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9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正弦定理
第2课时 正弦定理（二）
探究点一 利用正弦定理判断三角形的形状
探究点二 利用正弦定理求最值或取值范围
探究点三 利用正弦定理证明问题
【学习目标】
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式以及边角互化判断三角
形的形状；
2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复
杂的三角形问题；
3.通过边角解三角形及证明问题，培养逻辑推理素养和数学运算
素养.
知识点一 正弦定理的边角转换
1.边转换成角
,,（为 外接圆的半径）.
2.角转换成边
,,（为 外接圆的半径）.
知识点二 三角形的分类
1.根据最大角,可分为____________、____________和____________.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
2.根据两边（或两角）的关系,又可分为等腰三角形或非等腰三角形.
等腰三角形的特例是等边三角形、等腰直角三角形.
【诊断分析】
在中,已知,你能推断出 是什么三角形吗？
解：由，可得或 ,所以 或
,故 是等腰三角形或直角三角形.
探究点一 利用正弦定理判断三角形的形状
例1（1） [2023·浙江宁波余姚中学高一期末]在中，内角 ，
，所对的边分别为,,，已知，则 的形
状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
√
[解析] 由 及正弦定理，
得，则 ，
，， 或 ，
或，故 为等腰三角形或直角三角形.故选D.
（2）已知的内角，，所对的边分别为，，，
的面积为，若，，则 的形
状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 由 及正弦定理得，
因为 ，所以 ，所以，所以，
因为 ，所以，所以，所以，
所以，所以 .
因为 ，所以
，所以 ，
又 ，所以，所以，所以 是直
角三角形.故选B.
变式（1） 在中，内角,,所对的边分别为,, ，若
，且，角是锐角，则 的形状是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
[解析] 由，得 ，根据正弦定理得
，所以，即 .
因为角A是锐角，所以 ,因为 ，且B，C都为
三角形的内角，所以，所以 为等边三角形．故选D.
√
（2）[2024·黑龙江绥化绥棱一中高一月考]设的内角,, 所
对的边分别为，，，若，则 的形
状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.三边比为 的三角形
√
[解析] 由及正弦定理得 ，
可得，
因为A，B为三角形的内角，所以 或 ，
即或.
同理可得， 或，或，
易得，所以 为等边三角形．故选B.
［素养小结］
（1）判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内
角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现
出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.
（2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通
过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时
要注意应用 这个结论.在等式变形中，一般两边不要
约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
（3）判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直
角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”
与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
探究点二 利用正弦定理求最值或取值范围
例2 [2024·浙江宁波高一期末] 在中，内角,, 所对的边分
别为,,，若，都是锐角，，，求 的周长的取
值范围.
解：由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ,
所以 .
因为，都是锐角， ，所以
所以 ，所以，所以，
所以 的周长的取值范围为 .
变式 设锐角三角形的三个内角，，所对的边分别为， ，
，若，，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在锐角三角形中，，则 ，又
，所以 ，即.
综上 ，则.
因为， ，所以由正弦定理得，
得.
因为 ，所以，即，
所以 的取值范围为 .故选C.
［素养小结］
解决三角形中的取值范围或最值问题的一般步骤:
（1）利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素.
（2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的三角函数,从而转
化为三角函数的取值范围或最值问题.
拓展 [2024·上海文来中学高一月考] 在中，内角，， 所
对的边分别为，，，若 为锐角三角形，且满足
，则 的取值范围是_ _______.
[解析] 由及正弦定理得 ，
即 ，
则 ，
即，
因为 是锐角三角形，所以，即，
所以 ，
因为所以，
所以 ，所以.
因为 ，
且，所以 .
探究点三 利用正弦定理证明问题
例3 如图，在中，点在边上，且 .记
， .求证： .
证明：在 中，由正弦定理得
，所以 .
在中，由正弦定理得 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
又，即 ，所以 ，
即 .
变式 在中，,,分别是内角,, 的对边.求证：
.
证明：由 得 ，
即 ，
又 ，
，
所以 ，
，所以 ，
由正弦定理得 .显然恒成立，所以 得证.
［素养小结］
（1）利用正弦定理解决三角形中的证明问题,主要是观察条件,找出
边角的关系,化为同角或同边,结合函数的思想解决.
（2）证明三角形中的恒等式的方法与证明一般的三角恒等式类似，
可从左边证到右边，也可从右边证到左边，也可左右归一.
