(共42张PPT)
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.2 余弦定理
第2课时 正、余弦定理解三角形
探究点一 利用正、余弦定理解三角形
探究点二 正、余弦定理在平面几何中的
应用
探究点三 证明三角形中的恒等式
【学习目标】
能利用正、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较
为复杂的三角形问题.
知识点 三角形中边与角之间的关系
1.在中,内角,,所对的边分别为,, .
（1）若,则, 为______三角形;
（2）若,则, 为______三角形;
钝角
直角
（3）若且且 ,则
,, ,
为______三角形.
锐角
2.射影定理
在 中,
① ___;
② ___;
③ __.
探究点一 利用正、余弦定理解三角形
例1 [2024·河南濮阳高一期末] 在中，内角，， 的对边分
别为，，，已知 .
（1）求角 的大小；
解：由 及正弦定理得
，
因为，所以 ，则 .
因为 ，所以 ，所以，所以 .
（2）若的面积为，周长为18，求 的值.
解：因为,所以 ，
由余弦定理得，解得 .
变式 在中，内角，，所对的边分别为，， ，已知
.
（1）求 ；
解：由 及正弦定理可得
，
， ，
则，又 ， .
（2）若，，求 的面积.
解：由（1）知，又， ，
，可得 ，
.
［素养小结］
（1）一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑
用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多
用正弦定理；如果以上特征不明显，则两个定理都有可能用．
（2）正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往
往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，
如内角和为 、大边对大角等．
拓展 在中，内角，，所对的边分别为，，，
的面积记为，且满足 .
（1）求 ；
解：因为，所以 ,
所以.
又 ,所以 .
（2）若，求 的取值范围.
解：由正弦定理得，所以 ，所以
.
因为，所以，所以 ，所以 .
故的取值范围为 .
探究点二 正、余弦定理在平面几何中的应用
例2 如图，在中，内角，， 的对
边分别为，，，且 ，
．
（1）求 ；
解：由，得 ，
由余弦定理得 ，
又，所以 .
（2）过点作，交边于点 ，且
，求 的长.
解：因为，所以 ，
所以 ，
又，所以 .
在 中，由正弦定理得 ，
又 ，
所以在 中， .
变式 [2024·河北武邑中学高一月考] 如图所示，
在平面四边形中， ，
，，， ．
（1）求 的长；
解：在 中，由余弦定理得，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 .
在 中，由余弦定理得
，所以 ．
（2）若与交于点，求 的面积．
解：由（1）可知， 为等边三角形，所以
，.
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
在中，由正弦定理得 ，
即，解得 ，
所以 ．
［素养小结］
运用正、余弦定理求解三角形时，很重要的一步是找所求的边或角
所在的三角形，若所求的边或角所属的三角形不只一个，则要选用
已知条件较多的三角形进行求解.
探究点三 证明三角形中的恒等式
例3 在中,内角,,所对的边分别为,, .求证：
（1） ；
证明： .
（2） .
解：由余弦定理, ,
得 ，
整理得 .
由正弦定理得 .
变式 [2023·宁夏六盘山高级中学高一月考] 在中，内角 ，
，所对的边分别为，，.已知是 边上的中线，求证：
.
证明：设， ，则 .
在 中，由余弦定理得.
在 中，由余弦定理得 .
， ，
整理得，即 ，
又， ，
即 .
［素养小结］
（1）证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式
上一般有：左 右、右 左或左 中 右三种.
（2）利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是
把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系通过
正弦定理转化为角的关系.
拓展 [2024·长沙明德中学高一月考] 已知的内角,, 所对
的边分别为,,，且 .
（1）证明： ；
证明：由题及正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
由正、余弦定理得 ，整理得 .
（2）若,，求 的面积.
解：由（1）知 ，
由余弦定理得 ，
解得 ，
所以 .
1.在中，内角，，所对的边分别为，，，若 的
面积为，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
因为，，所以 ，
所以.
因为，所以，又 ，所以 .故选D.
√
2.[2024·江苏苏州高一期末]在中，内角,, 所对的边分别为
,,，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
即，由余弦定理得 ，
又 ，所以 .故选B.
