(共46张PPT)
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
探究点一 测量距离问题
探究点二 测量高度问题
探究点三 测量角度问题
【学习目标】
1.结合实例,理解测量不便到达的两点之间的距离的方案,掌握正、
余弦定理在测量高度方面的应用；
2.掌握数学建模的应用,理解正、余弦定理在测量距离与角度等
方面的应用，通过实际问题的解决，培养数学建模素养，提升数学
抽象素养和数学运算素养.
知识点一 测量距离问题
测量距离的基本类型及求解的方法
类型 两点都可从另一 点到达 两点中一点不 可到达 两点都不可到达
图形 ______________________________________________ __________________________________________ _________________________________________
方法 余弦定理 正弦定理 先用正弦定理,再用余弦
定理
知识点二 与测量有关的角的概念
术语 定义 图形说明
仰角与 俯角 在同一铅垂面内,视线与水平线所成的 角中,__________________的角叫仰角, __________________的角叫俯角 ____________________________________________________
方向角 ___________________________________________
视线在水平线上方
视线在水平线下方
小于或等于 的角
南偏东
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个不可到达的点之间的距离无法求得.( )
×
[解析] 两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个
点来量出相应的角度和距离求得.
（2）小强站在地面上观测一座建在山顶上的建筑物,测得其视角
（建筑物的上、下两端）为 ,同时测得该建筑物顶部的仰角为 ,
则小强观测山顶的仰角为 .( )
√
[解析] 如图所示,设小强观测山顶的仰角为 ,则
,因此 .
（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 .( )
×
[解析] 俯角是铅垂面内视线在水平线下方时视线与水平线所成的角.
知识点三 测量高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 ___________________________________
类型 简图 计算方法
底部不 可达 ______________________________________________ 续表
类型 简图 计算方法
底部不 可达 ______________________________________________ 续表
探究点一 测量距离问题
例1 [2024·辽宁大连八中高一期末] 如图，为了测量
河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点， ，
测得 ， ， ，
，.若，，， 在同一
平面内，试求， 两点之间的距离.（结果保留根号）
解：在中， ， ，
则 ，由正弦定理得
.
在中， ， ，
则 .
在 中，由余弦定理得
，所以 .
故，两点之间的距离为 .
变式 如图，观测站在目标的南偏西 方向，
经过处有一条南偏东 走向的公路，在 处观
测到与相距的 处有一人正沿此公路
向处行走，走到达处，此时测得， 之
间的距离为，求， 两点间的距离．
解：在中， ，
，，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 .
在中， ，则 ，
因
，
所以由 ，得 ，
所以，两点间的距离为 .
［素养小结］
三角形中与距离有关的问题的求解策略
（1）解决三角形中与距离有关的问题：若在一个三角形中,则直接利
用正、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择
适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
（2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的
边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、
余弦定理来解决.
探究点二 测量高度问题
［探索］ 测量某一物体的高度时,利用正弦定理求解需要哪些条件
解：选取地面上与物体底部在同一水平面上的两点,测量选取的两点
间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角.
例2 如图所示，,, 三点在同一水平线上，是
塔的中轴线，在, 两处测得塔顶部处的仰角
分别是 ， ，且 ， ，如果
, 之间的距离是，测角仪 ，
则塔高为（精确到 ）( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，， ， ，
，
.故选A.
变式 [2023·安徽皖北高一期末] 如图所示，在
山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角为 ，
在塔底处测得的俯角为 ，已知铁塔 部
分的高为，求山高 .
解：由题得 ，， ， .
在中，由正弦定理得 ，即 ，
所以.
在 中， .
［素养小结］
测量高度的两类问题：
（1）测量底部可到达的物体的高度,此类问题可直接构造直角三角形
进行求解.
（2）测量底部不可到达的物体的高度,由于底部不可到达，这类问题
不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理或余弦定理
计算出物体顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为
解直角三角形的问题.
探究点三 测量角度问题
例3 [2024·广西柳州高一期末] 一艘海轮从 地出发，
沿北偏东 的方向航行 后到达海岛
，然后从海岛出发，沿北偏东 的方向航行
到达海岛 .
（1）求 的长;
解：由题意得 ，
， ，
由余弦定理得
，所以 ．
（2）如果下次航行直接从地出发到达海岛 ，应沿什么方向航行？
解：由正弦定理得 ，
则 ，
因为,所以 ,
又，所以 ．
因为 ，所以从地沿北偏东 的方
向航行可到达海岛 .
