因式分解的结果，则的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
知识点02 公因式
例1.与的公因式是 ．
【变式1】写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可）
【变式2】多项式和的公因式是 ．
知识点03 提公因式法
例1.分解因式： ．
【变式1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
知识点04 用平方差公式分解因式
例1.（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ．
【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ．
【变式3】（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知能被到之间的两个整数整除，则这两个整数的和是 ．
知识点05 用完全平方公式分解因式
例1.分解因式： ．
【变式1】（23-24八年级上·福建厦门·期末）分解因式： ，计算： ．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则代数式的值的平方根为 ．
【变式3】观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（ ）
B．C．
D．
课后作业
A
一、单选题
1．下列多项式能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（ ）
A．可能是0 B．一定是负数
C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．分解因式： ．
6．计算： ．
7．若可以因式分解为，则的值为 ．
8．已知实数a、b满足，则的值为 ．
三、解答题
9．因式分解：
(1)；
(2)．
10．如果，且，求的值．
11．已知，求的值．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可）
(2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可）
B
一、单选题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则的值为（ ）
A．14 B．21 C．49 D．56
3．若是的一个因式，则的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．0
4．多项式可分解因式为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知，则 ．
6．因式分解： ．
7．若x、y满足的，则m的最小值 ．
8．已知，，则 ．
三、解答题
9．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
10．应用简便方法计算：
(1)；
(2)．
11．已知，求的值．
12．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知，则的值为______；
（2）计算：；
【拓展】计算：．
C
1．整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉——伯克霍夫
请解答下列整数问题：
(1)写出满足的一对正整数m和n的值：________．
(2)是否存在正整数m和n，使得，若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
(3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为l，所有各面的面积值之和为s，体积的值为v，已知，则所有可能的v的值是________．
2．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数；
材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数．
(1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数．
(2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数．
(3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数．
3．定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：．
(1)求的值；
(2)若，则______；
(3)若有理数，满足，且．
①求的值；
②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积．
4．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________．
(2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
(3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