1.在中，内角，，所对的边分别是，， ,若
，则 的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
[解析] , 由正弦定理得 ,
又 ,
,
即.又 , ,
， 为等腰三角形.故选A.
√
2.[2024·山东菏泽鄄城一中高一月考]已知，，分别是 的内
角，，的对边，若的周长为 ，且
，则 ( )
A. B.2 C.4 D.
[解析] 由题知，由
及正弦定理得，由①②可得 .故选C.
√
3.（多选题）[2024·河南驻马店高一期末] 在中， ,
, ，则下列结论错误的是( )
A.若，则 有两解
B.若，则 为钝角三角形
C.若只有一解，则
D.若为直角三角形，则
√
√
√
[解析] 若，由正弦定理可得，解得 ，因为
，所以或，所以 有两解，故A中结论正确；
若，由正弦定理可得，解得，
不存在，故B中结论错误；
当时，由正弦定理可得 ，解得，此时
只有一解，故C中结论错误；
当 时，由正弦定理可得，解得，
此时， ，故D中结论错误.故选 .
4.在中，内角，，的对边分别为，，，若 ，
，，则 _ ______.
[解析] 因为，所以，可得 ，
显然，所以，所以 ．
5.已知锐角三角形的外接圆的半径为1，内角，， 所对的边
分别为，，，若，则 的取值范围是__________.
[解析] 因为，所以 ，
，所以.
因为 ，，所以，所以 ，所以，所以 ，
所以的取值范围是 .
1.利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一
种重要应用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有
多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用.（1）将题目中的所
有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识
（分解因式、配方等）得到边的约束关系，利用的公式为
，， .（2）将题目中所有的条件，利
用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到内角的约束
关系，利用的公式为，， .
2.判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行
边角互化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，
要么把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以
边角同时考虑．
3.在解题中，若出现关于边的齐次式（方程），或关于角的正弦的齐
次式（方程）可通过正弦定理，进行边角互化．
4.判断三角形形状的常见结论
（1）若，则 ， 为直角三角形.
（2）若或，则， 为等腰三
角形.
（3）若，则或 ， 为等腰三
角形或直角三角形.
1.判断三角形的形状,最终目的是判断三角形是不是特殊三角形,当所
给条件含有边和角时,应利用正弦定理或正弦定理的变形，结合三角
形内角和定理及三角函数等知识将条件统一为“边”之间的关系式或
“角”之间的关系式，看是否满足勾股定理（或有一角为直角）、两
边相等（或两角相等）、三边相等（或三角相等），从而确定三角
形的形状.
［注意］当判断三角形的形状时，在等式变形中，一般不要约去公
因式，以免漏解.
例1 在中，内角，，所对的边分别为,, ,已知
，且.试确定
的形状.
解：由及正弦定理得，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
把②代入①得，即 ，所以 是直角三角形.
2.在解三角形问题中,求解某个量（式子）的取值范围是命题的热点,
其主要解决思路是：先建立所求量（式子）与已知角或边的关系,然
后把角或边作为自变量,所求量（式子）的值作为函数值,将原问题转
化为求函数的值域问题.这里要利用条件中范围的限制,以及三角形自
身范围的限制,把角或边的范围也就是函数的定义域确定好,以便准确
求得取值范围.
例2 设的内角，，的对边分别是，，， ，且
为钝角．
（1）证明： ；
证明：因为 ，所以 ，
因为，为钝角， 为锐角，
所以 ，所以，即 .
（2）求 的取值范围．
解： ，
令，则 ，
所以 ， .
因为所以 ，
所以，所以 ，
所以原式 ，
所以当时，取得最小值为1;当时， 取
得最大值，为 .
因为且，所以 ，
所以的取值范围是(1, ．
3.利用正弦定理研究三角形或者四边形中的边角问题时，应该先确定
需要研究的边或角在哪个三角形中研究，再利用正弦定理，转化边
角关系，得到等量关系求解.
证明：因为 ，
所以 ，所以 ，
因为，，所以, ，
所以或，即或 （舍去），
又 ，所以 ，即 .
（1）证明： ；
例3 在中，为钝角，且．
（2）已知点在边上，且，求 的外接圆的面
积的取值范围．
解：因为，所以，
又 ，所以 .
设的外接圆的半径为 ，
在中，由正弦定理得 ，
可得 .
