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专题02 与乘法公式有关的五大题型
题型一：与平方差公式有关的运算
1．的个位数字为（ ）
A．9 B．7 C．3 D．1
2．下列各式中能用平方差公式的计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算 的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
4．（1）已知，则的值为 ．
（2）计算： ．
5．已知，则的值为 ．
6．仔细观察下列等式：
第一个：
第二个：
第三个：
第四个：
……
(1)请你写出第六个等式：________；
(2)运用上述规律，计算：．
7．计算：．
8．请观察下列算式，并解答下列问题．
①；②；③；
(1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______；
(2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是的倍数．
9．计算：
10．计算：
题型二：与完全平方公式有关的运算
11．下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
12．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ）
A． B． C． D．
14．根据完全平方公式填空：
（1）( )( )×( )+( ) ；
（2）( )( )×( )+( ) ；
（3）( )( )×( )+( ) ．
15． （ ）．
16．计算：．
17．简便运算：
(1)
(2)
18．化简：
(1)；
(2)．
19．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①；
②；
③；
④；
…
(1)计算：______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
20．若，是正整数，那么等式能否成立？若能成立，请写出一组满足等式的，的值；若不成立，请说明理由．
题型三：涉及乘法公式的变形求值
21．若，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
22．，则的值是（ ）
A．3 B． C．6 D．
23．已知m满足，则（ ）
A．5 B． C．6 D．
24．若，，则（ ）
A．10 B．14 C．52 D．64
25．若 ，则代数式 = ；
26．已知，则的值是 ．
27．当时，代数式的值为 ．
28．（1）当，时，式子的值是_________；
（2）已知，则的值是_________．
29．代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ．
30．已知，．求：
(1)；
(2)的值．
31．（1）已知，求的值．
（2）若，求的值．
32．已知实数，，满足．
(1)当，时，求的值；
(2)若的最大值与最小值的差为6，求的值．
题型四：乘法公式与几何的综合运用
33．王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是（ ）
A． B．
C． D．
34．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．144 B．72 C．68 D．3
35．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）．
36．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是 ．
37．如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ．
38．【知识生成】
（1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为________，图②中阴影部分的面积可表示为________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：________；
【知识应用】
（2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式；
【知识迁移】
（3）请你根据以上的代数恒等式，简便计算下列算式：
①；
②．
39．从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；
(2)已知，，求的值．
40．题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则___________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
（3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________．
41．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
(1)请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
(2)当，时，求对应面积的值．
42．为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题：
(1)图②中，阴影部分的面积是 ．
(2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系： ．
(3)应用：已知，，求，．
43．综合与实践．
图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ；
(2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值；
(3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且
，求图中阴影部分的面积．
44．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______；
(2)若，，求；
(3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
题型五：涉及乘法公式的其它运算及应用
45．如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
46．现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是 ；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为 ．
47．若是一个完全平方式，那么m的值是 ．
48．若是一个完全平方式，则
49．若，则a的值为 ．
50．【发现问题】
我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值．
【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由．
【解决问题】
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为___________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值．
(4)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？
51．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题．
(1)计算=__________．
(2)代数式为完全平方式，求k的值．
52．【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ；
