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专题01 幂的运算五大题型
题型一：同底数幂的乘法及其逆用
1．计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．
利用同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘．
根据同底数幂相乘的计算规则即可求出的值．
【详解】解：，
，
．
故选：．
3．已知，那么a、b、c之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据得，可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
4．化简，结果为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，合并同类项，能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键．
由同底数幂乘法运算得，提出，得到，即可求解．
【详解】解： ．
故选：A.
5．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数：
甲袋：个，乙袋：个，丙袋：个，
一共有个球，且调整后三只袋中球的个数相同，
调整后每只袋中球数为：（个），
，，
，，
．
故选：C．
6．若实数x满足，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】本题考查的是代数式的求值，同底数幂的乘法逆用，找到整体进行降次是解题的关键．把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，
所以：
．
故选C．
7．已知，则的值为 ．
【答案】64
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，根据代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：64．
8．已知，，，为正整数，则 （用含，的代数式表示）．
【答案】/
【分析】该题考查了同底数幂乘法法则，根据同底数幂乘法逆运用即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
9． ．
【答案】54
【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用同底数幂的乘法法则，有理数的混合运算法则进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：54．
10．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)（理解）根据上述规定，填空：________，________；
(2)（说理）记，，，试说明：；
(3)（应用）若（且），求的值．
【答案】(1)3，4
(2)见解析
(3)80
【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解∶设，，，且，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型二：幂的乘方及其逆用
11．实数满足等式，则（ ）
A．20 B．100 C．200 D．1000
【答案】B
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识．
根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题．
【详解】解：，
，
即，
整理得，
；
故选：B．
12．式子的运算结果与下列各个选项运算结果不一致的是（ ）
A．2个相乘 B．6个a相乘
C．8个a相乘 D．4个相乘
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的定义、同底数幂的乘法和乘方，掌握相应的运算法则是关键．利用幂的乘方，同底数幂的乘法和乘方法则进行计算，并对此结果即可．
【详解】解：
A．2个相乘结果为：；
B．6个a相乘为；
C．8个a相乘为；
D．4个相乘为，
综上所述，选项B的运算结果和式子的运算结果不一致．
故选：B．
13．已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数大小比较以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
而，
∴．
故选：B．
14．若，求 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，解一元一次方程，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据合并同类项运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
16．我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ．
【答案】32
【分析】本题考查了新运算定义，同底数幂相乘，幂的乘方，能灵活运用幂的运算法则进行计算是解此题的关键．
根据题意得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：根据题意得：，
所以，
即，
所以
，
故答案为：32．
17．若，则“？”是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：，
“？”是3．
故答案为：3．
18．已知，，试比较a，b，c的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，然后比较底数即可得答案．
【详解】解：∵ ，，，
∵，
∴，即有．
19．（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）800；（2）
【分析】本题考查了初中数学中的幂的运算性质、指数法则及同底数幂的运算法则．解题的关键在于灵活运用幂的乘方和除法法则，将目标表达式转化为已知条件的形式，同时在第二问中通过将不同底数的幂转换为同底数幂，简化方程并求解指数，最终代入计算得到结果．
（1）需要利用幂的运算性质，将拆分为已知的和的组合形式；
（2）将不同底数的幂转换为同底数幂，从而简化方程，求出指数之和后代入计算．
【详解】解：（1），
．
（2），
，
．
20．现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有．
(1)求的值；
(2)若，求的值（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键．
（1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可；
（2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果．
【详解】（1）解：由题意，得；
（2）解：
．
题型三：积的乘方及其逆用
21．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是积的乘方运算，将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘即可．
【详解】解：，
故选C．
22．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：．
故答案为：B ．
23．若是的因数，则n最大可以取 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了积的乘方，一元一次不等式组的应用．根据积的乘方可得，再根据是的因数，分别求出有因数2，3，5的个数，可得到关于n的不等式组，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴有因数2的个数为：，
∵，
∴有因数3的个数为：，
∵，
∴有因数5的个数为：，
∴，
∴，
∴n最大可以取16．
故答案为：16．
24．计算：= ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
25．已知n是正整数，且，则 ．
【答案】184
【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：.
26．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将原式化为，再逆用积的乘方计算即可；
【详解】解：原式
．
27．计算的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，把原式化为，再计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
28．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算、含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）先利用乘法运算律，再利用积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可；
（2）根据积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
29．已知等式，求x的值．
【答案】
【分析】此题考查了同底数幂的逆运算，积的乘法的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先利用同底数幂的逆运算将化简为，利用积的乘法的逆运算得到，然后得到，进而求解即可．
【详解】解：∵
，
∵
∴
∴．
30．计算：．
【答案】1
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
根据积的乘方的逆运算对原式进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：原式
．
题型四：同底数幂的除法及其逆用
31．计算所得的结果是（）（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂相除，根据幂的乘方，同底数幂相除的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：A
32．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是：
（1）根据同底数幂相除法则计算即可；
（2）根据同底数幂相除法则、积的乘方法则计算即可；
（3）先把变形为，根据同底数幂相除法则计算即可．
【详解】解:（1）原式，
故答案为：；
（2）原式
，
故答案为：；
（3）原式
，
故答案为：．
33．若m，n满足，则 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查了同底数幂相除，幂的乘方的逆用，
先求出，再根据解答即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：32.