在中， ，
因为为钝角，所以
解得，所以 ，
所以，所以，
所以 的取值范围为 ，
所以的外接圆的面积的取值范围为 ．第2课时 正弦定理(二)
【课前预习】
知识点二
1.锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
诊断分析
解:由sin 2A=sin 2B,可得A=B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)B [解析] (1)由a2tan B=b2tan A及正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,则=,∵sin A·sin B≠0,∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
(2)由asin=bsin A及正弦定理得sin A·sin=sin B·sin A,因为0
0,所以cos=sin B,所以cos=2sincos,因为00,所以sin=,所以=,所以B=.因为6S=·,所以6×bcsin A=||||cos A=bccos A,所以tan A=,又0变式 (1)D (2)B [解析] (1)由3b=2asin B,得=,根据正弦定理得=,所以=,即sin A=.因为角A是锐角,所以A=60°,因为cos B=cos C,且B,C都为三角形的内角,所以B=C,所以△ABC为等边三角形.故选D.
(2)由acos A=bcos B及正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,可得sin 2A=sin 2B,因为A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.同理可得,B=C或B+C=,A=C或A+C=,易得A=B=C,所以△ABC为等边三角形.故选B.
探究点二
例2 解:由正弦定理得====,
所以a+b=(sin A+sin B),
因为sin A+sin B=sin A+sin=sin A+sin A+cos A=sin A+cos A=sin,
所以a+b=4sin.
因为A,B都是锐角,C=,
所以所以所以sin∈,所以a+b∈(2,4],所以△ABC的周长的取值范围为(2+2,6].
变式 C [解析] 在锐角三角形ABC中,0拓展 [解析] 由c=2acos B+a及正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A,即sin(A+B)=2sin Acos B+sin A,则sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B+sin A,即sin A=sin Bcos A-cos Bsin A=sin(B-A),因为△ABC是锐角三角形,所以A=B-A,即B=2A,所以C=π-3A,因为所以A∈,所以B∈,所以sin B∈.因为-=-==,且sin B∈,所以-∈.
探究点三
例3 证明:在△ACD中,由正弦定理得=,
所以sin∠ADC=.
在△BCD中,由正弦定理得=,
所以sin∠BDC=.
因为∠ADC+∠BDC=π,所以sin∠ADC=sin∠BDC,
所以=,
又=,即BD=3AD,
所以=,即3AC·sin α=BC·sin β.
变式 证明:由=得bcos B-ccos Acos B=ccos C-bcos Acos C,即b(cos B+cos Acos C)=c(cos C+cos Acos B),
又cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B),
所以cos B+cos Acos C=sin Asin C,cos C+cos Acos B=sin Asin B,所以bsin Asin C=csin Asin B,
由正弦定理得abc=abc.
显然abc=abc恒成立,所以=得证.
【课堂评价】
1.A [解析] ∵b=2acos C,∴由正弦定理得sin B=2sin Acos C,又B=π-(A+C),∴sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C,即sin(A-C)=0.又02.C [解析] 由题知a+b+c=4(+1)①,由sin B+sin C=sin A及正弦定理得b+c=a②,由①②可得a=4.故选C.
3.BCD [解析] 若x=,由正弦定理可得=,解得sin B=,因为>2,所以B=或B=,所以△ABC有两解,故A中结论正确;若x=3,由正弦定理可得=,解得sin B=>1,△ABC不存在,故B中结论错误;当x=2时,由正弦定理可得=,解得sin B=1,此时△ABC只有一解,故C中结论错误;当x=2时,由正弦定理可得=,解得sin B=,此时A=B=,C=,故D中结论错误.故选BCD.
4. [解析] 因为=,所以=,可得sin C=,显然05.(2,1+] [解析] 因为==2,所以a=2sin A,c=2sin C=2sin,所以 ·=ac=×2sin A×2sin=2sin A(cos A+sin A)=2sin Acos A+2sin2A=sin 2A-cos 2A+1=sin+1.因为0【学习目标】
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式以及边角互化判断三角形的形状;
2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题;
3.通过边角解三角形及证明问题,培养逻辑推理素养和数学运算素养.
◆ 知识点一 正弦定理的边角转换
1.边转换成角
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
2.角转换成边
sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
◆ 知识点二 三角形的分类
1.根据最大角,可分为 、 和 .
2.根据两边(或两角)的关系,又可分为等腰三角形或非等腰三角形.等腰三角形的特例是等边三角形、等腰直角三角形.