√
3.[2024·重庆巴蜀中学高一月考]在中，内角，， 的对边分
别为，，，若 ,，且，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，由余
弦定理得 ，所
以，由正弦定理得 .故选B．
√
4.[2023·湖南衡阳一中高一期末]在中，内角，， 所对的边
分别为,,，若，则 的形
状是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
[解析] 由题得，即 ，由正弦定理及
余弦定理得，整理得，故 为等腰三
角形.
√
5.已知,,分别为的三个内角,,的对边，若 ，
，则 的面积的最大值为
_ ___.
[解析] 由 及正弦定理得
，即 ,化简得
，
由余弦定理可知 ，可得,
又,. （当且仅当时取等号），
，则.
设的面积为 ，则，
的面积的最大值为 .
1.解决三角形的综合问题,除灵活运用正弦定理、余弦定理及三角形
的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.
掌握这些知识是解题的关键.
例1 [2024·沈阳高一期末] 在中，内角，， 所对的边分
别为，，，已知的面积为，， .
（1）求和 的值；
解： ， ，
故 ， ,
又，， .
由余弦定理得 ，
，由正弦定理得 ，则 .
（2）求 的值．
解：， ， ，
， ，
.
2.在判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
（1）为直角三角形或 或
；
（2）为锐角三角形且 且
；
（3）为钝角三角形或 或
.
例2（1） 在中，内角，，所对的边分别为,, ,若
, ，则( )
A.为直角 B.为钝角 C.为直角 D. 为钝角
[解析] 由及正弦定理得 ，
则，又 ，
所以由余弦定理得，可得 ，
所以，所以,, .故选C.
√
（2）在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，则 ( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
[解析] 由，得，所以 ，所以C为钝
角，因此 一定是钝角三角形.
√
3.与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借
助余弦定理或正弦定理来解决.
例3 在四边形中， ，
， ，求：
（1） 的长；
解：因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
在中， ，
所以 ，所以 .
在中， ,所以
.
（2）四边形 的面积.
解： ,
,
所以四边形的面积 .第2课时 正、余弦定理解三角形
【课前预习】
知识点
1.(1)钝角 (2)直角 (3)锐角
2.①a ②b ③c
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由c(cos A+1)=asin C及正弦定理得sin C(cos A+1)=sin Asin C,
因为sin C>0,所以sin A-cos A=1,则sin=.
因为0
(2)因为S△ABC=bcsin A=9,所以bc=36,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(18-a)2-108,解得a=6.
变式 解:(1)由asin C=ccos及正弦定理可得sin Asin C=sin Ccos,
∵sin C≠0,∴sin A=cos=cos A+sin A,
则tan A=,又0(2)由(1)知cos A==,又a=,b+c=4,
∴=-1=,可得bc=3,
∴S△ABC=bcsin A=.
拓展 解:(1)因为a2+b2-c2=S,所以2abcos C=×absin C,所以tan C=.又0(2)由正弦定理得==2,所以a=2sin A,所以2a-4sin B=4sin A-4sin B=4sin A-4sin=4sin A-2cos A-2sin A=2sin A-2cos A=4sin.因为0故2a-4sin B的取值范围为(-2,2).
探究点二
例2 解:(1)由bc=a2-b2-c2,得b2+c2-a2=-bc,
由余弦定理得cos∠BAC===-,
又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=.
(2)因为AD⊥AB,所以∠BAD=,
所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=-=,
又AD=DC,所以C=∠DAC=.
在△ABC中,由正弦定理得c===,
又B=π-∠BAC-C=π--=,
所以在Rt△ABD中,AD=tan B·AB=c=1.
变式 解:(1)在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=3+1-2××1×=7,所以AC=,
由余弦定理得cos∠ACB===,所以sin∠ACB=,
所以cos∠BCD=cos(∠ACB+∠ACD)=×-×=.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=1+7-2×1××=7,所以BD=.
(2)由(1)可知,△ACD为等边三角形,所以∠CAD=60°,AD=.在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC===,
所以sin∠BDC=,
所以cos∠ADO=cos(∠ADC-∠BDC)=×+×=,所以sin∠ADO=,
所以cos∠AOD=-cos(∠CAD+∠ADO)=-=,所以sin∠AOD=.