变式 [2024·郑州高一期末] 在海岸 处发现北偏
西 的方向上与处相距2海里的 处有一艘渔船
甲，在处北偏东 的方向上与 处相距
海里的处有一艘渔船乙以 海里/时
的速度向渔船甲进行靠拢，此时渔船甲正以10海里/时的速度从 处向北
偏西 的方向航行.
（1）刚发现渔船甲时，渔船乙距离渔船甲多远？在渔船甲的什么方向？
解：由题意得,, ，
在中，由余弦定理可得
，
由正弦定理得 ，即，解得 ，
因为,所以 ， ，所以 ，
所以刚发现渔船甲时，渔船乙距离渔船甲 海里，在渔船甲的正东方向．
（2）渔船乙沿什么方向能最快追上渔船甲？
解：设经过 小时后，渔船乙追上渔船甲，
在中，, ,
，
由正弦定理得 ，
因为为锐角，所以 ，
所以渔船乙沿北偏西 的方向能最快追上渔船甲．
［素养小结］
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上画出表示实际问题
的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解
三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
（2）方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清
楚是哪一个点的方向角.
1.若点在点北偏西 的方向上,则点在点 ( )
A.北偏西 的方向上 B.北偏西 的方向上
C.南偏东 的方向上 D.南偏东 的方向上
[解析] 如图所示,点B在点A南偏东 的方向上.
√
2.[2023·湖南衡阳一中高一月考]某船从处向北偏东 方向航行
千米后到达处，然后朝南偏西 方向航行6千米到达 处，则
处与 处之间的距离为( )
A. 千米 B. 千米 C.3千米 D.6千米
[解析] 根据题意得
，所以
千米.故选B.
√
3.如图，已知某景区两座主峰的高度都是，某测量团队在 点
测得左侧主峰顶端点的仰角为 ，右侧主峰顶端 点的仰角为
，且 ，则两座主峰顶端之间的距离 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知 ，
.
在 中，由余弦定理可得
.故选C.
4.[2023·广东东莞弘林高级中学高一月考]如图，
两座相距的建筑物， 的高度分别为
，，， 在同一水平面上，则从建筑
物的顶端处看建筑物 的张角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意可得， ，
在 中，由余弦定理得
，
又 ，所以 ，
所以从建筑物 的顶端A处看建筑物的张角为 .故选B.
5.如图，在一次定向越野中，一名学员从 点出发
沿南偏东 方向走了到达点，他又从
点沿南偏西 方向走了到达 点，然后他从
点直接返回点.试描述这名学员从点到 点的位
移.（参考数据： ，
， ）
解：由题意易知， ， ，
，由余弦定理可知
，
则 ,
， ，
.
由题意可知，点在点的北偏东 方向，不妨设点在点北偏西
方向，则 ，
故这名学员从 点沿北偏西 方向走了到达 点.
解三角形应用题时,通常都要根据题意从实际问题中抽象出一个或几
个三角形,然后通过解三角形得到实际问题的解,求解的关键是将实际
问题转化为解三角形问题.
解题思路:
1.解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图.
（2）建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在
有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型.
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模
型的解.
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题
的解.
例1 一架飞机从地向北偏西 的方向飞行到达 地，然
后向地飞行．设地恰好在地的南偏西 方向上，并且， 两
地相距,则飞机从地到 地的距离为___________．
[解析] 如图所示，
由题意可得， ，
，由余弦定理可得
，
所以 .
2.（1）测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何变化,其
实质都是要求这两点间的距离,无非就是两点所在三角形及其构成元
素的已知情况不同而已.恰当地画出（找出）适合解决问题的三角形
是解题的基础,将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和
角是解题的关键.
（2）求距离问题的两个策略
①选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他
量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一个三角形中求解.
②确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可以用,就选择更便于计
算的定理.
例2 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被科
学家喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗
产”.要测量如图所示的蓝洞的口径， 两点间的
距离，现在珊瑚群岛上取两点， ，测得
， ，， ,
求， 两点间的距离.
解：因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 , ，
由正弦定理得，即 ，
解得 .
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，
可得 ,
所以，两点间的距离为 .
3.在处理有关高度的问题时,要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所
成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）的概念.