【诊断分析】 在△ABC中,已知sin 2A=sin 2B,你能推断出△ABC是什么三角形吗
◆ 探究点一 利用正弦定理判断三角形的形状
例1 (1)[2023·浙江宁波余姚中学高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2tan B=b2tan A,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若asin=bsin A,6S=·,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
变式 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
(2)[2024·黑龙江绥化绥棱一中高一月考] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B=ccos C,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.三边比为1∶2∶3的三角形
[素养小结]
(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断.
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
(3)判断三角形的形状,主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
◆ 探究点二 利用正弦定理求最值或取值范围
例2 [2024·浙江宁波高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A,B都是锐角,C=,c=2,求△ABC的周长的取值范围.
变式 设锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,则b的取值范围是 ( )
A.(,2) B.(,)
C.(2,2) D.(0,2)
[素养小结]
解决三角形中的取值范围或最值问题的一般步骤:
(1)利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素.
(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的三角函数,从而转化为三角函数的取值范围或最值问题.
拓展 [2024·上海文来中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足c=2acos B+a,则-的取值范围是 .
◆ 探究点三 利用正弦定理证明问题
例3 如图,在△ABC中,点D在边AB上,且=.记∠ACD=α,∠BCD=β.求证:3AC·sin α=BC·sin β.
变式 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.求证:=.
[素养小结]
(1)利用正弦定理解决三角形中的证明问题,主要是观察条件,找出边角的关系,化为同角或同边,结合函数的思想解决.
(2)证明三角形中的恒等式的方法与证明一般的三角恒等式类似,可从左边证到右边,也可从右边证到左边,也可左右归一.
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b=2acos C,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
2.[2024·山东菏泽鄄城一中高一月考] 已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,若△ABC的周长为4(+1),且sin B+sin C=sin A,则a= ( )
A. B.2
C.4 D.2
3.(多选题)[2024·河南驻马店高一期末] 在△ABC中,A=,BC=2,AC=x,则下列结论错误的是 ( )
A.若x=,则△ABC有两解
B.若x=3,则△ABC为钝角三角形
C.若△ABC只有一解,则x∈(0,2]
D.若△ABC为直角三角形,则x=2
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=2,B=,则sin A= .
5.已知锐角三角形ABC的外接圆的半径为1,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,则·的取值范围是 . 第2课时 正弦定理(二)
1.D [解析] 由正弦定理得2sin Asin B=sin B,∵sin B≠0,∴sin A=.又∵A为锐角,∴A=.故选D.
2.B [解析] 由正弦定理=及a=bsin A知sin A=sin B·sin A,∵sin A≠0,∴sin B=1,又0°3.D [解析] 如图所示,因为△ABC有两解,所以asin C=a4.B [解析] 由题意可得bcos(A+B)=bcos(π-C)=-bcos C=(c-2a)cos B,所以2acos B=ccos B+bcos C,由正弦定理可得2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C,即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.故选B.
5.B [解析] 由题可得sin2=,则=,即cos A=,由正弦定理可得cos A=,所以cos Asin C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,可得cos Csin A=0,因为sin A≠0,所以cos C=0,又06.B [解析] 因为cos B+sin B=2,所以sin=1,又B为锐角,所以B=,所以A+C=.根据正弦定理得=,则a==,所以S△ABC=acsin B=a=×====.
因为所以,所以0<<,所以<+<2,所以<<2,所以△ABC的面积的取值范围为.故选B.
7.C [解析] 由b=ccos∠BAC及正弦定理得sin B=sin Ccos∠BAC,即sin∠BACcos C+cos∠BACsin C=sin Ccos∠BAC,则cos Csin∠BAC=0,因为0°<∠BAC<180°,所以sin∠BAC>0,所以cos C=0,又0°8.AC [解析] 对于A,由正弦定理及c-b=2bcos A得sin C-sin B=2sin Bcos A,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Acos B-cos Asin B=sin B,即sin(A-B)=sin B,因为00,所以09.ACD [解析] 对于A,因为△ABC是锐角三角形,所以A+B>,所以sin A>sin,即sin A>cos B,故A正确;对于B,由b=acos C+ccos A及正弦定理,可得sin(A+C)=sin B,即sin B=sin B,不能得到△ABC是等腰三角形,故B错误;对于C,由bcos C+ccos B=b及正弦定理,可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin A=sin B,因为A,B为△ABC的内角,所以A=B,所以△ABC是等腰三角形,故C正确;对于D,因为△ABC是等边三角形,所以A=B=C,a=b=c,所以==,故D正确.故选ACD.