①； ②； ③ ； ④．
【类比探究】
（2）若和都是完全平方式，求的值；
【延伸提升】
（3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案）
53．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定．
例如，；．
若为有理数，请解答下列问题：
(1)若是一个完全平方式，求的值；
(2)若，，求的值．
54．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)如果是一个完全平方式，求的值；
(3)若满足，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 与乘法公式有关的五大题型
题型一：与平方差公式有关的运算
1．的个位数字为（ ）
A．9 B．7 C．3 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算，解题关键是掌握平方差公式．
先利用平方差公式计算，化简算式后，再求出（为正整数）的个位数字的规律，然后利用规律求解．
【详解】解：
∵，，，，，…
∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环，
，
∴的个位数字为，
故选：B．
2．下列各式中能用平方差公式的计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两个数的和乘以这两个数的差的标准去判断解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：A. ，式子中有四个不同的数，不符合公式要求的只有两个相同的数，不符合题意；
B. ，都是差，没有两个数的和，不符合题意；
C. ，符合要求；
D. 都是两个数的和的形式，不符合要求；
故选：C．
3．计算 的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握平方差公式．
直接运用平方差公式进行运算．
【详解】解：
故选：A．
4．（1）已知，则的值为 ．
（2）计算： ．
【答案】 6 /
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
（1）直接根据平方差公式，求值即可；
（2）根据平方差公式，进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
故答案为：6；
（2）
．
故答案为：．
5．已知，则的值为 ．
【答案】36
【分析】本题考查平方差公式，积的乘方逆运算，将原式进行正确地变形是解题的关键．将原式利用积的乘方逆运算法则结合平方差公式变形后代入数值计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
6．仔细观察下列等式：
第一个：
第二个：
第三个：
第四个：
……
(1)请你写出第六个等式：________；
(2)运用上述规律，计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键．
对于（1），根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第六个等式
对于（2），根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值．
【详解】（1）解：第一个：
第二个：
第三个：
第四个：
第五个：
∴第六个：，
故答案为：
（2）解：
．
7．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查平方差公式，运用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
8．请观察下列算式，并解答下列问题．
①；②；③；
(1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______；
(2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是的倍数．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
【分析】本题考查算式规律问题，平方差公式，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键．
（1）根据题干中的等式写出第④个算式即可；
（2）根据题意写出平方差，然后根据已知等式写出等式，再根据已知条件进行说明即可．
【详解】（1）解：由题干中的等式可得第④个算式为，
故答案为：；
（2）解：设两个连续奇数为，其中为正整数，
则，
为正整数，
是的倍数，即结果是的倍数．
9．计算：
【答案】
【分析】本题考查平方差公式，实数的混合运算，利用平方差公式将原式变形为，再化简计算即可．
【详解】解：原式
．
10．计算：
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．根据平方差公式，逆用乘法分配律，进行计算即可．
【详解】解：
．
题型二：与完全平方公式有关的运算
11．下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的特征判断即可．
【详解】解：A．可以利用平方差公式计算，故不符合题意；
B．可以利用平方差公式计算，故不符合题意；
C．可以利用多项式乘以多项式法则计算，故不符合题意；
D．可以利用完全平方公式计算，故符合题意；
故选：D．
12．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式．
直接利用完全平方公式计算．
【详解】解：，
故选：A．
13．下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用完全平方公式进行判断即可得出答案．
【详解】解：，
适用于完全平方公式．
故选：D．
14．根据完全平方公式填空：
（1）( )( )×( )+( ) ；
（2）( )( )×( )+( ) ；
（3）( )( )×( )+( ) ．
【答案】 1 1 1 1
【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据完全平方公式进行解答即可；
（3）根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
故答案为：，，1，1，，，，1，1，，，，，，．
15． （ ）．
【答案】 1
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】解：．
故答案为：；1．
16．计算：．
【答案】．
【分析】本题考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式：“”是解题的关键．运用完全平方公式计算即可．
【详解】解：原式
．
17．简便运算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的知识点是平方差公式，完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）将原式变形后利用平方差公式计算即可；
（2）将原式变形后利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
18．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，积的乘方的逆运算，掌握知识点是解题的关键；
（1）先根据积的乘方的逆运算，将原式化为，再由平方差公式，完全平方公式，逐步计算即可；
（2）先将原式化为，再由平方差公式，完全平方公式，逐步计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