例3 [2024·河南濮阳高一期末] 阅江楼，始建于明朝洪武七年
（1374年），但明太祖朱元璋欲修未成，仅建有阅江楼地基后停工；
1999年2月续建；2001年9月，阅江楼正式竣工.如图，某同学为测量
阅江楼的高度，在阅江楼的正东方向找到一座建筑物 ，在地
面上点处，，三点共线)测得建筑物顶部、阅江楼顶部 的
仰角分别为 ， ，在处测得阅江楼顶部的仰角为 ，且
，则阅江楼的高度为____ .
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[解析] 在中， ，
在中， ，
，所以 ，
由正弦定理可得，则 ，
在中， .
4.测量角度问题：测量角度就是在三角形内利用正弦定理或余弦定理
求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.
例4 如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出
房间，已知衣柜长，宽，高 ，
房门的宽为，高为 ．试问此衣柜的
倾斜度要在多少度以下，，， 在同一
铅垂面内)，才能顺利通过房门？（参考数据： ，
， .）
解：根据题意，要顺利通过房门，只需
，
又
，
故，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故衣柜的倾斜度要在 以下，才能顺利通过房门.9.2 正弦定理与余弦定理的应用
【课前预习】
知识点二
视线在水平线上方 视线在水平线下方 小于或等于90°的角 南偏东45°
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个点来量出相应的角度和距离求得.
(2)如图所示,设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此γ=β-α.
(3)俯角是铅垂面内视线在水平线下方时视线与水平线所成的角.
【课中探究】
探究点一
例1 解:在△ADC中,∠ADC=75°,∠ACD=60°,
则∠DAC=45°,由正弦定理得AC===50(+1)(m).
在△BDC中,∠BDC=60°,∠BCD=90°,
则BC=DCtan∠BDC=100tan 60°=100(m).
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=[50(+1)]2+(100)2-2×50(+1)×100cos(90°-60°)=25 000-10 000,
所以AB=50 m.
故A,B两点之间的距离为50m.
变式 解:在△BCD中,CD=10 km,BC=10 km,BD=20 km,由余弦定理得cos∠BDC===-,
又0°<∠BDC<180°,所以∠BDC=135°,所以∠ADC=45°.
在△ACD中,∠CAD=35°+40°=75°,则∠ACD=60°,
因为sin∠CAD=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=,所以由=,得AD==30-10(km),
所以D,A两点间的距离为(30-10)km.
探究点二
探索 解:选取地面上与物体底部在同一水平面上的两点,测量选取的两点间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角.
例2 A [解析] ∵α=30°,β=60°,∴∠C1BD1=30°,∴BD1=C1D1=CD=20 m,∴A1B=BD1sin β=20sin 60°=10≈17.3(m),∴AB=A1B+AA1=A1B+CC1≈18.8 (m).故选A.
变式 解:由题得∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β.
在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,
所以AC==.在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β=.
探究点三
例3 解:(1)由题意得∠ABC=180°-70°+10°=120°,
AB=60(-1)n mile,BC=120 n mile,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=[60(-1)]2+1202-2×60(-1)×120×=21 600,所以AC=60 n mile.
(2)由正弦定理得=,
则sin∠CAB===,
因为BC
又∠CAB∈(0°,180°),所以∠CAB=45°.
因为70°-45°=25°,所以从A地沿北偏东25°的方向航行可到达海岛C.
变式 解:(1)由题意得AB=2,AC=-1,∠BAC=120°,
在△ABC中,由余弦定理可得BC=
=
=,
由正弦定理得=,
即=,解得sin∠ACB=,
因为AB所以刚发现渔船甲时,渔船乙距离渔船甲海里,在渔船甲的正东方向.
(2)设经过t小时后,渔船乙追上渔船甲,
在△BCD中,BD=10t,CD=10t,∠DBC=120°,
由正弦定理得sin∠BCD===,
因为∠BCD为锐角,所以∠BCD=30°,
所以渔船乙沿北偏西60°的方向能最快追上渔船甲.
【课堂评价】
1.C [解析] 如图所示,点B在点A南偏东30°的方向上.
2.B [解析] 根据题意得AC2=(2)2+62-2×2×6cos(60°-30°)=12,所以AC=2 千米.故选B.
3.C [解析] 由题意知BM==400(m),BN==200(m).在△BMN中,由余弦定理可得MN==
=200(m).故选C.
4.B [解析] 依题意可得AD=20,AC=30,在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从建筑物AB的顶端A处看建筑物CD的张角为45°.故选B.