在△AOD中,由正弦定理得=,
即=,解得AO=,
所以S△AOD=AO·AD·sin∠OAD=×××=.
探究点三
例3 证明:(1)==··=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,得a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,
整理得=.由正弦定理得==.
变式 证明:设BM=x(x>0),∠BMC=α,
则∠AMB=π-α.在△BCM中,由余弦定理得cos α==.在△ABM中,由余弦定理得cos(π-α)==.
∵cos(π-α)+cos α=0,∴+=0,
整理得2x2+-(c2+a2)=0,即x2=,
又x>0,∴x=,
即BM=.
拓展 解:(1)证明:由题及正弦定理得cos B-tan Asin B=,所以3sin Acos Bcos A-3sin2Asin B=sin Ccos A,
所以3sin A(cos Bcos A-sin Asin B)=sin Ccos A,
所以3sin Acos(A+B)=sin Ccos A,
所以-3sin Acos C=sin Ccos A.
由正、余弦定理得-3a·=c·,
整理得c2=a2+2b2.
(2)由(1)知c2-a2=2b2=8,
由余弦定理得cos C====-=-,解得a=2,
所以S△ABC=absin C=×2×2×=.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为cos A=,所以b2+c2-a2=2bccos A.因为S=bcsin A,4S=b2+c2-a2,所以4×bcsin A=2bccos A,所以sin A=cos A.因为cos A≠0,所以tan A=1,又A∈(0,π),所以A=.故选D.
2.B [解析] 由(a+c)(a-c)=b(b-c),得a2-c2=b2-bc,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A===,又0°3.B [解析] 因为·=cbcos A=3,所以c===3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=4+9-2×2×3×=7,所以a=,由正弦定理得===.故选B.
4.D [解析] 由题得=2,即2cos Bsin C=sin A,由正弦定理及余弦定理得2××c=a,整理得c=b,故△ABC为等腰三角形.
5. [解析] 由(sin C-sin B)(b+3)=(a+b)sin A及正弦定理得(c-b)(b+3)=(a+b)a,即(3-b)(b+3)=(a+b)a,化简得a2+b2+ab=9,由余弦定理可知c2=9=a2+b2-2abcos C,可得cos C=-,又C∈(0,π),∴C=.∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),∴9-ab≥2ab,则ab≤3.设△ABC的面积为S,则S=absin C=absin=ab≤,∴△ABC的面积的最大值为.第2课时 正、余弦定理解三角形
【学习目标】
能利用正、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.
◆ 知识点 三角形中边与角之间的关系
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a2>b2+c2,则cos A=<0,△ABC为 三角形;
(2)若a2=b2+c2,则cos A==0,△ABC为 三角形;
(3)若a20,cos B=>0,cos C=>0,△ABC为 三角形.
2.射影定理
在△ABC中,
①bcos C+ccos B= ;
②ccos A+acos C= ;
③acos B+bcos A= .
◆ 探究点一 利用正、余弦定理解三角形
例1 [2024·河南濮阳高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(cos A+1)=asin C.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积为9,周长为18,求a的值.
变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin C=ccos.
(1)求A;
(2)若a=,b+c=4,求△ABC的面积.
[素养小结]
(1)一般地,如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子含角的正弦或是边的一次式,则大多用正弦定理;如果以上特征不明显,则两个定理都有可能用.
(2)正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等变换,同时注意三角形中的一些重要性质,如内角和为180°、大边对大角等.
拓展 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积记为S,且满足a2+b2-c2=S.
(1)求C;
(2)若c=,求2a-4sin B的取值范围.
◆ 探究点二 正、余弦定理在平面几何中的应用
例2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,bc=a2-b2-c2.
(1)求∠BAC;
(2)过点A作AD⊥AB,交边BC于点D,且AD=DC,求AD的长.
变式 [2024·河北武邑中学高一月考] 如图所示,在平面四边形ABCD中,∠ABC=150°,∠ACD=60°,AB=,BC=1,CD=.
(1)求BD的长;
(2)若AC与BD交于点O,求△AOD的面积.
[素养小结]
运用正、余弦定理求解三角形时,很重要的一步是找所求的边或角所在的三角形,若所求的边或角所属的三角形不只一个,则要选用已知条件较多的三角形进行求解.