19．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①；
②；
③；
④；
…
(1)计算：______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【答案】(1)8；12
(2)
(3)
【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律；（1）由题意可直接进行求解；
（2）根据题意及完全平方公式可找出规律；
（3）由（2）中的规律可进行求解．
【详解】（1）解：；
故答案为8；12；
（2）解：∵①；
②；
③；
④；
……
∴；
故答案为；
（3）解：由（2）可得：
原式．
20．若，是正整数，那么等式能否成立？若能成立，请写出一组满足等式的，的值；若不成立，请说明理由．
【答案】该等式不成立，理由见解析
【分析】通过对等式进行变形，结合正整数的性质，利用不等式来推导是否存在满足等式的正整数，．本题主要考查了完全平方公式的应用以及正整数的性质，熟练掌握完全平方公式和正整数的连续性是解题的关键．
【详解】解：该等式不成立．理由如下：
假设等式成立，即，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∵是正整数，
∴与为连续正整数，不存在．
∴假设不成立，即不成立．
题型三：涉及乘法公式的变形求值
21．若，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的展开和方程组的方法，代数式求值，熟练掌握解方程组的方法是关键．
先用完全平方公式展开，再用方程组的方法解出，代入原式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
故选:C．
22．，则的值是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式，设，则，解得：，再根据，即可得出答案．
【详解】解：设，则，
整理得，
解得：，
∵，
∴，
故选：A．
23．已知m满足，则（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是根据运算法则来计算．设，，得到和的值，再利用完全平方公式求得的值，即是答案．
【详解】解：设，，且满足，
则，，
．
故选：B．
24．若，，则（ ）
A．10 B．14 C．52 D．64
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式和立方和公式以及因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用立方和公式结合完全平方公式推导即可得解．
【详解】解：由立方和公式可得
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴
故选：C.
25．若 ，则代数式 = ；
【答案】34
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式整理代数式，再把已知的代数式的值代入，求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：34．
26．已知，则的值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．将已知式子两边平方，利用完全平方公式进行计算即可求得．【详解】解： ，
，
，
，
故答案为：7．
27．当时，代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】根据得，根据，变形计算即可.
本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练变形是解题的关键.
【详解】解：，得，
故
故答案为：3.
28．（1）当，时，式子的值是_________；
（2）已知，则的值是_________．
【答案】（1）9（2）64
【分析】本题考查平方差公式的灵活应用，求代数式的值，熟记平方差公式是解本题的关键．
（1）先化简，再把，，代入计算即可；
（2）先变形，再代值计算即可．
【详解】解：（1）．
，
当，时，原式，
故答案为：9；
（2）．
当时，原式.
故答案为：64．
29．代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ．
【答案】 2 3
【分析】本题主要考查了通过对完全平方公式变形求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
依据题意得，，从而可得当时，代数式取最小值为2；又，从而可得当时，代数式取最大值为3，进而得解．
【详解】解：由题意得，，
对于任意实数m都有，
，
当时，则，即，
故代数式取最小值为，
依题意，，
对于任意实数m都有，
∴，
当时，则，即，
故代数式取最大值为
故答案为：2；.
30．已知，．求：
(1)；
(2)的值．
【答案】(1)5
(2)1
【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键．
（1）根据完全平方公式得再把两式子相加，进行计算即可．
（2）根据完全平方公式得再把两式子相减，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
上两式子相加得，
∴．
（2）解：∵，，
∴
上两式子相减得，
∴．
31．（1）已知，求的值．
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了完全平方公式的公式变形，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键．
（1）根据已知条件得出，再把变形为，再代入计算即可；
（2）由得，变形后两边平方即可．
【详解】解：∵，
，
解得，
；
（2）由题可知，，则，
等式两边同时除以，则，
，
两边同时平方，得，
．
32．已知实数，，满足．
(1)当，时，求的值；
(2)若的最大值与最小值的差为6，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键．
（1）代入， 得到，再利用完全平方公式计算即可；
（2）将变形为和，利用完全平方的非负性分别求出的最大值和最小值，结合的最大值与最小值的差为6，解方程求出的值即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
的最大值为，最小值为，
又的最大值与最小值的差为6，
，
解得：，
的值为．
题型四：乘法公式与几何的综合运用
33．王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式乘法的几何背景，用含a，b的式子分别表示出选项中每个阴影图形的面积，即可判断出正确答案．
【详解】解：A．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，可以验证，不合题意；
B．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，可以验证，不合题意；
C．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，不能验证，符合题意；
D．左边图形中阴影面积为：，右边图形中阴影面积为：，可以验证，不合题意；
故选:C．
34．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．144 B．72 C．68 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过对完全平方公式变形可得，再利用阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：B．
35．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，
∴，，
即，，
∴
故答案为∶.