5.解:由题意易知,∠SAB=60°,SA=15 km,AB=9 km,由余弦定理可知SB2=SA2+AB2-2SA·ABcos∠SAB=171,
则SB=≈13.077(km),
∴cos∠ASB=≈0.803,∴∠ASB≈36.6°,∴∠ABS=180°-∠ASB-∠SAB≈83.4°.
由题意可知,A点在B点的北偏东60°方向,不妨设S点在B点北偏西θ方向,则θ≈83.4°+30°-90°=23.4°,故这名学员从B点沿北偏西23.4°方向走了13.077 km到达S点.9.2 正弦定理与余弦定理的应用
【学习目标】
1.结合实例,理解测量不便到达的两点之间的距离的方案,掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用;
2.掌握数学建模的应用,理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用,通过实际问题的解决,培养数学建模素养,提升数学抽象素养和数学运算素养.
◆ 知识点一 测量距离问题
测量距离的基本类型及求解的方法
类型 两点都可从另一点到达 两点中一点不可到达 两点都不可到达
图形
方法 余弦定理 正弦定理 先用正弦定理,再用余弦定理
◆ 知识点二 与测量有关的角的概念
术语 定义 图形说明
仰角与 俯角 在同一铅垂面内,视线与水平线所成的角中, 的角叫仰角, 的角叫俯角
方向角 从指定方向线(常从指北或指南方向线)旋转到目标方向线所成的 ,叫作方向角.如图,方向角分别为北偏东30°,
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不可到达的点之间的距离无法求得. ( )
(2)小强站在地面上观测一座建在山顶上的建筑物,测得其视角(建筑物的上、下两端)为α,同时测得该建筑物顶部的仰角为β,则小强观测山顶的仰角为β-α. ( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为. ( )
◆ 知识点三 测量高度问题
类型 简图 计算方法
底部 可达 测得BC=a及C的度数,AB=a·tan C
底 部 不 可 达 点B与 C,D 共线 测得CD的长度及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AD的长度,再解直角三角形得AB的长度
点B 与C, D不 共线 测得CD的长度及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求出BC的长度,再解直角三角形得AB的长度
◆ 探究点一 测量距离问题
例1 [2024·辽宁大连八中高一期末] 如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,在河岸这边取点C,D,测得∠ADC=75°,∠BDC=60°,∠ACD=60°,∠BCD=90°,CD=100 m.若A,B,C,D在同一平面内,试求A,B两点之间的距离.(结果保留根号)
变式 如图,观测站C在目标A的南偏西35°方向,经过A处有一条南偏东40°走向的公路,在C处观测到与C相距10 km的B处有一人正沿此公路向A处行走,走20 km到达D处,此时测得C,D之间的距离为10 km,求D,A两点间的距离.
[素养小结]
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题:若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
◆ 探究点二 测量高度问题
[探索] 测量某一物体的高度时,利用正弦定理求解需要哪些条件
例2 如图所示,C,D,A三点在同一水平线上,AB是塔的中轴线,在C1,D1两处测得塔顶部B处的仰角分别是α,β,且α=30°,β=60°,如果C,D之间的距离是20 m,测角仪CC1=DD1=1.5 m,则塔高为(精确到0.1 m) ( )
A.18.8 m B.10.2 m
C.11.5 m D.21.5 m
变式 [2023·安徽皖北高一期末] 如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A的俯角为β,已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD.
[素养小结]
测量高度的两类问题:
(1)测量底部可到达的物体的高度,此类问题可直接构造直角三角形进行求解.
(2)测量底部不可到达的物体的高度,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出物体顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.
◆ 探究点三 测量角度问题
例3 [2024·广西柳州高一期末] 一艘海轮从A地出发,沿北偏东70°的方向航行60(-1)n mile后到达海岛B,然后从海岛B出发,沿北偏东10°的方向航行120 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A地出发到达海岛C,应沿什么方向航行
变式 [2024·郑州高一期末] 在海岸A处发现北偏西75°的方向上与A处相距2海里的B处有一艘渔船甲,在A处北偏东45°的方向上与A处相距(-1)海里的C处有一艘渔船乙以10海里/时的速度向渔船甲进行靠拢,此时渔船甲正以10海里/时的速度从B处向北偏西30°的方向航行.
