北师大版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 第1课时 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时
北师大版数学八年级上册
学习目标
1.通过度量、数格子等方法，探索直角三角形的三边关系，发现勾股定理.
2.在有理数范围内，能借助勾股定理计算直角三角形中未知边的长度.
3.通过阅读勾股定理的相关文本，了解勾股定理的历史，感受古代中国在数学上的发展，增强文化自信.
教学设计的基本环节：
协作破冰
问题构建
情境启航
教师示范
巩固拓展
当堂检测
反思总结
作业设计
情境启航
从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？
数学抽象
在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？
问题构建
问题1：请大家在纸上画出上面的三角形，画完后，和小伙伴进行对比，你有什么发现？
大家画出来的三角形都全等.
追问1：全等的理由什么？你有怎样的猜想
SAS,当直角三角形有两边确定了以后，第三条边也随之确定.
追问2：确定的两边可以分为几种情况，都能确定第三条边吗
分两种情况.已知两条直角边，一条直角边和斜边.
不妨选取已知两条直角边的情况开始研究
在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？
问题构建
问题2：度量你画的△ABC中AB边的长你有什么发现？再换几个直角三角形度量一下试一试？
直角边 直角边 斜边 关系猜想
6 8 10 36+64=100
3 4 5 9+16=25
5 12 13 25+144=169
在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？
协作破冰 36+64=100
问题3：观察你所列的几个算式？它们和原三角形的边长有什么关系？
都是原三角形边长的平方
追问1：对于某一条边的平方，你能联想到哪些知识？
正方形的面积
追问2：如果三条边都是正方形的平方，你能画出对应的图形吗？动手试一试.
协作破冰 36+64=100
问题4：观察你所画的正方形？哪些面积比较易于计算？哪些不容易计算？原因是什么？
以AC,BC为边长的好算，以AB 为边长的不好算，因为不知道边长等于多少.
追问1：如果把图形放置到方格纸中，你能尝试计算面积吗？
协作破冰
追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试.
协作破冰
追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试.
协作破冰
追问2：对比两种不同的方法，对于方格中图形的面积计算问题，你有哪些思考？
1、都对图形的形状进行了割补法的操作.
问题5：为什么要进行割补？
把方格中不好算的面积转化为好算的
问题6：方格中怎样的面积是好算的？
从三角形面积计算的角度观察，底和高都是水平的或竖直的且两个端点都在格点上
协作破冰
追问2：对比两种不同的方法，对于方格中图形的面积计算问题，你有哪些思考？
2、都借助了转化的数学思想.
问题7：方法一和方法二在面积转化上有什么相同点？
四个直角三角形和一个正方形
两次转化产生的新正方形大小不同
问题8：方法一和方法二在面积转化上有什么不同点？
协作破冰
问题9：观察你所画的正方形，对于直角三角形的三边之间的关系，你有怎样的发现？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
追问1：换一些其他类似的图形，验证你的结论是否仍然成立？
协作破冰
发现：前面发现的结论依然成立.
思考：这种结论只在方格中的正方形才成立吗？
教师示范
思考：勾股定理借助图形的面积转化得到了三角形三边之间的关系，这种将代数与几何结合在一起的思想，称之为数形结合思想，今后将得到广泛使用.
教师示范

在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB等于多少？
巩固拓展
数学文化与数学史
早期发现
古巴比伦：勾股定理最早的记录可追溯到约公元前 2000 年的古巴比伦文明时期.当时巴比伦人使用了与勾股定理等价的数值关系，比如发现直角三角形两条短边为 3和4时，斜边为5，并将其应用于土地测量和建筑工程，但没有给出几何证明.
中国：中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.约公元前 1120 年，商高答周公时提出“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五”，记载于《周髀算经》，这是勾股定理的一个特例，因此勾股定理在中国也被称为商高定理.公元前7 - 6 世纪，中国学者陈子给出了任意直角三角形三边关系 ，即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日”.
巩固拓展
数学文化与数学史
定理证明的发展
古希腊：公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究勾股定理，创始人毕达哥拉斯被认为是勾股定理的发现者 ，该学派提出了基于直角三角形的几何证明.公元前4世纪，欧几里得在其著作《几何原本》中详细讨论了勾股定理，给出多个证明方法，包括基于面积、相似三角形的证明等，对勾股定理研究起到重要推动作用.
中国：三国时期吴国的数学家赵爽创制“勾股圆方图”（即赵爽弦图），用数形结合方法详细证明了勾股定理；魏晋时期刘徽在《九章算术注》中，利用割补法，提出青朱出入图证明勾股定理；清朝末期数学家华蘅芳更是提出了二十多种证明方法.
其他地区：公元7世纪，印度数学家布拉马古普塔在著作《布拉马法典》中提出勾股定理的特殊情况—— 勾股数，推动了勾股定理的应用和推广 .公元 11 世纪，波斯数学家尼什布尔发现了更一般的勾股定理，使勾股定理的应用范围从直角三角形扩展到任意三角形，推动了三角学的发展.
巩固拓展
数学文化与数学史
影响：
数学思想层面：勾股定理是联系数与形的第一定理，体现了“数形结合”思想，使人们能用代数思想解决几何问题.
数学发展推动：其证明方法多达数百种，是数学定理中证明方法最多的定理之一，推动了人类对数学几何更深的探索，由它还可推导出许多定理.此外，希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数，导致第一次数学危机，深刻揭示了数与量的区别，即无理数与有理数的差别.
实际应用方面：在建筑与工程、物理学以及数据分析与应用技术等众多领域均有广泛运用.
巩固拓展
已知一个直角三角形中的两边长为3和4，如果以另一边长为边长作正方形，这个正方形面积是多少？
方法导引：本题易错点在于，只提供了直角三角形，无法确定所给边中是否有斜边的存在.需要借助分类讨论思想进行计算.
答案：7或25.
在运用勾股定理解决问题时，需要特别注意：
1.研究对象是直角三角形.
2.使用前要确认斜边，保证定理使用准确.
3.结果的形式与题目要求有关.
当堂检测
B
当堂检测
2.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，
感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门1.2米的C处时，感应门自动打开．
已知感应器离地面的高度AB为2.5米，这名学生身高CD为1.6米，则人头顶离感应器的距
离AD等于 米．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9 (米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD= 1.5（米）．
故答案为：1.5米．
1.5
当堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=2.4，BC=1.8．
(1)求AB的长；
(2)求AB边上高线h的长.
当堂检测
反思：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.
反思总结
1.本节课研究的定理和哪个图形有关？是怎样描述的？
2.本节课研究的过程中使用了哪些数学思想方法？
3.你对接下来要学习的知识有哪些期待？和同学交流.
作业设计
一、基础巩固作业：
P3 随堂练习1.2
二、素养类作业
阅读P6-7 《漫话勾股世界》
三、挑战类作业
P9 第6、7题
作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错.