34．若，，的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，根据同底数幂的除法运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：2．
35．已知，，则的值为 ．
【答案】4.5
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算将化为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：4.5．
36．已知，则 ．
【答案】16
【分析】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方运算．直接利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：16．
37．已知实数满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可．
本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：4051．
38．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
．
39．规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以．
(1)______， ______， ______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以．
所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法说明：．
【答案】(1)；；；
(2)见解析．
【分析】本题考查幂的运算性质，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．
（1）根据规定的运算即可求得答案；
（2）设，，，然后利用同底数幂除法法则进行说明即可．
【详解】（1）解：，，，
，，，
故答案为：；；；
（2）证明：设，，，
那么，，，
则，
即，
那么，
即．
40．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)字母m，n，p之间的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）逆用幂的乘方，进行计算即可；
（2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可；
（3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
题型五：幂的四则运算的综合
41．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法与除法，幂的乘方及积的乘方，掌握这些运算法则是解题的关键；依据上述幂的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，计算不正确，不符合题意；
C、，计算不正确，不符合题意；
D、，计算不正确，不符合题意；
故选：A．
42．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，正确，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
43．已知，，则 ．
【答案】/0.75
【分析】先计算，再代入，计算解题即可．
【详解】解：，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及幂的乘方、幂的除法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
44．若，则 ．
【答案】3
【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键．
45．按要求计算下面各题：
(1)已知，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值．
【答案】(1)64
(2)56
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可；
（2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】（1）解：
当，
则原式．
（2）解：
当，
则原式．
46．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．
（1）先计算同底数幂的乘除法，幂的乘方，然后再合并同类项即可．
（2）先根据单项式乘多项式，多项式乘以多项式计算，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
47．化简：
(1)(－5mn)·(－2n)3；
(2)(－2a2b)2·(－3a2b2)÷(－6a3b3)；
(3)(x－y)4·(y－x)3÷(x－y)5．
【答案】(1)40mn4
(2)2a3b
(3)
【分析】（1）利用整式的混合运算法则、幂运算法则求解即可；
（2）利用整式的混合运算法则、幂运算法则求解即可；
（3）首先转化为同底数幂，再利用幂运算法则求解即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【点睛】本题考查整式的幂运算和混合运算法则，要熟记同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
48．（1）填空
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明理由．
（3）计算；
【答案】（1）0， 1，2；（2）2n-2n-1=2n-1，理由见解析；（3）2101-1．
【分析】（1）根据乘方的运算法则计算即可；
（2）根据式子规律可得2n-2n-1=2n-1，然后利用提2n-1可以证明这个等式成立；
（3）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式，相减即可．
【详解】解：（1）21-20=2-1=20，22-21=4-2=21，23-22=8-4=22；
故答案为： 0， 1，2；
（2）第n个等式为：2n-2n-1=2n-1，
∵左边=2n-2n-1=2n-1（2-1）=2n-1，
右边=2n-1，
∴左边=右边，
∴2n-2n-1=2n-1；
（3）设a=20+21+22+23+…+299+2100．①
则2a=21+22+23+…+299+2100+2101②
由②-①得：a=2101-1
∴20+21+22+23+…+298+2100=2101-1．
【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2n-2n-1=2n-1成立．
49．计算：．
【答案】
【分析】先运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方进行化简，然后再合并同类项，最后算除法即可．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂除法，灵活应用相关运算法则成为解答本题的关键．
50．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可得出结果；
（2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，再把（1）中的结论代入求值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：
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专题01 幂的运算五大题型
题型一：同底数幂的乘法及其逆用
1．计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么a、b、c之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．化简，结果为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
6．若实数x满足，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．已知，则的值为 ．
8．已知，，，为正整数，则 （用含，的代数式表示）．
9． ．
10．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)（理解）根据上述规定，填空：________，________；
(2)（说理）记，，，试说明：；
(3)（应用）若（且），求的值．
题型二：幂的乘方及其逆用
11．实数满足等式，则（ ）
A．20 B．100 C．200 D．1000
12．式子的运算结果与下列各个选项运算结果不一致的是（ ）
A．2个相乘 B．6个a相乘
C．8个a相乘 D．4个相乘
13．已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B．
C． D．
14．若，求 ．
15．计算的结果为 ．
16．我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ．
17．若，则“？”是 ．
18．已知，，试比较a，b，c的大小．
19．（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
20．现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有．
(1)求的值；
(2)若，求的值（结果用科学记数法表示）．
题型三：积的乘方及其逆用
21．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
23．若是的因数，则n最大可以取 ．
24．计算：= ．
25．已知n是正整数，且，则 ．
26．计算： ．
27．计算的值是 ．
28．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
29．已知等式，求x的值．
30．计算：．
题型四：同底数幂的除法及其逆用
31．计算所得的结果是（）（ ）
A． B． C．0 D．
32．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
33．若m，n满足，则 ．
34．若，，的值为 ．
35．已知，，则的值为 ．
36．已知，则 ．
37．已知实数满足，则的值为 ．
38．计算：．
39．规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以．
(1)______， ______， ______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以．
所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法说明：．
40．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)字母m，n，p之间的数量关系为______．
题型五：幂的四则运算的综合
41．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
42．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
43．已知，，则 ．
44．若，则 ．
45．按要求计算下面各题：
(1)已知，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值．
46．计算：
(1)
(2)
47．化简：
(1)(－5mn)·(－2n)3；
(2)(－2a2b)2·(－3a2b2)÷(－6a3b3)；
(3)(x－y)4·(y－x)3÷(x－y)5．
48．（1）填空
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明理由．
（3）计算；
49．计算：．
50．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