(1)刚发现渔船甲时,渔船乙距离渔船甲多远 在渔船甲的什么方向
(2)渔船乙沿什么方向能最快追上渔船甲
[素养小结]
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
(2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
1.若点A在点B北偏西30°的方向上,则点B在点A ( )
A.北偏西30°的方向上
B.北偏西60°的方向上
C.南偏东30°的方向上
D.南偏东60°的方向上
2.[2023·湖南衡阳一中高一月考] 某船从A处向北偏东60°方向航行2千米后到达B处,然后朝南偏西30°方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为 ( )
A. 千米 B.2 千米
C.3千米 D.6千米
3.如图,已知某景区两座主峰的高度都是200 m,某测量团队在B点测得左侧主峰顶端M点的仰角为30°,右侧主峰顶端N点的仰角为45°,且∠MBN=45°,则两座主峰顶端之间的距离MN= ( )
A.200 m B.400 m
C.200 m D.400 m
4.[2023·广东东莞弘林高级中学高一月考] 如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,B,D在同一水平面上,则从建筑物AB的顶端A处看建筑物CD的张角为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
5.如图,在一次定向越野中,一名学员从S点出发沿南偏东60°方向走了15 km到达A点,他又从A点沿南偏西60°方向走了9 km到达B点,然后他从B点直接返回S点.试描述这名学员从B点到S点的位移.(参考数据:sin 36.6°≈0.596,cos 36.6°≈0.803,≈13.077)9.2 正弦定理与余弦定理的应用
1.D [解析] 由已知得BC=AC=4 m,∠ACB=120°,所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=42+42-2×4×4×cos 120°=48,所以AB=4 m.
2.D [解析] 由题意可知∠CAB=∠CBA=40°.因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°的方向上.
3.D [解析] 设该建筑物的高度为h,则PA=2h,PB=h,PC=h.在△PBA中,由余弦定理得cos∠PBA=,在△PBC中,由余弦定理得cos∠PBC=.∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0,即+=0,解得h=30或h=-30(舍去),故该建筑物的高度为30 m.故选D.
4.B [解析] 由题可知∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,∠ACB=60°.在△ADC中,∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=2.在△BCE中,∠CBE=180°-75°-60°=45°,由正弦定理=,可得BC===.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=(2)2+()2-2×2××=18,所以AB=3,即A,B之间的距离为3 百海里.
5.C [解析] 在△ACD中,∠CAD=180°-30°-30°-45°=75°,sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=,由正弦定理可得AC==.在△BCD中,易知∠CBD=45°,由正弦定理可得BC==.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=,可得AB=,故A,B两点间的距离为 km.故选C.
6.B [解析] 根据题意可知AP=70 m,BP=40 m,∠APB=60°,则AB==10(m),所以此车的速度为×3600=12 000(m/h)=12(km/h),而70<12<80,故选B.
7.B [解析] 由题可知,在△ABP中,∠APB=15°,∠BAP=30°,∠ABP=135°,由正弦定理得=,则AP====90(+1)(米),在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=90(+1)×=45(+)(米).故选B.
8.AC [解析] 对于A,因为∠BAD=75°,点B位于点A的南偏西45°的方向上,所以B=45°,∠ADB=60°,所以∠ADC=120°,AC2=AE2+CE2-2·AE·CE·cos 120°=AD2+CD2-2·AD·CD·cos 120°,因为CD=CE=100 m,AE=200 m,所以AD=200 m,故A正确;对于B,△ADC的面积为×AD×CD×sin∠ADC=×200×100×=5000(m2),故B错误;对于C,在△ABD中,由正弦定理得=,则AB===100(m),故C正确;对于D,过点A作AG⊥BC于点G,易知∠DAG=30°,所以∠CAG>30°,故D错误.故选AC.
9.ACD [解析] 在△BDE中,∠BDE=α,∠DBE=∠BEA-∠BDE=γ-α,∠BED=π-γ,由正弦定理得==,即==,所以BD=,BE=,所以AB=BDsin α=,故A正确;AE=BEcos γ=,故B错误;在△BCE中,∠BCE=-δ,∠BEC=δ-γ,由正弦定理得=,所以BC==,故C正确;在△CDE中,∠CDE=β,∠DCE=∠CEA-∠CDE=δ-β,∠CED=π-δ,由正弦定理得=,则CD=,所以AC=CDsin β=,故D正确.故选ACD.