◆ 探究点三 证明三角形中的恒等式
例3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求证:
(1)=;
(2)=.
变式 [2023·宁夏六盘山高级中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知BM是AC边上的中线,求证:BM= .
[素养小结]
(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有:左 右、右 左或左 中 右三种.
(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系通过正弦定理转化为角的关系.
拓展 [2024·长沙明德中学高一月考] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=tan Asin B+.
(1)证明:c2=a2+2b2;
(2)若C=,b=2,求△ABC的面积.
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且4S=b2+c2-a2,则A= ( )
A. B. C. D.
2.[2024·江苏苏州高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A= ( )
A.90° B.30°
C.60° D.150°
3.[2024·重庆巴蜀中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=2,且·=3,则= ( )
A. B.
C. D.
4.[2023·湖南衡阳一中高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若c=3,(sin C-sin B)(b+3)=(a+b)sin A,则△ABC的面积的最大值为 . 第2课时 正、余弦定理解三角形
1.D [解析] 由9sin2B=4sin2A及正弦定理得9b2=4a2,则b=,由余弦定理得cos C===,可得=,所以=.故选D.
2.B [解析] 因为acsin B=,B=,所以ac=2,又因为b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=3,所以(a+c)2=9,所以a+c=3,所以△ABC的周长为a+b+c=3+,故选B.
3.A [解析] 由sin Acos C=2sin Ccos A及正、余弦定理得a·=2c·,即a2+b2-c2=2(b2+c2-a2),即a2-c2=,又a2-c2=3b,所以=3b,又b>0,所以b=9.故选A.
4.C [解析] ∵(sin2A+sin2C-sin2B)·tan B=sin A·sin C,∴(sin2A+sin2C-sin2B)·sin B=sin A·sin C·cos B(cos B≠0),∴由正弦定理可得(a2+c2-b2)·sin B=a·c·cos B,∴2a·c·cos B·sin B=a·c·cos B,∴2cos B·sin B=cos B,∵cos B≠0,∴sin B=,∴B=或B=.故选C.
5.A [解析] 因为2bcos C=a(2-c),所以2abcos C=a2(2-c),由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,则a2+b2-c2=a2(2-c),即a2+c2-b2=a2c,由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,所以a2c=2accos B,又B=,所以a=1.故选A.
6.C [解析] 在△ABC中,因为AB=4,BC=3,∠ABC=60°,所以由余弦定理得AC==,所以BD===.易知△ABD和△BCD均为直角三角形,所以AD===,CD===,又∠ADC=180°-∠ABC=120°,所以△ACD的面积S=×××=.故选C.
7.A [解析] 在△ABM中,由正弦定理得=,即=,∴sin∠AMB==,又0°<∠AMB<120°,∴∠AMB=30°,∴∠BAM=90°,∴BM==4,又M是边BC的中点,所以BC=8.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos B=22+82-2×2×8×cos 60°=68-16=52,所以AC=2.故选A.
8.BCD [解析] 根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得b2-c2=2abcos C-a2,即(b+c)(b-c)=2abcos C-a2,故B正确,A错误;根据余弦定理可得c(acos B-bcos A)=ca·-cb·=a2-b2,故C正确;根据两角和与差的正弦公式可得sin(A+B)sin(A-B)=(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,故D正确.故选BCD.
9.BC [解析] 在△ABC中,A=60°,b=2,c=+1,由余弦定理得a2=22+(+1)2-2×2×(+1)×cos 60°=6,则a=,所以C正确;由正弦定理得=,解得sin B==,又b10.4 [解析] 由题意知sin∠ABC==sin=cos∠CBD,在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC×BDcos∠CBD=27+25-2×3×5×=16,所以CD=4.
11. [解析] 因为C=2B,所以sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理得c=2bcos B,由余弦定理得c=2b×=,即c=,整理得(-2)c2=6,解得c=,所以AB=.
12. [解析] 因为4S=tan A(b2+c2-5),所以4×bcsin A=(b2+c2-5),因为sin A>0,所以2bc=(b2+c2-5),即2bccos A=b2+c2-5,由余弦定理得2bc×=b2+c2-5,即a2=5,所以a=.
13.解:(1)因为cos∠ADC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB=-,
所以cos∠ADB=,所以sin∠ADB=.
