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13.1.3三角形中几条重要线段教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.1.3三角形中几条重要线段 课时 3
教材分析 本节重点介绍三角形的中线、高线、角平分线和垂直平分线，定义明确且性质突出。教材通过图示和几何语言结合的方式呈现，强调这些线段在证明和计算中的应用，为后续学习全等三角形、相似三角形奠定基础，结构清晰且层次分明
学情 分析 学生已具备三角形基本概念，但对复杂几何语言和抽象性质理解仍存困难。部分学生易混淆不同线段的概念，尤其在作图和推理时需加强直观感知与逻辑思维的衔接，需通过实践操作深化理解。
核心素养目标 1. 理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解定义、三角形的重心的概念 2. 能正确作出一个三角形的高线、中线、角平分线，并掌握相关性质 3. 经历画图、观察、操作、描述等实践过程，加深对知识的理解，感受数学语言的准确性，提高学生的观察能力、归纳总结能力等
教学重点 理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解定义、三角形的重心的概念
教学难点 作出一个三角形的高线、中线、角平分线，并掌握相关性质
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 我们在上节课把三角形按角进行了分类,请回答一下。 什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形？ 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线 放，靠，移，画 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段长度叫做三角形这边的高，简称三角形的高. 如图， 线段AD是BC边上的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. 符号语言： ∵在△ABC中， AD⊥BC， ∴∠ADB∠ADC90°. 你还能画出三角形其它边上的高吗？ 角平分线： 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 如图 ，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线 中线： 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线． 如图 ，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE就是△ABC的一条中线． 操作 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察三条高所在直线的交点位置有什么不同？ 归纳： 三角形三条高所在的直线交于一点． 锐角三角形三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形三条高的交点在直角顶点； 钝角三角形三条高的交点在三角形的外部． 任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们是否交于同一点 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？ 三角形的中线的特征： (1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点； (2)三角形的中线是一条线段； (3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形. 三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例、在△ABC中，CD是中线，已知BCAC 5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长. 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BDAD. 又∵BCAC5cm， △DBC的周长BCBDCD25cm， ∴△ADC的周长ADCDAC BDCDBC5 255 20(cm). 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( ) A. BD 是△ABC的角平分线 B. CE 是△ BCD 的角平分线 C. ∠3＝ ∠ ACB D. CE 是△ ABC 的角平分线 2.如图， AD 是△ ABC 的中线，则下列结论正确的是( ) A. AD ⊥ BC B. ∠ BAD ＝∠ CAD C. AB ＝ AC D. BD ＝ CD 3.如图，是的角平分线，是 的角平分线.若 ，则 ____. 4.如图，已知是的重心，连接并延长交于点，若的面积为20，则 的面积为____. 5.如图，在△ABC中，∠BAC60°，∠B45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.三角形的高 2.三角形的中线 3.三角形的角平分线 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计 1.在△ ABC 中，∠ A ＝20°，∠ B ＝4∠ C ，则∠ C ＝( ) 32° B. 36° C. 40° D. 128° 2.如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为( ) A. 65°B. 75°C. 85° D. 95° 3.如图，点 E， D 分 别 在 AB，AC 上， 若 ∠ B=35 °，∠ C=45°，则∠ 1+ ∠ 2的度数为 ________. 4.在△ ABC 中， AD 为边 BC 上的高，∠ ABC ＝30°，∠ CAD ＝20°，则∠ BAC 的度数是 . 5.在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，求△ABC的各内角度数.
教学反思 本节课应强化学生自主探究，鼓励多样化的证明方法，在操作中渗透转化与归纳思想。需关注学生思维盲点，及时点拨引导，同时联系生活实例增强应用意识，提升逻辑推理与解决实际问题的能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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13.1.3三角形中几条重要的线段
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解定义、三角形的重心的概念
01
能正确作出一个三角形的高线、中线、角平分线，并掌握相关性质
02
经历画图、观察、操作、描述等实践过程，加深对知识的理解，感受数学语言的准确性，提高学生的观察能力、归纳总结能力等
03
02
复习旧知
我们在上节课把三角形按角进行了分类,请回答一下。
什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形？
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
02
创设情境
l
A
B
如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线
画
放
移
靠
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
03
新知探究
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段长度叫做三角形这边的高，简称三角形的高.
如图， 线段AD是BC边上的高.
B
A
C
D
03
新知探究
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
符号语言：
∵在△ABC中， AD⊥BC，
∴∠ADB ∠ADC 90°.
你还能画出三角形其它边上的高吗？
03
新知探究
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如图 ，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线
角平分线：
03
新知探究
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
中线：
如图 ，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE就是△ABC的一条中线．
03
新知探究
操作
A
B
C
D
E
F
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察三条高所在直线的交点位置有什么不同？
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
钝角三角形
E
03
新知探究
三角形三条高所在的直线交于一点．
锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形三条高的交点在直角顶点；
钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．
归纳
03
新知探究
任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们是否交于同一点
C
A
B
A
B
C
C
B
A
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
03
新知探究
任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
钝角三角形
03
新知探究
(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；
● 三角形的中线的特征：
(2)三角形的中线是一条线段；
(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形.
三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
03
新知探究
例、在△ABC中，CD是中线，已知BC AC 5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD AD.
又∵BC AC 5cm，
△DBC的周长 BC BD CD 25cm，
∴△ADC的周长 AD CD AC
BD CD BC 5
25 5
20(cm).
A
D
B
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A. BD 是△ ABC 的角平分线 B. CE 是△ BCD 的角平分线
C. ∠3＝ ∠ ACB D. CE 是△ ABC 的角平分线
2.如图， AD 是△ ABC 的中线，则下列结论正确的是( D )
A. AD ⊥ BC B. ∠ BAD ＝∠ CAD
C. AB ＝ AC D. BD ＝ CD
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，是的角平分线，是 的角平分线.
若 ，则 ____.
4.如图，已知是的重心，连接并延长交于点 ，
若的面积为20，则 的面积为____.
10
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，在△ABC中，∠BAC 60°，∠B 45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC 60°，
∴∠BAD ∠DAC 30°.
∵ 在△ABD中，∠B ∠ADB ∠BAD 180°，
∴∠ADB 180° ∠B ∠BAD
180° 45° 30° 105°.
05
课堂小结
三角形中几条重要的线段
三角形的几条重要线段：
高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于点O．若∠ABC =40°，∠ACB =60°，∠BOC= ．
4.如图， AD 是△ ABC 的高， BE 平分∠ ABC 交 AD 于点 E . 若∠ C ＝76°，
∠ BED ＝64°，则∠ BAC 的度数是 .
130°
52°
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线， AB＝6cm， AC=8cm， BC＝10cm，∠CAB ＝90°.试求：
AD 的长
△ABE 的面积；
解：(1)∵∠BAC ＝90°， AD 是BC 边上的高，
∴ AB · AC ＝ BC · AD
∴AD ＝ ＝ ＝4.8(cm)
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：由(1)知 AD ＝4.8 cm.
∵AE 是△ABC 的中线， BC ＝10 cm，
∴BE ＝ BC =5 cm.
∴S△ ABE ＝ BE · AD ＝ ×5×4.8＝12(cm2)
Thanks!
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