10. [解析] 在△BCD中,由正弦定理得=,又sin∠DBC=sin(α+β),所以BC=,在直角三角形ACB中,AB=BC·tan θ=.
11.10 [解析] 在△ABC中,AB=30 海里,AC=20海里,∠BAC=90°+45°=135°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos ∠CAB=(30)2+202-2×30×20×=3400,可得BC=10 海里.由正弦定理=,得sin∠ACB===.由∠BAC=135°知∠ACB为锐角,所以cos∠ACB===,所以cos θ=cos(∠ACB+45°)=cos∠ACBcos 45°-sin∠ACBsin 45°=×-×=.
12.63 [解析] 因为∠APB=∠PBC-∠PAB=θ=∠PAB,所以PB=AB=130米,∠BPC=∠PCH-∠PBC=θ.在△PBC中,由正弦定理得=,则====3-4sin2θ=,可得sin θ=,因为θ为锐角,所以cos θ=.在Rt△PBH中,PH=PBsin 2θ=130×2××=≈63(米).
13.解:设经过t小时后台风中心移动到点Q时,台风边沿恰好在港口O,连接OQ.
由题意得OP=300,PQ=20t,OQ=60+10t.
∵cos θ=,∴sin θ=,∵∠OPQ=θ-45°,
∴cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cos θcos 45°+sin θsin 45°=×+×=.
由余弦定理得OQ2=OP2+PQ2-2OP·PQcos∠OPQ,
即(60+10t)2=3002+(20t)2-2×300×20t×,
整理得t2-36t+288=0,解得t1=12,t2=24,则t2-t1=12.
故12小时后该港口开始受到台风侵袭,受到台风侵袭的时间为12小时.
14.解:(1)在△ABD中,∠BAD=30°,∠ABD=45°,则∠ADB=105°,所以sin∠ADB=sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=,
由正弦定理得=,
所以BD==(千米).
(2)连接DC,在△BCD中,BC=3千米,BD=千米,∠CBD=15°+45°=60°,由余弦定理可得CD==(千米),因此救援船所需的时间t=(小时).
15.C [解析] 依题意,在Rt△MAC中,AC=60 m,tan∠MCA=,则cos∠MCA=,CM===75(m).在Rt△BCN中,BC=70 m,cos∠NCB=,则CN===75(m).在△MNC中,∠MCN=150°,则MN===75(m),故塔尖M,N之间的距离为75 m.故选C.
16.解:(1)在Rt△ABC中,sin A===,所以A=60°,则∠APB=180°-60°-45°=75°.
在△APB中,由正弦定理得=,
则PB==9-3.
(2)设当步行时间为t h时,记者位于E处,转播车位于F处.
当t∈[0,1]时,E在AB上,AE=6t,AF=12t,在△AEF中,由余弦定理可得EF==
=6t,
由EF≤9得6t≤9,所以0≤t≤;
当t∈(1,1+]时,F在点C处,E在BC上,且BE=6(t-1),则EF=BC-BE=6-6(t-1)=6+6-6t,
由EF≤9得6+6-6t≤9,解得t≥-.
故他们通过对讲机能保持联系的总时长为+1+-=(h).9.2 正弦定理与余弦定理的应用
一、选择题
1.学校体育馆的“人字形”屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长为4 m,A=30°,则AB的长为 ( )
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
第1题图 第2题图
2.如图,两座灯塔A和B到海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°的方向上,灯塔B在观察站南偏东60°的方向上,则灯塔A在灯塔B ( )
A.北偏东10°的方向上
B.北偏西10°的方向上
C.南偏东80°的方向上
D.南偏西80°的方向上
3.[2023·上海华东师大附中高一月考] 如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则该建筑物的高度为 ( )
A.15 m B.20 m
C.25 m D.30 m
4.如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C北偏西45°的方向上,B在C北偏东15°的方向上.船先向东开2百海里到达E处,此时测得B在E北偏西30°的方向上.再开回C处,由C向西开2百海里到达D处,测得A在D北偏东22.5°的方向上,则A,B之间的距离为 ( )
A.3百海里 B.3 百海里
C.4百海里 D.4 百海里
5.如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在河的一边测得CD=1 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,则A,B两点间的距离是 ( )
A. km B. km
C. km D. km
第5题图 第6题图