36．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【详解】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：，
拼成的矩形的面积是：，
∴根据剩余部分的面积相等得：，
故答案为：．
37．如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
．
故答案为：．
38．【知识生成】
（1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为________，图②中阴影部分的面积可表示为________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：________；
【知识应用】
（2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式；
【知识迁移】
（3）请你根据以上的代数恒等式，简便计算下列算式：
①；
②．
【答案】（1）；；；（2）；（3）①159999；②
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积．
（1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式．
（2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式．
（3）①先把用平方差公式变形，再计算与401的乘积；②先提取公因式99，再用平方差公式继续化简计算．
【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为，
图②中阴影部分的面积可表示为，
恒等式，
故答案为：，，；
（2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为，
新长方体体积为，
正方体挖去一个小长方体后的体积为，
根据变化前后几何体的体积相等，
可得，
代数恒等式为；
（3）①原式
；
②原式
．
39．从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键．
（1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可；
（2）由，可得，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：，
∴图1 的阴影部分面积为：，
图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：，
∴图2长方形的面积为：，
∴验证的等式是；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
40．题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则___________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
（3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________．
【答案】（1）43；（2）；（3）52
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解题的关键：
（1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可；
（2）设，，利用完全平方公式变形计算即可；
（3）易得，，，设，，利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】（1）解：设，，则，，
，
；
（2）设，，则
，
，
，
，
，
解得：，
；
（3），，，
，，
，
，
设，，
则，，
，
．
41．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
(1)请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
(2)当，时，求对应面积的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，根据图形，正确列出算式是解题的关键．
（1）根据阴影部分面积=长方形面积正方形面积，列算式，再进行整式的混合运算；
(2)在第(1)问的基础上代值计算，一定要注意运算的顺序是先计算乘方，后计算乘法，最后才是加法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式．
42．为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题：
(1)图②中，阴影部分的面积是 ．
(2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系： ．
(3)应用：已知，，求，．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键．
（1）利用面积公式列式即可；
（2）根据面积的和差关系列式即可；
（3）根据完全平方公式的变形求解即可；
【详解】（1）解：阴影部分是边长为的正方形，
阴影部分的面积是；
故答案为：；
（2）由图可得，
故答案为：；
（3）∵，，
∴，
∴．
43．综合与实践．
图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ；
(2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值；
(3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且
，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)36
(3)10
【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键．
（1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答；
（2）由求出的值；
（3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可．
【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为，
因此有．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：阴影部分的面积为：
∵，
∴
．
∴阴影部分的面积为10．
44．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______；
(2)若，，求；
(3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形的面积求法，完全平方公式的灵活应用是解题的关键．
（1）利用两个图形分别求出个长方形的面积，从而建立等量关系；
（2）利用（1）的关系代入求值即可；
（3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可．
【详解】（1）解：第一图个长方形的面积为，
第二个图个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得；
（3）解：一个长方形的周长为，面积为，
，，
．
题型五：涉及乘法公式的其它运算及应用
45．如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解．
根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值．
【详解】∵二次三项式是完全平方式，
又∵完全平方式的形式为
∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即．
两边开平方得：．
当时，
两边同乘2得：
化简得：，此方程无解．
当时，即
两边同乘2得：
移项得：
合并同类项得：
解得：．
故选：D．
46．现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是 ；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为 ．
【答案】 9990 7062
【分析】本题综合考查了新定义下的实数运算、整除性、完全平方数等数论相关知识点，解决本题的关键是需要通过代数变形、分类讨论并熟练理解“1234 数”的概念．
①对于求最大的“1234 数”，要使四位数最大，应从高位到低位尽量取较大数字，根据来确定各个数位数字；
②对于求满足条件的M的和，先表示出M和，进而得出的表达式，再结合以及是完全平方数来确定的值．
【详解】解：∵要使四位数最大，千位数字a要尽可能大，a最大为9，
百位数字b也应尽可能大，设，
由，将，代入可得，即，
∵，为整数且，，
要使c尽可能大，从开始尝试，若，
∴，
∴，
解得，
所以最大的“1234数”是9990；
设“1234数”，
∴；
∴交换百位与千位、十位与个位得，且，
∴，
∵为整数，即，
故需为整数．
需是11的倍数，
∵是完全平方数．
，
∴，
需为偶数的平方，因此需为．
当时，
可能的组合：，
∵，故不符合题意，排除．
时，
可能的组合：，
∵，故需舍去．
∵，解得唯一整数解．
检查：仅时，，可得 ．
∴，符合．
时，
可能的组合：．
，解得整数解．
检查：仅且时，，对应．
∴，符合题意．
满足条件的M为4202和2860，其和为．
故答案为：9990，7062．
47．若是一个完全平方式，那么m的值是 ．
【答案】21或
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可.