在△ABD中,由正弦定理得=,
即=,解得AB=.
(2)因为sin B=,△ABC为锐角三角形,所以cos B=,
在△ABD中,由余弦定理得cos B===,解得BD=或BD=2,
又cos∠ADB==>0,
所以BD=2,所以BC=4,
所以△ABC的面积为AB·BC·sin B=.
14.解:(1)证明:方法一:∵=,
∴b+bcos A=2a-acos B,
由余弦定理可得b+b×=2a-a×,
即2bc+b2+c2-a2=4ac-(a2+c2-b2),
即2bc+2c2=4ac,∴2a=b+c.
方法二:∵=,∴由正弦定理得=,
∴2sin A-sin Acos B=sin B+sin Bcos A,
可得2sin A=sin B+sin Acos B+sin Bcos A=sin B+sin(A+B)=sin B+sin C,
由正弦定理可得2a=b+c.
(2)由余弦定理可得cos A==
===-1=,∴=,∴bc=20.
∵cos A=,A为三角形内角,∴sin A==,
∴S△ABC=bcsin A=×20×=6.
15.D [解析] 设三角形的直角边长为3,则斜边长为3,因为E,F为AB的三等分点,所以AE=EF=BF=.在△ACE中,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos 45°=9+2-2×3××=5,则CE=,易知CF=CE=,在△CEF中,由余弦定理得cos∠ECF===,因为∠ECF为锐角,所以tan∠ECF==.故选D.
16.解:(1)由cos B=及0由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C,故+=+==
===.
(2)由·=得cacos B=,
由cos B=,可得ca=2,即b2=2.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=b2+2accos B=5,
∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,
∵a+c>0,∴a+c=3.第2课时 正、余弦定理解三角形
一、选择题
1.[2024·云南云天化中学高一期末] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若9sin2B=4sin2A,cos C=,则= ( )
A. B. C. D.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,b=,B=,则△ABC的周长等于 ( )
A.2+ B.3+
C.3 D.
3.[2024·长沙明德中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin Acos C=2sin Ccos A,且a2-c2=3b,则b= ( )
A.9 B.6
C.3 D.18
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(sin2A+sin2C-sin2B)·tan B=sin A·sin C,则B= ( )
A. B.
C.或 D.或
5.[2024·合肥高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=,则a= ( )
A.1 B. C. D.2
6.如图,A,B,C,D四点共圆,其中BD为直径,AB=4,BC=3,∠ABC=60°,则△ACD的面积为( )
A. B.
C. D.
7.[2024·重庆荣昌中学高一月考] 在△ABC中,B=60°,AB=2,M是边BC的中点,AM=2,则AC= ( )
A.2 B.2
C.2 D.4
8.(多选题)[2024·福建南平政和二中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列关系式中正确的是 ( )
A.(b+c)(b-c)=2absin C-a2
B.(b+c)(b-c)=2abcos C-a2
C.c(acos B-bcos A)=a2-b2
D.sin(A+B)sin(A-B)=sin2A-sin2B
9.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=+1,则下列说法正确的是 ( )
A.C=75°或C=105°
B.B=45°
C.a=
D.△ABC的面积为
二、填空题
10.[2023·河南豫北名校高一期中] 如图,在△ABC中,点D在AC上,AB⊥BD,BC=3,BD=5,sin∠ABC=,则CD的长度为 .
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,C=2B,则AB= .
12.[2023·河北唐山高一期末] 若△ABC的面积为S,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且4S=tan A(b2+c2-5),则a= .
三、解答题
13.[2024·广州执信中学高一月考] 如图,在锐角三角形ABC中,BC边上的中线AD的长度为3,且sin B=,cos∠ADC=-.
(1)求边AB的长;
(2)求△ABC的面积.
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(1)证明:2a=b+c;
(2)若cos A=,a=2,求△ABC的面积.
15.[2024·河南洛阳栾川一中高一月考] 如图,E,F是等腰直角三角形ABC的斜边AB的三等分点,则tan∠ECF= ( )
A. B.
C. D.
16.[2023·安徽皖北名校高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2=ac且cos B=.
(1)求+的值;
(2)设·=,求a+c的值.