6.如图所示,在限速为90 km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区间起点A的距离为0.07 km,距测速区间终点B的距离为0.04 km,且∠APB=60°,现测得某辆汽车从点A行驶到点B所用的时间为3 s,则此车的速度介于 ( )
A.60至70 km/h B.70至80 km/h
C.80至90 km/h D.90至100 km/h
7.鼎湖峰矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区,状如春笋拔地而起,其峰顶镶嵌着一汪小湖,传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖,白居易曾以诗赋之:“黄帝旌旗去不回,片云孤石独崔嵬.有时风激鼎湖浪,散作晴天雨点来”.某校开展数学建模活动,有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度,为此他们设计了测量方案.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B处(A,B,P,Q在同一个平面内),在B处测得山顶P的仰角为60°,则鼎湖峰的高PQ为 ( )
A.45(-)米 B.45(+)米
C.90(-1)米 D.90(+1)米
8.(多选题)[2024·安徽安庆一中高一月考] 在学习了三角形的知识后,为了锻炼实践能力,某同学策划了一次实地测量活动,他位于河东岸,在靠近河岸不远处有一小湖,他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45°的方向上,由于受到地势的限制,他又选了点C,D,E,使点B,C,D共线,点B位于点D的正西方向上,点C位于点D的正东方向上,测得CD=CE=100 m,∠BAD=75°,∠AEC=120°,AE=200 m,经过计算得到如下数据,其中正确的是 ( )
A.AD=200 m
B.△ADC的面积为1000 m2
C.AB=100 m
D.点A在点C的北偏西30°的方向上
9.(多选题)[2024·河南商丘高一期末] 如图,为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC,测量船沿航线DA航行,且DA与AC在同一铅垂面内,测量船在D处测得∠BDA=α,∠CDA=β,然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处,测得∠BEA=γ,∠CEA=δ(δ>γ>β>α,测量船的高度忽略不计),则 ( )
A.AB= B.AE=
C.BC= D.AC=
二、填空题
10.如图,为测得河对岸塔AB的高,可在河岸上选取与塔底B在同一水平面的两个测量点C与D,现测得∠ACB=θ,∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,则塔AB的高度为 .
11.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则BC= 海里,cos θ= .
12.[2024·郑州外国语学校高一月考] 郑州二七罢工纪念塔位于郑州市中心二七广场,是郑州城市的标志性建筑.如图,小米同学为了测量二七塔的塔高PH,在塔底所在的水平面内取点A,测得塔顶的仰角为θ,前进130米后到达点B,测得塔顶的仰角为2θ,再前进米后到达点C,测得塔顶的仰角为3θ,则塔高PH= 米.(参考数据:≈3.87,最终结果保留整数,即结果精确到1米)
三、解答题
13.在某港口附近的海面有一台风,据监测,当前台风中心位于港口O(如图)东偏南θ方向300千米的海面P处,并以20千米/时的速度沿直线向北偏西45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60千米,并以10千米/时的速度不断增大,问几个小时后该港口开始受到台风的侵袭 受到台风侵袭的时间有多长
14.如图,A,B是海面上位于东西方向相距(3+)千米的两个观测点,现位于点A北偏东60°,点B西北方向的点D处有一艘渔船发出求救信号,位于点B南偏西75°且与点B相距3千米的点C处的救援船立刻前往营救,其航行速度为30千米/时.求:
(1)观测点B与点D处的渔船间的距离;
(2)位于点C处的救援船到达点D所需的时间.
15.如图所示,两塔塔尖分别为M,N,选择与塔底A,B在同一水平面的点C为观测点,测得∠MCN=150°,AC=60 m,BC=70 m,tan∠MCA=,cos∠NCB=,则塔尖M,N之间的距离为 ( )
A.75 m B.150 m
C.75 m D.75 m
16.[2023·天津益中学校高一月考] 如图,A,B,C三地有直道相通,其中AB,BC为步行道,AC为机动车道,已知A在B的正北方向6 km处,C在B的正东方向6 km处,某校开展步行活动,从A地出发,经B地到达C地,中途不休息.
(1)媒体转播车从A地出发,沿AC行至点P处,此时∠ABP=45°,求PB;
(2)媒体记者随队步行,媒体转播车从A地沿AC前往C地,两者同时出发,步行的速度为6 km/h,为配合转播,转播车的速度为12 km/h,记者和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到C地后原地等待,直到记者到达C地,若对讲机的有效通话距离不超过9 km,求他们通过对讲机能保持联系的总时长.