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
即，
解得或.
故答案为：21或.
48．若是一个完全平方式，则
【答案】
【分析】本题考查完全平方，将原式变形为，结合完全平方式的特征可得，据此即可解答本题．
【详解】解：对变形，得，
由完全平方式的特点，得，
所以．
故答案为：．
49．若，则a的值为 ．
【答案】16
【分析】解题思路为利用完全平方公式将展开，然后与等式右边的式子对比，求出的值．本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
【详解】解：
又
对比可得．
故答案为:．
50．【发现问题】
我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值．
【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由．
【解决问题】
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为___________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值．
(4)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)米
【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，列代数式．
（1）由完全平方公式，结合，可得当，时，，从而可得当时，的最小值．
（2）对进行整理，利用，即可求得最小值；
（3）根据题意可知，，设，可得的表达式，利用，即可求得的最小值；
（4）设花园的长为米，则宽为米，可得篱笆总长为，利用，即可求得所需篱笆总长的最小值．
【详解】（1）解：∵当，时，，
∴，
∴，
∴当，时，，当且仅当时取等号，
∴当时，，
∴当时，的最小值为．
故答案为：．
（2）解：∵当，时，，
∴当时，，
∴当时，求的最小值为．
（3）解：用表示图形的面积，例如，四边形的面积为，
根据题意可知，，
设，
∵、的面积分别为和，
∴，
∴，
∴，
∴四边形面积的最小值为．
（4）解：设花园的长为米，，则宽为米，
篱笆总长为（米）
∴为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为米．
51．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题．
(1)计算=__________．
(2)代数式为完全平方式，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算，
对于（1），根据题中的新定义解答即可；
对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案.
【详解】（1）解：根据题意，原式；
故答案为：；
（2）解：原式，
∵为完全平方公式，即
∴，
解得.
52．【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ；
①； ②； ③ ； ④．
【类比探究】
（2）若和都是完全平方式，求的值；
【延伸提升】
（3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案）
【答案】（1）①③；（2）或；（3），，，
【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可；
（2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果；
（3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解．
本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
【详解】解：（1）①，
②，
③ ，
④ ．
∴是完全平方式的有①③．
故答案为：①③．
（2）∵和都是完全平方式，
∴，
∴，
，
∴，
当时，，
当时，，
∴的值为或；
（3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，．
53．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定．
例如，；．
若为有理数，请解答下列问题：
(1)若是一个完全平方式，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键：
（1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值；
（2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解．
【详解】（1）解： ．
因为是一个完全平方式，
所以．所以或．
（2）因为，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以.
54．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)如果是一个完全平方式，求的值；
(3)若满足，求的值．
【答案】(1)2
(2)7或
(3)80
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键．
（1）由得，即可代值求解；
（2）由题意得或，即可求解；
（3）由，据此即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
（2）解：∵是一个完全平方式，
即是一个完全平方式，
∴或．
解得或．
所以的值为7或．
（3）解：∵，
而，
，
∴．
∴．