10. [解析] 由2ccos B=2a-b及正弦定理得2sin Ccos B=2sin A-sin B,则2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,即2sin Bcos C=sin B,因为sin B>0,所以cos C=,又C∈(0,π),所以C=.
11. [解析] 由正弦定理及(2a+b)cos C+ccos B=0,得2sin Acos C+sin(B+C)=0,可得cos C=-,所以C=,所以sin A·sin B=sin A·sin =sin-,因为012.2 [解析] 在△ABC中,由正弦定理得=,则sin C===,又AB13.证明:∵===2R(R为△ABC外接圆的半径),
∴====4R2(cos B-cos A),
同理,=4R2(cos C-cos B),
=4R2(cos A-cos C),∴++=4R2(cos B-cos A+cos C-cos B+cos A-cos C)=0,∴原式成立.
14.解:(1)证明:由sin Bsin C=cos2,
可得sin Bsin C=,
∵A=π-B-C,∴2sin Bsin C=1-cos(B+C),
即2sin Bsin C+cos Bcos C-sin Bsin C=1,
即cos(B-C)=1,
又B-C∈(-π,π),∴B-C=0,∴B=C,∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)由tan +tan =4,得tan +tan =4,即+=4,
∴+=4,即=4,即=4,∴sin C=,
∵B=C,∴C为锐角,∴C=,∴B=,A=,
由正弦定理得====4,
∴b=c=2,∴△ABC的周长为4+2.
15.4 [解析] 由ccos A+asin C=0及正弦定理,得sin Ccos A+sin Asin C=0,因为C∈(0°,180°),所以sin C≠0,所以cos A+sin A=0,即tan A=-,又A∈(0°,180°),所以A=120°.因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以bc×sin 120°=c×1×sin 60°+b×1×sin 60°,所以bc=b+c,即+=1,所以b+c=(b+c)=2++≥2+2=4,当且仅当c=b=2时,等号成立,所以b+c的最小值为4.
16.解:(1)因为acos(B-C)-acos(B+C)=2csin Bcos A,
所以acos Bcos C+asin Bsin C-a(cos Bcos C-sin Bsin C)=2csin Bcos A,
即asin Bsin C=csin Bcos A,
由正弦定理得sin Asin Bsin C=sin Csin Bcos A,
因为sin C>0,sin B>0,
所以sin A=cos A,所以tan A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为A=,所以B+C=,所以B=-C,
由正弦定理得b==+1.
因为△ABC为锐角三角形,
所以解得所以tan C>,所以0<<,
所以1<+1<4,即1又S△ABC=bcsin A=b,
所以S△ABC∈.第2课时 正弦定理(二)
一、选择题
1.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2asin B=b,则角A等于( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=bsin A,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=30°,c=10.若△ABC有两解,则a的取值范围是 ( )
A.[10,20] B.[10,10]
C.(10,10) D.(10,20)
4.[2024·河南焦作沁阳高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos(A+B)=(c-2a)cos B,则B= ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·广东深圳三中高一月考] 在△ABC中,2csin2=c-b(a,b,c分别为内角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
6.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos B+sin B=2,c=2,则△ABC的面积的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·江苏新海高级中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=ccos∠BAC,且∠BAC的平分线交BC于点D,AD=1,cos∠BAC=,则AB= ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
8.(多选题)[2024·江苏无锡一中高一月考] 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2bcos A,则下列四个结论中正确的是 ( )
A.A=2B
B.B的取值范围为
C.的取值范围为(,)
D.-+2sin A的最小值为2
9.(多选题)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,则下列说法正确的是 ( )
A.若△ABC是锐角三角形,则sin A>cos B
B.若b=acos C+ccos A,则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC是等腰三角形
D.若△ABC是等边三角形,则==
二、填空题
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ccos B=2a-b,则C= .
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a+b)cos C+ccos B=0,则sin A·sin B的最大值为 .
12.在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=,D为BC上一点,AD为∠BAC的平分线,则AD= .
三、解答题
13.[2023·广东东莞弘林高级中学高一月考] 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,求证:++=0.
14.[2024·福州一中高一月考] 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且sin Bsin C=cos2.
(1)证明:△ABC是等腰三角形;
(2)若tan+tan=4,a=2,求△ABC的周长.
15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos A+asin C=0,若角A的平分线交BC于点D,且AD=1,则b+c的最小值为 .
16.[2024·武汉高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos(B-C)-acos(B+C)=2csin Bcos A.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC的面积的取值范围.